KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa phép quay
• Cho điểm $O$ và góc lượng giác $\alpha $. Phép biến hình biến $O$ thành chính nó và biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M’$ sao cho $OM’=OM$ và góc lượng giác $\left( OM;OM’ \right)=\alpha $ được gọi là phép quay tâm $O$, $\alpha $ được gọi là góc quay.
• Phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha $ được kí hiệu là ${{Q}_{\left( O;\alpha \right)}}$.
• Nhận xét:
+ Khi $\alpha = 2k\pi $, $k \in Z$ thì ${Q_{\left( {O;\alpha } \right)}}$ là phép đồng nhất.
+ Khi $\alpha = \left( {2k + 1} \right)\pi $, $k \in Z$ thì ${Q_{\left( {O;\alpha } \right)}}$ là phép đối xứng tâm $O.$
2. Biểu thức tọa độ của phép quay
• Trong mặt phẳng $Oxy$, giả sử $M\left( x;y \right)$ và $M’\left( x’;y’ \right)={{Q}_{\left( O,\alpha \right)}}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\cos \alpha – y\sin \alpha \\
y’ = x\sin \alpha + y\cos \alpha
\end{array} \right.$
• Trong mặt phẳng $Oxy$, giả sử $M\left( x;y \right)$, $I\left( a;b \right)$ và $M’\left( x’;y’ \right)={{Q}_{\left( I,\alpha \right)}}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = a + \left( {x – a} \right)\cos \alpha – \left( {y – b} \right)\sin \alpha \\
y’ = b + \left( {x – a} \right)\sin \alpha + \left( {y – b} \right)\cos \alpha
\end{array} \right.$
3. Tính chất của phép quay
• Các tính chất của phép quay:
+ Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
+ Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
+ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
+ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
• Lưu ý: Giả sử phép quay tâm $I$ góc quay $\alpha $ biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d’$, khi đó:
+ Nếu $0<\alpha \le \frac{\pi }{2}$ thì góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d’$ bằng $\alpha .$
+ Nếu $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $ thì góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d’$ bằng $\pi -\alpha .$
1. Định nghĩa phép quay
• Cho điểm $O$ và góc lượng giác $\alpha $. Phép biến hình biến $O$ thành chính nó và biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M’$ sao cho $OM’=OM$ và góc lượng giác $\left( OM;OM’ \right)=\alpha $ được gọi là phép quay tâm $O$, $\alpha $ được gọi là góc quay.
• Phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha $ được kí hiệu là ${{Q}_{\left( O;\alpha \right)}}$.
• Nhận xét:
+ Khi $\alpha = 2k\pi $, $k \in Z$ thì ${Q_{\left( {O;\alpha } \right)}}$ là phép đồng nhất.
+ Khi $\alpha = \left( {2k + 1} \right)\pi $, $k \in Z$ thì ${Q_{\left( {O;\alpha } \right)}}$ là phép đối xứng tâm $O.$
2. Biểu thức tọa độ của phép quay
• Trong mặt phẳng $Oxy$, giả sử $M\left( x;y \right)$ và $M’\left( x’;y’ \right)={{Q}_{\left( O,\alpha \right)}}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\cos \alpha – y\sin \alpha \\
y’ = x\sin \alpha + y\cos \alpha
\end{array} \right.$
• Trong mặt phẳng $Oxy$, giả sử $M\left( x;y \right)$, $I\left( a;b \right)$ và $M’\left( x’;y’ \right)={{Q}_{\left( I,\alpha \right)}}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = a + \left( {x – a} \right)\cos \alpha – \left( {y – b} \right)\sin \alpha \\
y’ = b + \left( {x – a} \right)\sin \alpha + \left( {y – b} \right)\cos \alpha
\end{array} \right.$
3. Tính chất của phép quay
• Các tính chất của phép quay:
+ Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
+ Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
+ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
+ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
• Lưu ý: Giả sử phép quay tâm $I$ góc quay $\alpha $ biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d’$, khi đó:
+ Nếu $0<\alpha \le \frac{\pi }{2}$ thì góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d’$ bằng $\alpha .$
+ Nếu $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $ thì góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d’$ bằng $\pi -\alpha .$
