KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa phép đối xứng trục:
• Cho đường thẳng $d$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M’$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM’$ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng $d$, hay còn gọi là phép đối xứng trục $d$, ký hiệu ${Đ_d}.$
• ${Đ_d}\left( M \right) = M’$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = – \overrightarrow {IM’} .$
• Nếu ${Đ_d}\left[ {\left( H \right)} \right] = \left( H \right)$ thì $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $\left( H \right)$.
2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng $Oxy$ với mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$, gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {Đ_d}\left( M \right).$
• Nếu $d$ là trục $Ox$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = – y
\end{array} \right.$
• Nếu $d$ là trục $Oy$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = – x\\
y’ = y
\end{array} \right.$
3. Tính chất phép đối xứng trục:
• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
• Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
• Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. CÁC DẠNG TOÁN PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Dạng toán 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục
Phương pháp: Để xác định ảnh $\left( H’ \right)$ của hình $\left( H \right)$ qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau:
• Dùng định nghĩa phép đối xứng trục.
• Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ $Ox$, $Oy.$
• Dùng biểu thức vectơ của phép đối xứng trục.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $M\left( {1;5} \right)$, đường thẳng $d:x + 2y + 4 = 0$ và đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0.$
a. Tìm ảnh của $M$, $d$ và $\left( C \right)$ qua phép đối xứng trục $Ox.$
b. Tìm ảnh của $M$ qua phép đối xứng qua đường thẳng $d.$
a. Gọi $M’$, $d’$, $\left( {C’} \right)$ theo thứ tự là ảnh của $M$, $d$, $\left( C \right)$ qua phép đối xứng trục ${Đ_{Ox}}.$
• Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục $Ox$, suy ra: $M’\left( {1; – 5} \right).$
• Tìm ảnh của đường thẳng $d$:
Lấy $N\left( {x;y} \right) \in d$ $ \Rightarrow x + 2y + 4 = 0$ $(1).$
Gọi $N’\left( {x’;y’} \right)$ là ảnh của $N$ qua phép đối xứng ${Đ_{Ox}}.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = – y
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’\\
y = – y’
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: $x’ – 2y’ + 4 = 0.$
Vậy $d’:x – 2y + 4 = 0.$
• Tìm ảnh của đường tròn $\left( C \right):$
Cách 1:
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { – 1;2} \right)$ và bán kính $R = 3.$
Gọi $I’,R’$ là tâm và bán kính của $\left( {C’} \right)$ thì $I’\left( { – 1; – 2} \right)$ và $R’ = R = 3$.
Do đó $\left( {C’} \right): {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9.$
Cách 2:
Lấy $P\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$ $ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0$ $\left( 2 \right).$
Gọi $P’\left( {x’;y’} \right)$ là ảnh của $P$ qua phép đối xứng ${Đ_{Ox}}.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = – y
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’\\
y = – y’
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( 2 \right)$, ta được: $x{‘^2} + y{‘^2} + 2x’ + 4y’ – 4 = 0.$
Vậy $\left( {C’} \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y – 4 = 0.$
b. Đường thẳng ${d_1}$ đi qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình $2x – y + 3 = 0.$
Gọi $I = d \cap {d_1}$ thì tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 4 = 0\\
2x – y + 3 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – 2\\
y = – 1
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I\left( { – 2; – 1} \right).$
Gọi $M’$ đối xứng với $M$ qua $d$ thì $I$ là trung điểm của $MM’$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_{M’}}}}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_{M’}}}}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{M’}} = 2{x_I} – {x_M} = – 5\\
{y_{M’}} = 2{y_I} – {y_M} = – 7
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M’\left( { – 5; – 7} \right).$
Vậy ảnh của $M$ qua phép đối xứng đường thẳng $d$ là điểm $M’\left( { – 5; – 7} \right).$
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng $d:x + y – 2 = 0$, ${d_1}:x + 2y – 3 = 0$ và đường tròn $\left( C \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4.$ Tìm ảnh của ${d_1}$, $\left( C \right)$ qua phép đối xứng trục $d.$
• Tìm ảnh của ${d_1}:$
Ta có: ${d_1} \cap d = I\left( {1;1} \right)$ nên ${Đ_d}\left( I \right) = I.$
Lấy $M\left( {3;0} \right) \in {d_1}$.
