Dạng 4: Hệ thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa

[Doremon]

Dạng 4: Hệ thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa

1. Phương pháp
$\left\{ \begin{array}{l}
x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\\
v = - \omega {\rm{A}}\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} = {\cos ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right)\\
{\left( {\frac{v}{{\omega A}}} \right)^2} = {\sin ^2}\left( {\omega t + \varphi } \right)
\end{array} \right. \to {\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{A\omega }}} \right)^2} = 1 \to {A^2} = {x^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2}$

• ${\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{A\omega }}} \right)^2} = 1{\left( {\frac{a}{{{a_{m{\rm{ax}}}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}} \right)^2} = 1$
  
• ${\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{A\omega }}} \right)^2} = 1{\left( {\frac{F}{{{F_{m{\rm{ax}}}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}} \right)^2} = 1$
• ${\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{A\omega }}} \right)^2} = 1 \to v = \pm \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}} $
• ${\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{A\omega }}} \right)^2} = 1 \to A = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{v}{\omega }} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{{{\omega ^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{v}{\omega }} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {{v_2}{x_1}} \right)}^2} - {{\left( {{v_1}{x_2}} \right)}^2}}}{{v_2^2 - v_1^2}}} $
• ${\left( {\frac{x}{A}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{{A\omega }}} \right)^2} = 1 \to \omega = \pm \frac{v}{{\sqrt {{A^2} - {x^2}} }} = \sqrt {\frac{{v_1^2 - v_2^2}}{{x_2^2 - x_1^2}}} = \sqrt[{}]{{\frac{{a_1^2 - a_2^2}}{{v_2^2 - v_1^2}}}}$
• $a = \pm \omega .\sqrt {v_{m{\rm{ax}}}^2 - {v^2}} $

2. Vận dụng

Ví dụ 1:
Một vật dao động điều hòa trên trục x’Ox với chu kì T = 1,57s. Lúc vật qua li độ x = 3cm nó có vận tốc v = 16cm/s. Lấy π = 3,14. Biên độ dao động của vật có giá trị bao nhiêu
A. ± 8 cm
B. 10 cm
C. ± 5 cm
D. 5 cm

Lời giải​

${A^2} = {x^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2} \to A = \sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{v}{\omega }} \right)}^2}} = 5cm$
Chọn D.

Ví dụ 2
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là 40√3 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 10 cm.
D. 8 cm.

Lời giải​

$\overrightarrow v \bot \overrightarrow a \to \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{v}{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{{{a_{m{\rm{ax}}}}}}} \right)^2} = 1\\
{a_{m{\rm{ax}}}} = A{\omega ^2}
\end{array} \right. \to A = \frac{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}{a}\sqrt {{v_{m{\rm{ax}}}} - {v^2}} = 5cm$
Chọn A.

Ví dụ 3
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có độ lớn là $40\sqrt 3 \left( {\frac{{cm}}{{{s^2}}}} \right)$. Biên độ dao động của chất điểm là bao nhiêu?
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 10 cm.
D. 8 cm.

Lời giải​

$\left. \begin{array}{l}
{v_{m{\rm{ax}}}} = \omega A \to A = \frac{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}{\omega }\\
{A^2} = {\left( {\frac{a}{{{\omega ^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2}
\end{array} \right\} \to {\left( {\frac{{{v_{m{\rm{ax}}}}}}{\omega }} \right)^2} = {\left( {\frac{a}{{{\omega ^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2} \to \omega = \sqrt {\frac{a}{{\sqrt {v_{m{\rm{ax}}}^2 - {v^2}} }}} = 2\left( {\frac{{rad}}{s}} \right) \to A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = 10cm$
Chọn C

Bài tập về nhà

• Phiếu đề bài: Tải
• Phiếu đáp án: Tải