Dạng 5: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $(\alpha )$ biết $(\alpha )$ qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Phương pháp: Để tìm thiết diện của khối đa diện $S$ với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ cho trước và vuông góc với đường thẳng $d$ cho trước, làm như sau:
+ Tìm hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau $a,b$ cùng vuông góc với $d$.
+ Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ theo một trong bốn trường hợp:
$(I)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \subset \left( \alpha \right)}\\
{b \subset \left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$(II)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a//\left( \alpha \right)}\\
{b//\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$(III)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \subset \left( \alpha \right)}\\
{b//\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$(IV)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a//\left( \alpha \right)}\\
{b \subset \left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
Ví dụ 9: Cho hình tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Gọi $E$ là trung điểm của $AC$, $M$ là một điểm thuộc $AE$. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua điểm $M$ và vuông góc với $AC$.
Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AC.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA \bot \left( {ABC} \right)}\\
{AC \subset \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow SA \bot AC.$
Xét tam giác đều $ABC$, ta có $E$ là trung điểm của $AC$ nên $BE$ sẽ vuông góc với $AC$.
Vậy ta có hai đường thẳng $SA$ và $BE$ là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AC$.
Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$:
Do $\left( \alpha \right)$ qua $M$ và $M\notin SA$, $M\notin BE$ nên $\left( \alpha \right)$ sẽ được xác định theo cách: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA||\left( \alpha \right)}\\
{BE||\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
Khi đó:
Trong $\left( ABC \right)$ dựng $Mx||BE$ cắt $AB$ tại $N$ (ta được $MN\bot AC$).
Trong $\left( SAC \right)$ dựng $My||SA$ cắt $SC$ tại $P$ (ta được $MP\bot AC$).
Trong $\left( SAB \right)$ dựng $Nz||SA$ cắt $SB$ tại $Q$ (ta được $NQ\bot AC$).
Xác định thiết của $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $SABC$:
Ta có:
$\left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=NQ.$
$\left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)=NP.$
$\left( SBC \right)\cap \left( \alpha \right)=PQ.$
$\left( ABC \right)\cap \left( \alpha \right)=MN.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông $MNPQ$.
Ví dụ 10: Cho hình tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $SC$, gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với $AB$. Hãy xác định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AB.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA \bot \left( {ABC} \right)}\\
{AB \subset \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow SA \bot AB.$
Xét tam giác đều $ABC$, ta có $I$ là trung điểm của $AB$nên $CI$ sẽ vuông góc với $AB$.
Vậy ta có hai đường thẳng $SA$ và $CI$ là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AB$.
Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$:
Do $\left( \alpha \right)$ qua $M$và $M\notin SA$, $M\notin CI$ nên $\left( \alpha \right)$ sẽ được xác định theo cách: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA//\left( \alpha \right)}\\
{CI//\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
Khi đó:
Trong $\left( SAC \right)$ dựng $Mx//SA$ cắt $AC$ tại $N$ (ta được $MN\bot AB$).
Trong $\left( ABC \right)$ dựng $Ny//CI$ cắt $AB$ tại $P$ (ta được $NP\bot AB$).
Trong $\left( SAB \right)$ dựng $Pz//SA$ cắt $SB$ tại $Q$ (ta được $PQ\bot AB$).
Xác định thiết của $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $SABC$:
Ta có:
$\left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=PQ.$
$\left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)=MN.$
$\left( SBC \right)\cap \left( \alpha \right)=QM.$
$\left( ABC \right)\cap \left( \alpha \right)=NP.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông $MNPQ$.
Phương pháp: Để tìm thiết diện của khối đa diện $S$ với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ cho trước và vuông góc với đường thẳng $d$ cho trước, làm như sau:
+ Tìm hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau $a,b$ cùng vuông góc với $d$.
+ Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ theo một trong bốn trường hợp:
$(I)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \subset \left( \alpha \right)}\\
{b \subset \left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$(II)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a//\left( \alpha \right)}\\
{b//\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$(III)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \subset \left( \alpha \right)}\\
{b//\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
$(IV)$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a//\left( \alpha \right)}\\
{b \subset \left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
Ví dụ 9: Cho hình tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Gọi $E$ là trung điểm của $AC$, $M$ là một điểm thuộc $AE$. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, biết $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua điểm $M$ và vuông góc với $AC$.
Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AC.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA \bot \left( {ABC} \right)}\\
{AC \subset \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow SA \bot AC.$
Xét tam giác đều $ABC$, ta có $E$ là trung điểm của $AC$ nên $BE$ sẽ vuông góc với $AC$.
Vậy ta có hai đường thẳng $SA$ và $BE$ là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AC$.
Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$:
Do $\left( \alpha \right)$ qua $M$ và $M\notin SA$, $M\notin BE$ nên $\left( \alpha \right)$ sẽ được xác định theo cách: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA||\left( \alpha \right)}\\
{BE||\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
Khi đó:
Trong $\left( ABC \right)$ dựng $Mx||BE$ cắt $AB$ tại $N$ (ta được $MN\bot AC$).
Trong $\left( SAC \right)$ dựng $My||SA$ cắt $SC$ tại $P$ (ta được $MP\bot AC$).
Trong $\left( SAB \right)$ dựng $Nz||SA$ cắt $SB$ tại $Q$ (ta được $NQ\bot AC$).
Xác định thiết của $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $SABC$:
Ta có:
$\left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=NQ.$
$\left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)=NP.$
$\left( SBC \right)\cap \left( \alpha \right)=PQ.$
$\left( ABC \right)\cap \left( \alpha \right)=MN.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông $MNPQ$.
Ví dụ 10: Cho hình tứ diện $SABC$ có $ABC$ là tam giác đều. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $SC$, gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với $AB$. Hãy xác định thiết diện tạo bởi tứ diện $SABC$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
Tìm hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AB.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA \bot \left( {ABC} \right)}\\
{AB \subset \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow SA \bot AB.$
Xét tam giác đều $ABC$, ta có $I$ là trung điểm của $AB$nên $CI$ sẽ vuông góc với $AB$.
Vậy ta có hai đường thẳng $SA$ và $CI$ là hai đường thẳng không song song cùng vuông góc với $AB$.
Xác định mặt phẳng $\left( \alpha \right)$:
Do $\left( \alpha \right)$ qua $M$và $M\notin SA$, $M\notin CI$ nên $\left( \alpha \right)$ sẽ được xác định theo cách: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{SA//\left( \alpha \right)}\\
{CI//\left( \alpha \right)}\\
{M \in \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right.$
Khi đó:
Trong $\left( SAC \right)$ dựng $Mx//SA$ cắt $AC$ tại $N$ (ta được $MN\bot AB$).
Trong $\left( ABC \right)$ dựng $Ny//CI$ cắt $AB$ tại $P$ (ta được $NP\bot AB$).
Trong $\left( SAB \right)$ dựng $Pz//SA$ cắt $SB$ tại $Q$ (ta được $PQ\bot AB$).
Xác định thiết của $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $SABC$:
Ta có:
$\left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=PQ.$
$\left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)=MN.$
$\left( SBC \right)\cap \left( \alpha \right)=QM.$
$\left( ABC \right)\cap \left( \alpha \right)=NP.$
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang vuông $MNPQ$.
