Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm

[Doremon]

Nhằm giúp học sinh luyện thi đại học tốt phần lượng giác, trong buổi hôm nay chúng tôi giới thiệu với các em phương pháp: Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm
I. Phương pháp
Ta cần nhớ các đại lượng không âm trong lượng giác, bao gồm${A^2},\,\,\left| B \right|,\,\,1\, \pm \,\cos x,\,\,\,1\, \pm \,\sin x$ do đó để sử dụng phương pháp này giải PTLG ta thực hiện theo các bước sau.
Bước 1: Biến đổi phhương trình ban đầu về dạng
${A_1}\, + \,{A_2}\, + \,...\, + \,{A_n}\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Bước 2: Dùng lập luận ${A_{i\,}} \ge \,0,\,\,\,\forall \,i\, = \,\overline {1,n} $
Bước 3: Khi đó
$\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}
{A_1}\, = \,0\\
{A_2}\, = \,0\\
\mathop :\limits_. \\
{A_n}\, = \,0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( I \right)$
Bước 4: Giải hệ (I)

Ví Dụ Minh Họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình: ${\cos ^2}4x\, + \,{\cos ^2}8x\, = \,{\sin ^2}12x + \,{\sin ^2}16x\, + \,2\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Giải​

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right)\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,1\, - \,{\sin ^2}4x + \,1 - \,{\sin ^2}8x\, + \,2 = \,{\sin ^2}12x + \,{\sin ^2}16x\, + \,2\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\sin ^2}4x\, + \,{\sin ^2}8x\, + \,{\sin ^2}12x\, + {\sin ^2}16x\, = \,0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = \,0\\
\sin 8x = \,0\\
\sin 12x = \,0\\
\sin 16x = \,0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\sin 4x = \,0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,4x\, = \,k\pi \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x\, = \,k\frac{\pi }{4}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.

Ví dụ 2:
Giải phương trình: $\cos 2x\, - \,\cos 6x\, + \,4(3\sin x\, - 4{\sin ^3}x\, + \,1)\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Giải
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( 2 \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\cos 2x\,\, - \cos 6x\, + \,4\sin 3x\, + \,4\, = \,0\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(1\, + \,\cos 2x)\, + \,(1\, - \cos 6x)\, + \,4\sin 3x\, + \,2\, = \,0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,2{\cos ^2}x\, + \,2{\sin ^3}3x\, + \,4\sin 3x\, + \,2\, = \,0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x\, + \,{(\sin 3x\, + \,1)^2}\, = \,0
\end{array}$
$\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos x\, = \,0\\
\sin 3x\, = \,1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \\
x\, = \,\frac{{3\pi }}{2}\, + \,k\pi
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,2k\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.

Ví dụ 3:
Giải phương trình: $4{\cos ^2}x\, + \,3{\tan ^2}x\, - \,4\sqrt 3 \cos x\, + \,2\sqrt 3 \tan x\, + 4\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$

Giải​

Nhận xét: Ta nhận thấy phương trình trên có 4 hạng tử cos(x), cos$^2$(x), tan(x), tan$^2$(x) vậy thì ta có thể biến đổi phương trình về dạng tổng bình phương của hai biểu thức.
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( 3 \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,(4{\cos ^2}x\,\, - \,4\sqrt 3 \cos x\, + \,3) + \,(3{\tan ^2}x\, + \,2\sqrt 3 \tan x\, + 1)\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\\
\Leftrightarrow \,\,\,{\left( {2\cos x\, - \,\sqrt 3 } \right)^2} + \,{\left( {\sqrt 3 \tan x\, + 1} \right)^{2\,}}\, = \,0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\cos x\, - \,\sqrt 3 \, = \,0\\
\sqrt 3 \tan x\, + 1\, = 0
\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\cos x\, = \,\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\\
\sqrt 3 \tan x\, = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\,
\end{array} \right.\,\,\,\,\\
\Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x\, = \, \pm \frac{\pi }{6}\, + \,k2\pi \\
x\, = \, - \frac{\pi }{6}\, + \,k\pi
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \, - \frac{\pi }{6}\, + \,k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.

Ví dụ 4: Giải phương trình
$\sqrt {\tan x\, - \,1} \, + \,\sqrt {\cot x\, - \,1} \, = \,\frac{1}{{\sin 2x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$

