Cũng như đối với phương trình có chứa tham số khác ,việc giải và biện luận PTLG có chứa tham số cũng rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông cũng như trong các chuyên đề luyện thi Đại Học.Thường thì các bài toán lượng giác chứa tham số yêu cầu tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình có n nghiệm thuộc 1 khoảng D nào đó .Để có cái nhìn tổng quan về phương pháp giải phương trình này ta sẽ xét từng dạng
I. Phương pháp
Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x ∈ D
Cho phương trình Q(m,x) = 0 (1) phụ thuộc vào tham số m, x ∈ D
Tìm m để phương trình có nghiệm
Cách 1: Phương pháp đạo hàm
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈(0; π/4)
m.cos$^2$(x) – 4sin(x).cos(x) + m – 2 = 0 (1)
Chia cả hai vế của phương trình cho cos$^2$ ≠ 0 ta được
$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m - 4\tan x\,\, + \,\,\,(m - 2)\,\,(1 + {\tan ^2}x)\,\, = \,0\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(m - 2){\tan ^2}x\,\, - 4\,\tan x\,\, + 2m\, - \,2\,\, = 0\,\,\,\,\,(2)\,
\end{array}$
Đặt t = tan(x) vì x ∈(0; π/4) nên t ∈(0;1) ta được
$\,\,(m - 2){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\,\, - 4\,{\mathop{\rm t}\nolimits} \, + 2m\, - \,2\,\, = 0\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$
Khi đó (1) có nghiệm x ∈(0; π/4) khi và chỉ khi (3) có nghiệm t ∈(0;1)
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau
Cách 1:
+) Với m – 2 = 0 ⇔ m = 2 khi đó (3) có dạng
$ - 4t\,\, + 2\, = 0\, \Leftrightarrow \,\,\,t = \frac{1}{2}\,\,\, \in \left( {\,0\,\,;\,\,1} \right)$
Vậy m = 2 thỏa mãn đề bài
+)Với m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 khi đó (3) có nghiệm t ∈(0;1)
⇔ (3) có 1 nghiệm ∈(0;1) hoặc (3) có 2 nghiệm ∈(0;1)
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f(1).\,f(2)\,\, < \,\,0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta '\,\, \ge \,0\\
af(1)\,\, > \,\,0\\
af(0)\,\, > \,0\\
0 < \frac{S}{2} < \,\,1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(3m\, - \,\,8)(2m\, - 2)\,\, < \,\,0\\
\left\{ \begin{array}{l}
- 2{m^2}\,\, + \,6m\,\, \ge \,\,0\\
(3m\, - \,\,8)(m\, - 2)\,\, > 0\\
(m - 2)(2m - 2)\,\, > \,0\\
0 < \,\,\frac{2}{{m - 2}} < \,\,1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,1 < m < \frac{8}{3}$
Vậy với 1 < m < 8/3 phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4)
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng : $\frac{{2{t^2} + \,\,4t + 2}}{{{t^2} + 2}}\,\,\, = m$
Phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4)
$ \Leftrightarrow $ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2{t^2} + \,\,4t + 2}}{{{t^2} + 2}}\,\,\,$ trên (0; 1)
Xét hàm số (C) $y = \frac{{2{t^2} + \,\,4t + 2}}{{{t^2} + 2}}\,\,\,$trên (0; 1)
Đạo hàm $y'\, = \,\frac{{ - 4{t^2} + 4t + 8}}{{{{({t^2} + 2)}^2}}}\, = \,\,\frac{{ - 4(t + 1)(t - 2)}}{{{{({t^2} + 2)}^2}}}\,\, > \,0\,\,\forall \,\,t\, \in \,\left( {0\,;\,1} \right)$ tức là hàm số đồng biến trên (0; 1)
Do đó đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số(C) trên khoảng (0; 1)
→ y(0) < m < y(1) ↔ 1 < m < 8/3
Vậy với 1 < m < 8/3 phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4)
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
$4({\sin ^4}x + {\cos ^4}x) - 4({\sin ^6}x + {\cos ^6}x) - {\sin ^2}4x\,\, = \,m$ (1)
$\begin{array}{l}
{\sin ^6}x + {\cos ^6}x\,\, = \,1 - \frac{3}{4}\,{\sin ^2}2x\\
{\sin ^4}x + {\cos ^4}x\,\, = \,1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\\
