1. Phương pháp
Ví dụ 1:
Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ và pha ban đầu lần lượt là ${A_1} = 10cm;{A_2} = 10\sqrt 3 cm;\,{\varphi _1} = 0;\,{\varphi _2} = - \frac{\pi }{2}rad.$ Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp của hai dao động trên là
A. 20cm và – π/6(rad)
B. 15cm và – π/3(rad)
C. 20cm và – π/3(rad).
D. 15cm và – π/6(rad)
{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)\\
\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
A = 20cm\\
\varphi = - \frac{\pi }{3}rad
\end{array} \right.$
Chọn C
Ví dụ 2:
Phương trình tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tấn số có phương trình x = 3cos(πt – 5π/6) cm. Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ ${x_1} = 5\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)cm.$. Dao động thứ hai có phương tình li độ là
A. ${x_2} = 8\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)cm.$
B. ${x_2} = 2\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)cm.$
C. ${x_2} = 2\cos \left( {\pi t - \frac{{5\pi }}{6}} \right)cm.$
D. ${x_2} = 8\cos \left( {\pi t - \frac{{5\pi }}{6}} \right)cm.$
Chọn D
Ví dụ 3:
Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có phương trình ${x_1};\,{x_2};\,{x_3}$. Biết ${x_{12}} = 6\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)cm;$ ${x_{23}} = 6\cos \left( {\pi t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)cm;$ ${x_{13}} = 6\sqrt 2 \cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)cm.$ Khi li độ của x1 đạt giá trị cực đại thị li độ của x3 bằng bao nhiêu
A. 3 cm.
B. 0 cm.
C. 3√6 cm.
D.3√2 cm.
\left. \begin{array}{l}
{x_{12}} = {x_1} + {x_2}\\
{x_{13}} = {x_1}\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,{x_3}\\
{x_{13}} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} + \,{x_3}
\end{array} \right\} \to {x_{13}} - {x_{12}} + {x_{23}} = 2{x_3}\\
\to {x_3} = \frac{{{x_{13}} + {x_{23}} - {x_{12}}}}{2} = 3\sqrt 2 \cos \left( {\pi t + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)cm
\end{array}$
Ta thấy ${x_3}$ sớm pha hơn ${x_1}$ một góc π/2 nên ${x_1}$ max thì ${x_3}$ bằng 0
Chọn B
- Cho hai dao động cùng phương ${x_1} = {A_1}\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)$ và ${x_2} = {A_2}\cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)$
- Biểu thức của dao động tổng hợp là $x = {x_1} + {x_2} = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)\\\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}\end{array} \right.$
- Nếu ${\varphi _2} > {\varphi _1}$ thì dao động ${x_2}$ sớm pha hơn dao động ${x_1}$ hoặc dao động ${x_1}$ trễ pha hơn dao động ${x_2}$.
- Nếu ${\varphi _2} < {\varphi _1}$ thì dao động ${x_2}$ chậm pha hơn dao động ${x_1}$ hoặc dao động ${x_1}$ sớm pha hơn dao động ${x_2}$.
- Nếu ${\varphi _2} = {\varphi _1}$ thì dao động ${x_2}$ cùng pha với dao động ${x_1}$.
- Nếu ${\varphi _2} - {\varphi _1} = \left( {2k + 1} \right)\pi $ thì dao động ${x_2}$ ngược pha với dao động ${x_1}$.
- Nếu ∆φ = 2kπ thì $A = {A_1} + {A_2}$
- Nếu ∆φ = (2k + 1)π thì $A = \left| {{A_1} - {A_2}} \right|$
- Nếu ∆φ bất kì thì $\left| {{A_1} - {A_2}} \right| \le A \le {A_1} + {A_2}$
Ví dụ 1:
Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ và pha ban đầu lần lượt là ${A_1} = 10cm;{A_2} = 10\sqrt 3 cm;\,{\varphi _1} = 0;\,{\varphi _2} = - \frac{\pi }{2}rad.$ Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp của hai dao động trên là
A. 20cm và – π/6(rad)
B. 15cm và – π/3(rad)
C. 20cm và – π/3(rad).
D. 15cm và – π/6(rad)
Lời giải
$\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}.{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)\\
\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
A = 20cm\\
\varphi = - \frac{\pi }{3}rad
\end{array} \right.$
Chọn C
Ví dụ 2:
Phương trình tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tấn số có phương trình x = 3cos(πt – 5π/6) cm. Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ ${x_1} = 5\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)cm.$. Dao động thứ hai có phương tình li độ là
A. ${x_2} = 8\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)cm.$
B. ${x_2} = 2\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)cm.$
C. ${x_2} = 2\cos \left( {\pi t - \frac{{5\pi }}{6}} \right)cm.$
D. ${x_2} = 8\cos \left( {\pi t - \frac{{5\pi }}{6}} \right)cm.$
Lời giải
$x = {x_1} - {x_2} \to {x_2} = x - {x_1} = 8\cos \left( {\pi t - \frac{\pi }{6}} \right)cm$Chọn D
Ví dụ 3:
Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có phương trình ${x_1};\,{x_2};\,{x_3}$. Biết ${x_{12}} = 6\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)cm;$ ${x_{23}} = 6\cos \left( {\pi t + \frac{{2\pi }}{3}} \right)cm;$ ${x_{13}} = 6\sqrt 2 \cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)cm.$ Khi li độ của x1 đạt giá trị cực đại thị li độ của x3 bằng bao nhiêu
A. 3 cm.
B. 0 cm.
C. 3√6 cm.
D.3√2 cm.
Lời giải
$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}
{x_{12}} = {x_1} + {x_2}\\
{x_{13}} = {x_1}\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,{x_3}\\
{x_{13}} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} + \,{x_3}
\end{array} \right\} \to {x_{13}} - {x_{12}} + {x_{23}} = 2{x_3}\\
\to {x_3} = \frac{{{x_{13}} + {x_{23}} - {x_{12}}}}{2} = 3\sqrt 2 \cos \left( {\pi t + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)cm
\end{array}$
Ta thấy ${x_3}$ sớm pha hơn ${x_1}$ một góc π/2 nên ${x_1}$ max thì ${x_3}$ bằng 0
Chọn B
