Đối với dạng toán này thì mặt bên vuông góc thường là tam giác vuông, tam giác cân hoặc tam giác đều.
Phương pháp:
+ Xác định trục $d$ của đường tròn đáy.
+ Xác định trục $\Delta $ của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy.
+ Giao điểm $I$ của $d$ và $\Delta $ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Xét hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ có mặt bên vuông góc với mặt đáy, không mất tính quát ta giả sử mặt bên $\left( S{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right)$ vuông góc với mặt đáy và $\Delta S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ là tam giác vuông hoặc tam giác cân hoặc tam giác đều.
Gọi ${{O}_{1}}$ và ${{O}_{2}}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ và tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$.
Dựng $d$ và $\Delta $ lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ và tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$.
Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $\Delta $ thì $I$ cách đều các đỉnh ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, …, ${{A}_{n}}$ và $S$ nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$.
Ta có tứ giác ${{O}_{2}}I{{O}_{1}}H$ là hình chữ nhật; $SI=R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$; $S{{O}_{2}}={{R}_{b}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$; ${{A}_{1}}{{O}_{1}}={{R}_{đ}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$.
Tam giác $S{{O}_{2}}I$ vuông tại ${{O}_{2}}$ nên: $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_2}{I^2}} $ $ = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}{H^2}} .$
Tam giác ${{A}_{1}}{{O}_{1}}H$ vuông tại $H$ nên: ${O_1}{H^2} = {O_1}A_1^2 – {A_1}{H^2}.$
Do đó: $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}A_1^2 – {A_1}{H^2}} .$
Mặt khác, nếu tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ vuông tại $S$ thì ${{O}_{2}}\equiv H$ và trùng với trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ hoặc $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ là tam giác cân tại $S$ hoặc đều thì ta cũng có $H$ trùng với trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ nên ${{A}_{1}}H=\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{2}$.
Suy ra $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}A_1^2 – {{\left( {\frac{{{A_1}{A_2}}}{2}} \right)}^2}} .$
Hay $R = \sqrt {{R_b}^2 + {R_đ}^2 – \frac{{{\partial ^2}}}{4}} $, với $\partial $ là độ dài cạnh cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Mặt bên $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\Delta SAB$ đều cạnh bằng $1$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $H$, $M$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$.
Ta có $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ (do $MA=MB=MC$).
Dựng $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ ($d$ qua $M$ và song song $SH$).
Gọi $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$ và $\Delta $ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$, $\Delta $ cắt $d$ tại $I$. Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Suy ra bán kính $R=SI$. Xét $\Delta SGI$, suy ra $SI=\sqrt{G{{I}^{2}}+S{{G}^{2}}}$.
Mà $SG=\frac{1}{\sqrt{3}}$; $GI=HM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$.
Nên $R=SI=\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{6}$.
Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $1$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $SM\bot AB$ (vì tam giác $SAB$ đều). Mặt khác do $\left( SAB \right)\bot (ABC)$ nên $SM\bot (ABC)$.
Tương tự: $CM\bot (SAB)$.
Gọi $G$ và $K$ lần lượt là tâm của các tam giác $ABC$ và $SAB$.
Trong mặt phẳng $(SMC)$, kẻ đường thẳng $Gx\text{//}SM$ và kẻ đường thẳng $Ky\bot SM$.
Gọi $O=Gx\cap Ky$, thì ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
OG \bot (SAB)\\
OK \bot (ABC)
\end{array} \right.$
Suy ra $OG,OK$ lần lượt là trục của tam giác $ABC$ và $SAB$.
Do đó ta có: $OA=OB=OC=OD=OS$ hay $O$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Tứ giác $OKMN$ là hình chữ nhật có $MK=MG=\frac{\sqrt{3}}{6}$ nên $OKMN$ là hình vuông.
Do đó $OK=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
Mặt khác $SK=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Xét tam giác $SKO$ vuông tại $K$ có $OS = \sqrt {O{K^2} + S{K^2}} $ $ = \sqrt {\frac{3}{{36}} + \frac{3}{9}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}.$
Suy ra bán kính mặt cầu cần tìm là $R=OS=\frac{\sqrt{15}}{6}$. Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:
$V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ $ = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{6}} \right)^3}$ $ = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}.$
Phương pháp:
+ Xác định trục $d$ của đường tròn đáy.