Đường thẳng ${d_2}$ đi qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình $x – y – 3 = 0.$
Gọi ${M_0} = d \cap {d_2}$, thì tọa độ của ${M_0}$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 2 = 0\\
x – y – 3 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2}\\
y = – \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {M_0}\left( {\frac{5}{2}; – \frac{1}{2}} \right).$
Gọi $M’$ là ảnh của $M$ qua ${Đ_d}$ thì ${M_0}$ là trung điểm của $MM’$ nên $M’\left( {2; – 1} \right).$
Gọi ${d_1}’ = {Đ_d}\left( {{d_1}} \right)$ thì ${d_1}’$ đi qua $I$ và $M’$ nên có phương trình $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow 2x + y – 3 = 0.$
Vậy ${d_1}’:2x + y – 3 = 0.$
• Tìm ảnh của $\left( C \right):$
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J\left( {1; – 1} \right)$ và bán kính $R = 2.$
Đường thẳng ${d_3}$ đi qua $J$ và vuông góc với $d$ có phương trình $x – y – 2 = 0.$
Gọi ${J_0} = {d_3} \cap d$ thì tọa độ của điểm ${J_0}$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 2 = 0\\
x – y – 2 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 0
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {J_0}\left( {2;0} \right).$
Gọi $J’ = {Đ_d}\left( J \right)$ thì ${J_0}$ là trung điểm của $JJ’$ nên $J’\left( {3;1} \right).$
Gọi $\left( {C’} \right) = {Đ_d}\left( {\left( C \right)} \right)$ thì $J’$ là tâm của $\left( {C’} \right)$ và bán kính của $\left( {C’} \right)$ là $R’ = R = 2.$
Vậy $\left( {C’} \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 4.$
1. Định nghĩa phép đối xứng trục:
• Cho đường thẳng $d$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M’$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM’$ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng $d$, hay còn gọi là phép đối xứng trục $d$, ký hiệu ${Đ_d}.$
• ${Đ_d}\left( M \right) = M’$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = – \overrightarrow {IM’} .$
• Nếu ${Đ_d}\left[ {\left( H \right)} \right] = \left( H \right)$ thì $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $\left( H \right)$.
2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng $Oxy$ với mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$, gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {Đ_d}\left( M \right).$
• Nếu $d$ là trục $Ox$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = – y
\end{array} \right.$
• Nếu $d$ là trục $Oy$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = – x\\
y’ = y
\end{array} \right.$
3. Tính chất phép đối xứng trục:
• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
• Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
• Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. CÁC DẠNG TOÁN PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Dạng toán 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục
Phương pháp: Để xác định ảnh $\left( H’ \right)$ của hình $\left( H \right)$ qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau:
• Dùng định nghĩa phép đối xứng trục.
• Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ $Ox$, $Oy.$
• Dùng biểu thức vectơ của phép đối xứng trục.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $M\left( {1;5} \right)$, đường thẳng $d:x + 2y + 4 = 0$ và đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0.$
a. Tìm ảnh của $M$, $d$ và $\left( C \right)$ qua phép đối xứng trục $Ox.$
b. Tìm ảnh của $M$ qua phép đối xứng qua đường thẳng $d.$
a. Gọi $M’$, $d’$, $\left( {C’} \right)$ theo thứ tự là ảnh của $M$, $d$, $\left( C \right)$ qua phép đối xứng trục ${Đ_{Ox}}.$
• Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục $Ox$, suy ra: $M’\left( {1; – 5} \right).$
• Tìm ảnh của đường thẳng $d$:
Lấy $N\left( {x;y} \right) \in d$ $ \Rightarrow x + 2y + 4 = 0$ $(1).$
Gọi $N’\left( {x’;y’} \right)$ là ảnh của $N$ qua phép đối xứng ${Đ_{Ox}}.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = – y
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’\\
y = – y’
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được: $x’ – 2y’ + 4 = 0.$
Vậy $d’:x – 2y + 4 = 0.$
• Tìm ảnh của đường tròn $\left( C \right):$
Cách 1:
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { – 1;2} \right)$ và bán kính $R = 3.$
Gọi $I’,R’$ là tâm và bán kính của $\left( {C’} \right)$ thì $I’\left( { – 1; – 2} \right)$ và $R’ = R = 3$.
