Dạng 4: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $(\alpha )$ biết $(\alpha )$ đi qua một điểm cho trước và song song với mặt phẳng $(\beta ).$
Phương pháp:
+ Chọn mặt phẳng $(\gamma )$ chứa điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ sao cho giao tuyến của $(\beta )$ và $(\gamma )$ là dễ tìm.
+ Xác định giao tuyến $d=(\beta )\cap \left( \gamma \right).$
+ Kết luận giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\gamma )$ là đường thẳng qua điểm thuộc $(\alpha )$ và song song $d.$
+ Tiếp tục làm quá trình này cho đến khi thiết diện được hình thành.
Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ là một điểm nằm trên cạnh $AB.$ Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ với $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $E$ và $(\alpha )\parallel (BCD).$
Tìm $(\alpha ) \cap (ABC)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(ABC) \cap (BCD) = BC\\
(\alpha )\parallel (BCD)\\
E \in (\alpha ) \cap (ABC)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABC) = EF$ $(1)$, với $EF$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song với $BC.$
Tìm $(\alpha ) \cap (ABD)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(ABD) \cap (BCD) = BD\\
(\alpha )\parallel (BCD)\\
E \in (\alpha ) \cap (ABD)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABD) = EG$ $(2)$, với $EG$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song $BD.$
Nối đoạn $FG$ ta có: $(\alpha ) \cap (ACD) = FG$ $(3).$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra thiết diện cần tìm là tam giác $EFG.$
Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cạnh đáy $AD$, $AD<BC$. $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ trên cạnh $AB$ và song song với mặt phẳng $(SAD).$ Tìm thiết diện của hình chóp với $(\alpha ).$
Tìm $(\alpha ) \cap (ABCD)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(ABCD) \cap (SAD) = AD\\
(\alpha )\parallel (SAD)\\
M \in (\alpha ) \cap (ABCD)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABCD) = MN$ $(1)$, với $MN$ là đoạn thẳng qua $M$ song song $AD.$
Tìm $(\alpha ) \cap (SAB)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(SAB) \cap (SAD) = SA\\
(\alpha )\parallel (SAD)\\
M \in (\alpha ) \cap (SAB)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SAB) = MK$ $(2)$, với $MK$ là đoạn thẳng qua $M$ song song $SA.$
Tìm $(\alpha ) \cap (SCD)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(SCD) \cap (SAD) = SD\\
(\alpha )\parallel (SAD)\\
N \in (\alpha ) \cap (SCD)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SCD) = NP$ $(3)$, với $NP$ là đoạn thẳng qua $N$ song song $SD.$
Nối đoạn $KP$ ta có: $(\alpha ) \cap (SBC) = KP$ $(4).$
Từ $(1),(2),(3),(4)$ suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác $MNPK.$
Phương pháp:
+ Chọn mặt phẳng $(\gamma )$ chứa điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ sao cho giao tuyến của $(\beta )$ và $(\gamma )$ là dễ tìm.
+ Xác định giao tuyến $d=(\beta )\cap \left( \gamma \right).$
+ Kết luận giao tuyến của $(\alpha )$ và $(\gamma )$ là đường thẳng qua điểm thuộc $(\alpha )$ và song song $d.$
+ Tiếp tục làm quá trình này cho đến khi thiết diện được hình thành.
Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ là một điểm nằm trên cạnh $AB.$ Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ với $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $E$ và $(\alpha )\parallel (BCD).$
Tìm $(\alpha ) \cap (ABC)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(ABC) \cap (BCD) = BC\\
(\alpha )\parallel (BCD)\\
E \in (\alpha ) \cap (ABC)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABC) = EF$ $(1)$, với $EF$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song với $BC.$
Tìm $(\alpha ) \cap (ABD)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(ABD) \cap (BCD) = BD\\
(\alpha )\parallel (BCD)\\
E \in (\alpha ) \cap (ABD)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABD) = EG$ $(2)$, với $EG$ là đoạn thẳng qua $E$ và song song $BD.$
Nối đoạn $FG$ ta có: $(\alpha ) \cap (ACD) = FG$ $(3).$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra thiết diện cần tìm là tam giác $EFG.$
Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cạnh đáy $AD$, $AD<BC$. $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ trên cạnh $AB$ và song song với mặt phẳng $(SAD).$ Tìm thiết diện của hình chóp với $(\alpha ).$
Tìm $(\alpha ) \cap (ABCD)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(ABCD) \cap (SAD) = AD\\
(\alpha )\parallel (SAD)\\
M \in (\alpha ) \cap (ABCD)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABCD) = MN$ $(1)$, với $MN$ là đoạn thẳng qua $M$ song song $AD.$
Tìm $(\alpha ) \cap (SAB)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(SAB) \cap (SAD) = SA\\
(\alpha )\parallel (SAD)\\
M \in (\alpha ) \cap (SAB)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SAB) = MK$ $(2)$, với $MK$ là đoạn thẳng qua $M$ song song $SA.$
Tìm $(\alpha ) \cap (SCD)$:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
(SCD) \cap (SAD) = SD\\
(\alpha )\parallel (SAD)\\
N \in (\alpha ) \cap (SCD)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SCD) = NP$ $(3)$, với $NP$ là đoạn thẳng qua $N$ song song $SD.$
Nối đoạn $KP$ ta có: $(\alpha ) \cap (SBC) = KP$ $(4).$
Từ $(1),(2),(3),(4)$ suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác $MNPK.$