{\sin ^2}4x\,\, = \,\,4{\sin ^2}2x - 4{\sin ^4}2x
\end{array}$
Do đó phương trình được biến đổi về dạng
$\begin{array}{l}
4(1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}4x) - 4(1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x)\, - \left( {4{{\sin }^2}2x - 4{{\sin }^4}2x} \right)\,\, = \,m\\
\Leftrightarrow 4{\sin ^4}2x\,\, - \,3\,\,{\sin ^2}2x\,\, = \,m
\end{array}$
Đặt $t\, = \,{\sin ^2}{x^{}}\,\,\,\,\,\,0 \le \,\,t \le \,\,1$Khi đó phương trình có dạng $4{t^2} - 3t\, = \,m$ (2)
Cách 1: phương trình (1) có nghiệm ↔ (2) có nghiệm $ \in \left[ {0\,\,;\,\,1} \right]$
↔(2) có 1 nghiệm hoặc (2) có 2 nghiệm $ \in \left[ {0\,\,;\,\,1} \right]$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f(0).\,\,f(1)\,\, \le \,\,0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta '\,\, \ge \,\,0\\
af(0)\,\, \ge \,\,0\\
af(1)\,\, \ge \,\,0\\
0 \le \frac{S}{2} \le \,\,1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
- m(1 - m)\,\, \le \,\,0\\
9 + 16m\,\, \ge \,0\\
- m\, \ge \,0\\
1 - m\, \ge \,\,0\\
0 \le \frac{3}{8} \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 \le m \le 1\\
- \frac{9}{{16}} \le \,m \le \,0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{9}{{16}} \le \,m \le \,1$
Vậy với $ - \frac{9}{{16}} \le m \le 1$ thì phương trình trên có nghiệm
Cách 2: Phương trình (1) có nghiệm ↔ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y = 4{t^2} - 3t$ trên đoạn [0; 1]
Xét hàm số $y = 4{t^2} - 3t$ trên đoạn [0; 1]
Đạo hàm $y' = 8t - 3\,\,,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \,\,t = \frac{3}{8}$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta được điều kiện $ - \frac{9}{{16}} \le m \le 1$
Vậy với $ - \frac{9}{{16}} \le m \le 1$ thì phương trình có nghiệm
Ví dụ 3: Cho phương trình $\cos 2x\,\, = \,m\sqrt {1 + \tan x} \,\,{\cos ^2}x$ (1)
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0; π/3]
\cos x \ne 0\\
\tan x \ge \,\, - 1
\end{array} \right.\,\,\,\,(*)$
Đặt t = tan(x) thì $\cos 2x\,\, = \,\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ và ${\cos ^2}x\,\, = \,\frac{1}{{1 + {t^2}}}$
Khi đó phương trình có dạng $\,\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\,\, = \,\,m\sqrt {1 + t} \,\,\,\frac{1}{{1 + {t^2}}}\,\, \Leftrightarrow \,\,1 - {t^2} = m\sqrt {1 + t} $
Vì $x\,\, \in \,\left[ {0\,;\,\,\frac{\pi }{3}\,\,} \right]$ suy ra $t\, \in \,\left[ {0\,\,;\,\,\,\sqrt 3 } \right]$
Do 1 + t > 0 nên phương trình được viết lại dưới dạng $(1 - t)\sqrt {1 + t} \,\, = \,m$
Để phương trình (1) có nghiệm $x\,\, \in \,\left[ {0\,;\,\,\frac{\pi }{3}\,\,} \right]$ thì phương trình (3) có nghiệm $t\, \in \,\left[ {0\,\,;\,\,\,\sqrt 3 } \right]$ , suy ra đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y = (1 - t)\sqrt {1 + t} \,\,$trên đoạn $\left[ {0\,\,;\,\,\,\sqrt 3 } \right]$
Xét hàm số $y = (1 - t)\sqrt {1 + t} \,\,$ trên D = $\left[ {0\,\,;\,\,\,\sqrt 3 } \right]$
Đạo hàm
$y' = - \sqrt {1 + t} \, + \frac{{1 - t}}{{2\sqrt {1 + t} }}\, = \,\frac{{ - 2(1 + t) + 1 - t}}{{2\sqrt {1 + t} }} = \frac{{ - 3t - 1}}{{2\sqrt {1 + t} }} < 0\,\,\,\forall t\, \in D$
→ Hàm số nghịch biến
Do đó điều kiện là $f(\sqrt 3 )\, \le m \le \,\,f(0) \Leftrightarrow (1 - \sqrt 3 )\sqrt {1 + \sqrt 3 } \le m \le 1$
Vậy với $(1 - \sqrt 3 )\sqrt {1 + \sqrt 3 } \le m \le 1$ thoả mãn điều kiện đề bài
Nhận xét: Với những bài toán dạng này chúng ta cần phải nhớ rằng khi đặt ẩn phụ, ta nên nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ rồi từ đó ta xét điều kiện cho ẩn ban đầu.
