Phương pháp: Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ có cạnh bên $SA\bot \left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}} \right)$ và đáy ${{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ nội tiếp được trong đường tròn tâm $O$. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ được xác định như sau:
+ Từ tâm $O$ ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mp\left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}} \right)$ tại $O$.
+ Trong $mp\left( d,S{{A}_{1}} \right)$, ta dựng đường trung trực $\Delta $ của cạnh $SA$, cắt $S{{A}_{1}}$ tại $N$, cắt $d$ tại $I$.
+ Khi đó: $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính $R=I{{A}_{1}}=I{{A}_{2}}=…=I{{A}_{n}}=IS$.
+ Tìm bán kính: Ta có: $MIO{A_1}$ là hình chữ nhật, xét $\Delta M{A_1}I$ vuông tại $M$ có: $R = {A_1}I = \sqrt {M{I^2} + M{A_1}^2} $ $ = \sqrt {{A_1}{O^2} + {{\left( {\frac{{S{A_1}}}{2}} \right)}^2}} .$
Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, biết $AB=6a$, $AC=8a$, $SA=10a$. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong mặt phẳng $\left( SA,d \right)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.
Ta có tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.
Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = \sqrt {N{I^2} + N{A^2}} $ $ = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{4} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = 5a\sqrt 2 .$
Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, $SA=2a$. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$.
Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong mặt phẳng $\left( SA,d \right)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.
Ta có tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.
Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = \sqrt {N{I^2} + N{A^2}} $ $ = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
Ví dụ 7: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác cân tại $A$ và $AB=a$, $\widehat{BAC}=120^o $, $SA=2a$. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong mặt phẳng $\left( SA,d \right)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.
Mặt khác, ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A$ $ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ và $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.\cos {\rm{A}}} $ $ = a\sqrt 3 .$
$OA$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $OA = \frac{{AB.BC.CA}}{{4{S_{ABC}}}} = a.$
Tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật nên $NI=OA=a$.
Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = \sqrt {N{I^2} + N{A^2}} $ $ = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 .$
+ Từ tâm $O$ ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mp\left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}} \right)$ tại $O$.
+ Trong $mp\left( d,S{{A}_{1}} \right)$, ta dựng đường trung trực $\Delta $ của cạnh $SA$, cắt $S{{A}_{1}}$ tại $N$, cắt $d$ tại $I$.
+ Khi đó: $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính $R=I{{A}_{1}}=I{{A}_{2}}=…=I{{A}_{n}}=IS$.
+ Tìm bán kính: Ta có: $MIO{A_1}$ là hình chữ nhật, xét $\Delta M{A_1}I$ vuông tại $M$ có: $R = {A_1}I = \sqrt {M{I^2} + M{A_1}^2} $ $ = \sqrt {{A_1}{O^2} + {{\left( {\frac{{S{A_1}}}{2}} \right)}^2}} .$
Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, biết $AB=6a$, $AC=8a$, $SA=10a$. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong mặt phẳng $\left( SA,d \right)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.
Ta có tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.
Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = \sqrt {N{I^2} + N{A^2}} $ $ = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{4} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = 5a\sqrt 2 .$
Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, $SA=2a$. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$.
Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong mặt phẳng $\left( SA,d \right)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.
Ta có tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.
Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = \sqrt {N{I^2} + N{A^2}} $ $ = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
Ví dụ 7: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác cân tại $A$ và $AB=a$, $\widehat{BAC}=120^o $, $SA=2a$. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong mặt phẳng $\left( SA,d \right)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.
Mặt khác, ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A$ $ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ và $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2AB.AC.\cos {\rm{A}}} $ $ = a\sqrt 3 .$
$OA$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $OA = \frac{{AB.BC.CA}}{{4{S_{ABC}}}} = a.$
Tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật nên $NI=OA=a$.
Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = \sqrt {N{I^2} + N{A^2}} $ $ = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $ $ = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 .$