+ Xác định trục $\Delta $ của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy.
+ Giao điểm $I$ của $d$ và $\Delta $ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Xét hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ có mặt bên vuông góc với mặt đáy, không mất tính quát ta giả sử mặt bên $\left( S{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right)$ vuông góc với mặt đáy và $\Delta S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ là tam giác vuông hoặc tam giác cân hoặc tam giác đều.
Gọi ${{O}_{1}}$ và ${{O}_{2}}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ và tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$.
Dựng $d$ và $\Delta $ lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ và tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$.
Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $\Delta $ thì $I$ cách đều các đỉnh ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, …, ${{A}_{n}}$ và $S$ nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$.
Ta có tứ giác ${{O}_{2}}I{{O}_{1}}H$ là hình chữ nhật; $SI=R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$; $S{{O}_{2}}={{R}_{b}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$; ${{A}_{1}}{{O}_{1}}={{R}_{đ}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$.
Tam giác $S{{O}_{2}}I$ vuông tại ${{O}_{2}}$ nên: $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_2}{I^2}} $ $ = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}{H^2}} .$
Tam giác ${{A}_{1}}{{O}_{1}}H$ vuông tại $H$ nên: ${O_1}{H^2} = {O_1}A_1^2 – {A_1}{H^2}.$
Do đó: $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}A_1^2 – {A_1}{H^2}} .$
Mặt khác, nếu tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ vuông tại $S$ thì ${{O}_{2}}\equiv H$ và trùng với trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ hoặc $S{{A}_{1}}{{A}_{2}}$ là tam giác cân tại $S$ hoặc đều thì ta cũng có $H$ trùng với trung điểm ${{A}_{1}}{{A}_{2}}$ nên ${{A}_{1}}H=\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{2}$.
Suy ra $SI = \sqrt {SO_2^2 + {O_1}A_1^2 – {{\left( {\frac{{{A_1}{A_2}}}{2}} \right)}^2}} .$
Hay $R = \sqrt {{R_b}^2 + {R_đ}^2 – \frac{{{\partial ^2}}}{4}} $, với $\partial $ là độ dài cạnh cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Mặt bên $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ và $\Delta SAB$ đều cạnh bằng $1$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $H$, $M$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$.
Ta có $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ (do $MA=MB=MC$).
Dựng $d$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ ($d$ qua $M$ và song song $SH$).
Gọi $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$ và $\Delta $ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$, $\Delta $ cắt $d$ tại $I$. Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Suy ra bán kính $R=SI$. Xét $\Delta SGI$, suy ra $SI=\sqrt{G{{I}^{2}}+S{{G}^{2}}}$.
Mà $SG=\frac{1}{\sqrt{3}}$; $GI=HM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$.
Nên $R=SI=\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{6}$.
Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $1$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $SM\bot AB$ (vì tam giác $SAB$ đều). Mặt khác do $\left( SAB \right)\bot (ABC)$ nên $SM\bot (ABC)$.
Tương tự: $CM\bot (SAB)$.
Gọi $G$ và $K$ lần lượt là tâm của các tam giác $ABC$ và $SAB$.
Trong mặt phẳng $(SMC)$, kẻ đường thẳng $Gx\text{//}SM$ và kẻ đường thẳng $Ky\bot SM$.
Gọi $O=Gx\cap Ky$, thì ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
OG \bot (SAB)\\
OK \bot (ABC)
\end{array} \right.$
Suy ra $OG,OK$ lần lượt là trục của tam giác $ABC$ và $SAB$.
Do đó ta có: $OA=OB=OC=OD=OS$ hay $O$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Tứ giác $OKMN$ là hình chữ nhật có $MK=MG=\frac{\sqrt{3}}{6}$ nên $OKMN$ là hình vuông.
Do đó $OK=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
Mặt khác $SK=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Xét tam giác $SKO$ vuông tại $K$ có $OS = \sqrt {O{K^2} + S{K^2}} $ $ = \sqrt {\frac{3}{{36}} + \frac{3}{9}} = \frac{{\sqrt {15} }}{6}.$
Suy ra bán kính mặt cầu cần tìm là $R=OS=\frac{\sqrt{15}}{6}$. Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:
$V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ $ = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{6}} \right)^3}$ $ = \frac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}.$
