Dạng 4: Tìm nguyên hàm của hàm số chứa căn thức (hàm số vô tỉ) bằng cách sử dụng các đồng nhất thức.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}.$
Sử dụng đồng nhất thức $x = x + 1 – 1$, ta được: $f(x) = \frac{{x + 1 – 1}}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}$ $ = {(x + 1)^{9/10}} – {(x + 1)^{ – 1/10}}.$
Do đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left[ {{{(x + 1)}^{9/10}} – {{(x + 1)}^{ – 1/10}}} \right]} dx$ $ = \frac{{10}}{{19}}{(x + 1)^{19/10}}$ $ – \frac{{10}}{9}{(x + 1)^{9/10}} + C.$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}.$
Sử dụng đồng nhất thức $x = x + 1 – 1$, ta được: $f(x) = \frac{{x + 1 – 1}}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}$ $ = {(x + 1)^{9/10}} – {(x + 1)^{ – 1/10}}.$
Do đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left[ {{{(x + 1)}^{9/10}} – {{(x + 1)}^{ – 1/10}}} \right]} dx$ $ = \frac{{10}}{{19}}{(x + 1)^{19/10}}$ $ – \frac{{10}}{9}{(x + 1)^{9/10}} + C.$