I. Phương pháp
Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x ∈ D
Cho phương trình Q(m,x) = 0 (1) phụ thuộc vào tham số m, x ∈ D
Tìm m để phương trình có nghiệm
Cách 1: Phương pháp đạo hàm
- Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)
- Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D$_1$
- Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0
- Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số f(m,t) trên miền D$_1$
- Bước 5: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m
- Bước 1: Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)
- Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D .Gọi miền giá trị của t là D$_1$
- Bước 3: Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = at$^2$ + bt + c = 0
- Bước 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f(m,t) có nghiệm t ∈ U
- Bước 5: Kết luận
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈(0; π/4)
m.cos$^2$(x) – 4sin(x).cos(x) + m – 2 = 0 (1)
Giải
Với x ∈(0; π/4) → cos(x) ≠ 0.Chia cả hai vế của phương trình cho cos$^2$ ≠ 0 ta được
$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m - 4\tan x\,\, + \,\,\,(m - 2)\,\,(1 + {\tan ^2}x)\,\, = \,0\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(m - 2){\tan ^2}x\,\, - 4\,\tan x\,\, + 2m\, - \,2\,\, = 0\,\,\,\,\,(2)\,
\end{array}$
Đặt t = tan(x) vì x ∈(0; π/4) nên t ∈(0;1) ta được
$\,\,(m - 2){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\,\, - 4\,{\mathop{\rm t}\nolimits} \, + 2m\, - \,2\,\, = 0\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$
Khi đó (1) có nghiệm x ∈(0; π/4) khi và chỉ khi (3) có nghiệm t ∈(0;1)
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau
Cách 1:
+) Với m – 2 = 0 ⇔ m = 2 khi đó (3) có dạng
$ - 4t\,\, + 2\, = 0\, \Leftrightarrow \,\,\,t = \frac{1}{2}\,\,\, \in \left( {\,0\,\,;\,\,1} \right)$
Vậy m = 2 thỏa mãn đề bài
+)Với m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 khi đó (3) có nghiệm t ∈(0;1)
⇔ (3) có 1 nghiệm ∈(0;1) hoặc (3) có 2 nghiệm ∈(0;1)
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f(1).\,f(2)\,\, < \,\,0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta '\,\, \ge \,0\\
af(1)\,\, > \,\,0\\
af(0)\,\, > \,0\\
0 < \frac{S}{2} < \,\,1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(3m\, - \,\,8)(2m\, - 2)\,\, < \,\,0\\
\left\{ \begin{array}{l}
- 2{m^2}\,\, + \,6m\,\, \ge \,\,0\\
(3m\, - \,\,8)(m\, - 2)\,\, > 0\\
(m - 2)(2m - 2)\,\, > \,0\\
0 < \,\,\frac{2}{{m - 2}} < \,\,1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,1 < m < \frac{8}{3}$
Vậy với 1 < m < 8/3 phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4)
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng : $\frac{{2{t^2} + \,\,4t + 2}}{{{t^2} + 2}}\,\,\, = m$
Phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4)
$ \Leftrightarrow $ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2{t^2} + \,\,4t + 2}}{{{t^2} + 2}}\,\,\,$ trên (0; 1)
Xét hàm số (C) $y = \frac{{2{t^2} + \,\,4t + 2}}{{{t^2} + 2}}\,\,\,$trên (0; 1)
Đạo hàm $y'\, = \,\frac{{ - 4{t^2} + 4t + 8}}{{{{({t^2} + 2)}^2}}}\, = \,\,\frac{{ - 4(t + 1)(t - 2)}}{{{{({t^2} + 2)}^2}}}\,\, > \,0\,\,\forall \,\,t\, \in \,\left( {0\,;\,1} \right)$ tức là hàm số đồng biến trên (0; 1)
Do đó đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số(C) trên khoảng (0; 1)
→ y(0) < m < y(1) ↔ 1 < m < 8/3
Vậy với 1 < m < 8/3 phương trình có nghiệm x ∈(0;π/4)
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
$4({\sin ^4}x + {\cos ^4}x) - 4({\sin ^6}x + {\cos ^6}x) - {\sin ^2}4x\,\, = \,m$ (1)
Giải
Ta đã có:$\begin{array}{l}
{\sin ^6}x + {\cos ^6}x\,\, = \,1 - \frac{3}{4}\,{\sin ^2}2x\\
