Dạng 2: Thiết diện của một hình đa diện với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết $\left( \alpha \right)$ chứa $a$ và song song với đường thẳng $b.$
Phương pháp:
+ Chọn mặt phẳng $\left( \beta \right) \supset b.$
+ Tìm một điểm chung $M$ của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right).$
+ Tìm ${M_x} = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$, khi đó ${M_x}\parallel a\parallel b.$
+ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với các mặt của hình đa diện.
+ Nối các đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang với các cạnh đáy là $AB$ và $CD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. $G$ là trọng tâm của $\Delta SAB$. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( IJG \right)$.
Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ||AD||BC.$
Vậy $\left( {IJG} \right)$ là mặt phẳng có chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $\left( {AB} \right).$
Chọn mặt phẳng $\left( {SAB} \right) \supset AB.$
$G$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AB \subset \left( {SAB} \right)\\
IJ \subset \left( {IJG} \right)\\
G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)\\
AB\parallel IJ
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)$ $ = {G_x}\left( {{G_x}\parallel AB\parallel IJ} \right).$
Giả sử ${G_x}$ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SB$ tại $N$, khi đó: $\left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right) = MN$, $\left( {SAD} \right) \cap \left( {IJG} \right) = MI$, $\left( {SBC} \right) \cap \left( {IJG} \right) = NJ$, $\left( {ABCD} \right) \cap \left( {IJG} \right) = IJ.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $MNIJ.$
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left( IJK \right)$.
Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Nên suy ra $IJ\parallel AB.$
Vậy $\left( {IJK} \right)$ là mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $\left( {AB} \right).$
Chọn mặt phẳng $\left( {ABC} \right) \supset AB.$
$\left\{ \begin{array}{l}
K \in BD\\
BD \subset \left( {ABD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow K \in \left( {ABD} \right)$, suy ra $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {IJK} \right)$ và $\left( {ABD} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AB \subset \left( {ABD} \right)\\
IJ \subset \left( {IJK} \right)\\
AB\parallel IJ\\
K \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right) = {K_x}$ $\left( {{K_x}\parallel AB\parallel IJ} \right).$
Giả sử ${K_x}$ cắt $AD$ tại $H$, khi đó: $\left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right) = KH$, $\left( {CAD} \right) \cap \left( {IJK} \right) = IH$, $\left( {CDB} \right) \cap \left( {IJK} \right) = JK$, $\left( {CAB} \right) \cap \left( {IJK} \right) = IJ.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $IJKH.$
Phương pháp:
+ Chọn mặt phẳng $\left( \beta \right) \supset b.$
+ Tìm một điểm chung $M$ của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right).$
+ Tìm ${M_x} = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$, khi đó ${M_x}\parallel a\parallel b.$
+ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với các mặt của hình đa diện.
+ Nối các đoạn giao tuyến lại ta được thiết diện cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang với các cạnh đáy là $AB$ và $CD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. $G$ là trọng tâm của $\Delta SAB$. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( IJG \right)$.
Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ||AD||BC.$
Vậy $\left( {IJG} \right)$ là mặt phẳng có chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $\left( {AB} \right).$
Chọn mặt phẳng $\left( {SAB} \right) \supset AB.$
$G$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AB \subset \left( {SAB} \right)\\
IJ \subset \left( {IJG} \right)\\
G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)\\
AB\parallel IJ
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)$ $ = {G_x}\left( {{G_x}\parallel AB\parallel IJ} \right).$
Giả sử ${G_x}$ cắt $SA$ tại $M$ và cắt $SB$ tại $N$, khi đó: $\left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right) = MN$, $\left( {SAD} \right) \cap \left( {IJG} \right) = MI$, $\left( {SBC} \right) \cap \left( {IJG} \right) = NJ$, $\left( {ABCD} \right) \cap \left( {IJG} \right) = IJ.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $MNIJ.$
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left( IJK \right)$.
Do $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Nên suy ra $IJ\parallel AB.$
Vậy $\left( {IJK} \right)$ là mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước $\left( {AB} \right).$
Chọn mặt phẳng $\left( {ABC} \right) \supset AB.$
$\left\{ \begin{array}{l}
K \in BD\\
BD \subset \left( {ABD} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow K \in \left( {ABD} \right)$, suy ra $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {IJK} \right)$ và $\left( {ABD} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
AB \subset \left( {ABD} \right)\\
IJ \subset \left( {IJK} \right)\\
AB\parallel IJ\\
K \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right) = {K_x}$ $\left( {{K_x}\parallel AB\parallel IJ} \right).$
Giả sử ${K_x}$ cắt $AD$ tại $H$, khi đó: $\left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right) = KH$, $\left( {CAD} \right) \cap \left( {IJK} \right) = IH$, $\left( {CDB} \right) \cap \left( {IJK} \right) = JK$, $\left( {CAB} \right) \cap \left( {IJK} \right) = IJ.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang $IJKH.$