Do đó $\left( {C’} \right): {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9.$
Cách 2:
Lấy $P\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$ $ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0$ $\left( 2 \right).$
Gọi $P’\left( {x’;y’} \right)$ là ảnh của $P$ qua phép đối xứng ${Đ_{Ox}}.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\\
y’ = – y
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’\\
y = – y’
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( 2 \right)$, ta được: $x{‘^2} + y{‘^2} + 2x’ + 4y’ – 4 = 0.$
Vậy $\left( {C’} \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y – 4 = 0.$
b. Đường thẳng ${d_1}$ đi qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình $2x – y + 3 = 0.$
Gọi $I = d \cap {d_1}$ thì tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 4 = 0\\
2x – y + 3 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – 2\\
y = – 1
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I\left( { – 2; – 1} \right).$
Gọi $M’$ đối xứng với $M$ qua $d$ thì $I$ là trung điểm của $MM’$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_{M’}}}}{2}\\
{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_{M’}}}}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{M’}} = 2{x_I} – {x_M} = – 5\\
{y_{M’}} = 2{y_I} – {y_M} = – 7
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M’\left( { – 5; – 7} \right).$
Vậy ảnh của $M$ qua phép đối xứng đường thẳng $d$ là điểm $M’\left( { – 5; – 7} \right).$
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng $d:x + y – 2 = 0$, ${d_1}:x + 2y – 3 = 0$ và đường tròn $\left( C \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4.$ Tìm ảnh của ${d_1}$, $\left( C \right)$ qua phép đối xứng trục $d.$
• Tìm ảnh của ${d_1}:$
Ta có: ${d_1} \cap d = I\left( {1;1} \right)$ nên ${Đ_d}\left( I \right) = I.$
Lấy $M\left( {3;0} \right) \in {d_1}$.
Đường thẳng ${d_2}$ đi qua $M$ vuông góc với $d$ có phương trình $x – y – 3 = 0.$
Gọi ${M_0} = d \cap {d_2}$, thì tọa độ của ${M_0}$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 2 = 0\\
x – y – 3 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{2}\\
y = – \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {M_0}\left( {\frac{5}{2}; – \frac{1}{2}} \right).$
Gọi $M’$ là ảnh của $M$ qua ${Đ_d}$ thì ${M_0}$ là trung điểm của $MM’$ nên $M’\left( {2; – 1} \right).$
Gọi ${d_1}’ = {Đ_d}\left( {{d_1}} \right)$ thì ${d_1}’$ đi qua $I$ và $M’$ nên có phương trình $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow 2x + y – 3 = 0.$
Vậy ${d_1}’:2x + y – 3 = 0.$
• Tìm ảnh của $\left( C \right):$
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J\left( {1; – 1} \right)$ và bán kính $R = 2.$
Đường thẳng ${d_3}$ đi qua $J$ và vuông góc với $d$ có phương trình $x – y – 2 = 0.$
Gọi ${J_0} = {d_3} \cap d$ thì tọa độ của điểm ${J_0}$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 2 = 0\\
x – y – 2 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 0
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {J_0}\left( {2;0} \right).$
Gọi $J’ = {Đ_d}\left( J \right)$ thì ${J_0}$ là trung điểm của $JJ’$ nên $J’\left( {3;1} \right).$
Gọi $\left( {C’} \right) = {Đ_d}\left( {\left( C \right)} \right)$ thì $J’$ là tâm của $\left( {C’} \right)$ và bán kính của $\left( {C’} \right)$ là $R’ = R = 2.$
Vậy $\left( {C’} \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 4.$