{\sin ^4}x + {\cos ^4}x\,\, = \,1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\\
{\sin ^2}4x\,\, = \,\,4{\sin ^2}2x - 4{\sin ^4}2x
\end{array}$
Do đó phương trình được biến đổi về dạng
$\begin{array}{l}
4(1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}4x) - 4(1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x)\, - \left( {4{{\sin }^2}2x - 4{{\sin }^4}2x} \right)\,\, = \,m\\
\Leftrightarrow 4{\sin ^4}2x\,\, - \,3\,\,{\sin ^2}2x\,\, = \,m
\end{array}$
Đặt $t\, = \,{\sin ^2}{x^{}}\,\,\,\,\,\,0 \le \,\,t \le \,\,1$Khi đó phương trình có dạng $4{t^2} - 3t\, = \,m$ (2)
Cách 1: phương trình (1) có nghiệm ↔ (2) có nghiệm $ \in \left[ {0\,\,;\,\,1} \right]$
↔(2) có 1 nghiệm hoặc (2) có 2 nghiệm $ \in \left[ {0\,\,;\,\,1} \right]$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f(0).\,\,f(1)\,\, \le \,\,0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta '\,\, \ge \,\,0\\
af(0)\,\, \ge \,\,0\\
af(1)\,\, \ge \,\,0\\
0 \le \frac{S}{2} \le \,\,1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
- m(1 - m)\,\, \le \,\,0\\
9 + 16m\,\, \ge \,0\\
- m\, \ge \,0\\
1 - m\, \ge \,\,0\\
0 \le \frac{3}{8} \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 \le m \le 1\\
- \frac{9}{{16}} \le \,m \le \,0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{9}{{16}} \le \,m \le \,1$
Vậy với $ - \frac{9}{{16}} \le m \le 1$ thì phương trình trên có nghiệm
Cách 2: Phương trình (1) có nghiệm ↔ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y = 4{t^2} - 3t$ trên đoạn [0; 1]
Xét hàm số $y = 4{t^2} - 3t$ trên đoạn [0; 1]
Đạo hàm $y' = 8t - 3\,\,,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \,\,t = \frac{3}{8}$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta được điều kiện $ - \frac{9}{{16}} \le m \le 1$
Vậy với $ - \frac{9}{{16}} \le m \le 1$ thì phương trình có nghiệm
Ví dụ 3: Cho phương trình $\cos 2x\,\, = \,m\sqrt {1 + \tan x} \,\,{\cos ^2}x$ (1)
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0; π/3]
Giải
Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\
\tan x \ge \,\, - 1
\end{array} \right.\,\,\,\,(*)$
Đặt t = tan(x) thì $\cos 2x\,\, = \,\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$ và ${\cos ^2}x\,\, = \,\frac{1}{{1 + {t^2}}}$
Khi đó phương trình có dạng $\,\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\,\, = \,\,m\sqrt {1 + t} \,\,\,\frac{1}{{1 + {t^2}}}\,\, \Leftrightarrow \,\,1 - {t^2} = m\sqrt {1 + t} $
Vì $x\,\, \in \,\left[ {0\,;\,\,\frac{\pi }{3}\,\,} \right]$ suy ra $t\, \in \,\left[ {0\,\,;\,\,\,\sqrt 3 } \right]$
Do 1 + t > 0 nên phương trình được viết lại dưới dạng $(1 - t)\sqrt {1 + t} \,\, = \,m$
Để phương trình (1) có nghiệm $x\,\, \in \,\left[ {0\,;\,\,\frac{\pi }{3}\,\,} \right]$ thì phương trình (3) có nghiệm $t\, \in \,\left[ {0\,\,;\,\,\,\sqrt 3 } \right]$ , suy ra đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y = (1 - t)\sqrt {1 + t} \,\,$trên đoạn $\left[ {0\,\,;\,\,\,\sqrt 3 } \right]$
Xét hàm số $y = (1 - t)\sqrt {1 + t} \,\,$ trên D = $\left[ {0\,\,;\,\,\,\sqrt 3 } \right]$
Đạo hàm
$y' = - \sqrt {1 + t} \, + \frac{{1 - t}}{{2\sqrt {1 + t} }}\, = \,\frac{{ - 2(1 + t) + 1 - t}}{{2\sqrt {1 + t} }} = \frac{{ - 3t - 1}}{{2\sqrt {1 + t} }} < 0\,\,\,\forall t\, \in D$
→ Hàm số nghịch biến
Do đó điều kiện là $f(\sqrt 3 )\, \le m \le \,\,f(0) \Leftrightarrow (1 - \sqrt 3 )\sqrt {1 + \sqrt 3 } \le m \le 1$
Vậy với $(1 - \sqrt 3 )\sqrt {1 + \sqrt 3 } \le m \le 1$ thoả mãn điều kiện đề bài
Nhận xét: Với những bài toán dạng này chúng ta cần phải nhớ rằng khi đặt ẩn phụ, ta nên nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ rồi từ đó ta xét điều kiện cho ẩn ban đầu.
