Dạng 2. Hình chóp đều.
Phương pháp:
• Hình chóp tam giác đều $S.ABC$:
• Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$:
Gọi $O$ là tâm của đáy $\Rightarrow SO$ là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Trong mặt phẳng xác định bởi $SO$ và một cạnh bên, chẳng hạn như $\text{mp}\left( SAO \right)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh $SA$ và cắt $SO$ tại $I$ $\Rightarrow I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ta có: $\Delta SNI ∼ \Delta SOA$ $ \Rightarrow \frac{{SN}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SA}}$, suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: $R = IS = \frac{{SN.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}}.$
Ví dụ 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều $S.ABC$, biết các cạnh đáy có độ dài bằng $a$, cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$.
Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$, ta có $SO\bot \left( ABC \right)$ nên $SO$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $N$ là trung điểm của $SA$, trong $mp\left( SAO \right)$ kẻ trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$ thì $IS$ = $IA$ = $IB$ = $IC$ nên $I$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$. Bán kính mặt cầu là $R=SI$.
Vì hai tam giác $SNI$ và $SOA$ đồng dạng nên ta có $\frac{SN}{SO}=\frac{SI}{SA}$.
Suy ra $R=SI=\frac{SN.SA}{SO}$ $=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=\frac{3a\sqrt{6}}{8}$.
Mà $AO=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Nên $R=SI=\frac{3a\sqrt{6}}{8}$.
Ví dụ 4: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a$.
Gọi $O$ là tâm đáy thì $SO$ là trục của hình vuông $ABCD$. Gọi $N$ là trung điểm của $SD$, trong $mp(SDO)$ kẻ trung trực của đoạn $SD$ cắt $SO$ tại $I$ thì $IS = IA = IB = IC = ID$ nên $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Bán kính mặt cầu là $R=SI$.
Ta có: $\Delta SNI ∼ \Delta SOD$ $ \Rightarrow \frac{{SN}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SD}}$ $ \Rightarrow R = SI = \frac{{SD.SN}}{{SO}} = \frac{{S{D^2}}}{{2SO}}.$
Mà $S{O^2} = S{D^2} – O{D^2}$ $ = 4{a^2} – \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{7{a^2}}}{2}$ $ \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}.$
Vậy $R = \frac{{S{D^2}}}{{2SO}} = \frac{{2a\sqrt {14} }}{7}.$
Phương pháp:
• Hình chóp tam giác đều $S.ABC$:
• Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$:
Gọi $O$ là tâm của đáy $\Rightarrow SO$ là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Trong mặt phẳng xác định bởi $SO$ và một cạnh bên, chẳng hạn như $\text{mp}\left( SAO \right)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh $SA$ và cắt $SO$ tại $I$ $\Rightarrow I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ta có: $\Delta SNI ∼ \Delta SOA$ $ \Rightarrow \frac{{SN}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SA}}$, suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: $R = IS = \frac{{SN.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}}.$
Ví dụ 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều $S.ABC$, biết các cạnh đáy có độ dài bằng $a$, cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$.
Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$, ta có $SO\bot \left( ABC \right)$ nên $SO$ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $N$ là trung điểm của $SA$, trong $mp\left( SAO \right)$ kẻ trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$ thì $IS$ = $IA$ = $IB$ = $IC$ nên $I$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$. Bán kính mặt cầu là $R=SI$.
Vì hai tam giác $SNI$ và $SOA$ đồng dạng nên ta có $\frac{SN}{SO}=\frac{SI}{SA}$.
Suy ra $R=SI=\frac{SN.SA}{SO}$ $=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=\frac{3a\sqrt{6}}{8}$.
Mà $AO=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Nên $R=SI=\frac{3a\sqrt{6}}{8}$.
Ví dụ 4: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a$.
Gọi $O$ là tâm đáy thì $SO$ là trục của hình vuông $ABCD$. Gọi $N$ là trung điểm của $SD$, trong $mp(SDO)$ kẻ trung trực của đoạn $SD$ cắt $SO$ tại $I$ thì $IS = IA = IB = IC = ID$ nên $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Bán kính mặt cầu là $R=SI$.
Ta có: $\Delta SNI ∼ \Delta SOD$ $ \Rightarrow \frac{{SN}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SD}}$ $ \Rightarrow R = SI = \frac{{SD.SN}}{{SO}} = \frac{{S{D^2}}}{{2SO}}.$
Mà $S{O^2} = S{D^2} – O{D^2}$ $ = 4{a^2} – \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{7{a^2}}}{2}$ $ \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}.$
Vậy $R = \frac{{S{D^2}}}{{2SO}} = \frac{{2a\sqrt {14} }}{7}.$