Giải​

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\tan x > 1\\
\cot x > 1\\
\sin 2x \ne 0
\end{array} \right.$
Cách 1:
$\begin{array}{l}
\left( 4 \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\sqrt {\tan x\, - \,1} \, + \,\sqrt {\cot x\, - \,1} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\tan x\, + \,\cot x} \right)\,\,\,\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,[(\tan x\, - \,1)\, - \,2\sqrt {\tan x\, - \,1} \, + \,1]\, + \,\,[(\cot x\, - \,1)\, - \,2\sqrt {\cot x\, - \,1} \, + 1\,\,] = \,0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{(\sqrt {\tan x\, - \,1} \, - \,1)^2}\, + \,{(\sqrt {\cot x\, - \,1} \, - 1)^{2\,}}\, = \,0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {\tan x\, - \,1} \, - \,1\, = \,0\\
\sqrt {\cot x\, - \,1} \, - 1\, = \,0
\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\tan x\, = \,\cot x\, = \,2\,\,\,\,
\end{array}$
→ tan(x).cot(x) = 4 (mâu thuẫn)
Vậy phương trình vô nghiệm.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta được
$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {1(\tan x\, - \,1)} \le \frac{{1\, + \,\tan x\, - \,1}}{2}\, = \,\frac{{\tan x}}{2}\\
\sqrt {1(\cot x\, - \,1)} \le \frac{{1\, + co\,{\mathop{\rm t}\nolimits} x\, - \,1}}{2}\, = \,\frac{{co{\mathop{\rm t}\nolimits} x}}{2}
\end{array} \right.\,\,\\
\Rightarrow \sqrt {\tan x\, - \,1} \, + \,\sqrt {\cot x\, - \,1} \le \frac{1}{2}(\tan x\, + \,\cot x)\, = \,\frac{1}{{\sin 2x}}
\end{array}$
Do vậy
$\left( 4 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {\tan x\, - \,1} \, = \,1\\
\sqrt {\cot x\, - \,1} \, = \,1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\tan x\, = \,\cot x\, = \,2$ (mâu thuẫn).
Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải phương trình
${\tan ^2}x\, + \,{\tan ^2}y\, + \,{\cot ^2}(x\, + \,y)\, = \,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)$

Giải​

Ta có
$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cot (x\, + \,y)\, = \,\frac{{1\, - \,\tan x.\tan y}}{{\tan x\, + \,\tan y}}\,\,\,\,\\
\Rightarrow \,\,\,\,\,\,(\tan x\, + \,\tan y)\,\cot (x\, + \,y)\,\, = \,1\, - \,\,\tan x.\tan y\,\,\\
\, \Leftrightarrow \,\tan x.\tan y\, + \;\tan x.\,\cot (x\, + \,y)\, + \,\tan y.\cot (x\, + \,y)\, = \,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}$
Do vậy
$\begin{array}{l}
\left( 5 \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,{\tan ^2}x\, + \,\,\,{\tan ^2}y\, + \,{\cot ^2}\left( {x\, + \,y} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\tan x.\,\tan y\, + \,\tan x.\,\cot (x\, + \,y)\, + \,\tan y.\,\cot (x\, + \,y)\,\\
\,\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{2}\,[{(\tan x\, + \,\,\,\tan y)^2}\, + \,{(\tan x\, - \,\cot \left( {x\, + \,y} \right))^2}\, + \,{(\tan y\, - \,\,\cot (x\, + \,y))^2}\,]\, = 0\\
\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\tan x\, = \,\tan y\, = \,\cot \left( {x + y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)
\end{array}$
Từ (5) và (6) ta có: $\,\,\,\tan x\, = \,\tan y\, = \,\cot \left( {x + y} \right)\, = \, \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\,\,$
$\left\{ \begin{array}{l}
x\, = \, - \frac{\pi }{6}\, + \,k\pi \\
y\, = - \,\frac{\pi }{6}\, + \,k\pi
\end{array} \right.\,\,\,$ hoặc $\,\left\{ \begin{array}{l}
x\, = \,\frac{\pi }{6}\, + \,k\pi \\
y\, = \,\frac{\pi }{6}\, + \,k\pi
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm .

Chú ý: Với mọi x, y làm tan(x), tan(y), tan(x + y) có nghĩa ta luôn có tan(x).tan(y) + tan(x).cot(x+y) + tan(y).cot(x+y) = 1

Ví dụ 6: Giải phương trình
${4^{\sin x\,}}\, - \,{2^{1 + \,\sin x}}.\cos \left( {xy} \right)\, + \,{2^{\left| y \right|}}\, = \,0$ (6)

Giải​

$\begin{array}{l}
\left( 6 \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\left( {{2^{\sin x}}} \right)^2}\, - \,{2.2^{\sin x}}.\cos \left( {x.y} \right)\, + \,1\, - \,1\, + \,{2^{\left| y \right|}}\, = \,0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\left( {{2^{\sin x}}\, - \,1} \right)^2}\, + \,({2^{\left| y \right|}}\, - \,1)\,\, = \,0\,\,\\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^{\sin x}}\, = \,1\\
{2^{\left| y \right|}}\, = \,1
\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\sin x\, = \,0\\
y\, = \,0
\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
x\, = \,k\pi \\
y\, = \,0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác bằng phương pháp này đòi hỏi ở học sinh phải có tư duy, nhận xét qua từng bài toán xem có thể đưa về hằng đẳng thức hoặc số hạng nào đó không âm. Với phương pháp này có tác dụng tích cực tới tư duy sáng tạo cho học sinh.