Dạng 5: Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{v(x)dx}}{{\sqrt {{u^2}(x) \pm \alpha } }}.$
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích: $\frac{{v(x)}}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}$ $ = \frac{{a\left[ {{u^2}(x) + \alpha } \right]}}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}$ $ + \frac{{bu(x)}}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}$ $ + \frac{c}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}.$
Sử dụng phương pháp hằng số bất định ta xác định được $a,b,c.$
Bước 2: Áp dụng các công thức:
1. $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} \pm a} + C.$
2. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} $ $ = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right| + C.$
3. $\int {\sqrt {{x^2} \pm a} } dx$ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} \pm a} $ $ \pm \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right| + C.$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}.$
Ta có: $\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}$ $ = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ = \frac{{a\left[ {{{(x + 1)}^2} – 1} \right]}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ + \frac{{b(x + 1)}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ + \frac{c}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ = \frac{{a{x^2} + (2a + b)x + b + c}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{2a + b = 0}\\
{b + c = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{b = – 4}\\
{c = 5}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}$ $ = 2\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} $ $ – \frac{{4(x + 1)}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ + \frac{5}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}.$
Do đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left[ {2\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} – \frac{{4(x + 1)}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }} + \frac{5}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}} \right]} dx$ $ = (x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x} $ $ – \ln \left| {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right|$ $ – 4\sqrt {{x^2} + 2x} $ $ + 5\ln \left| {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right| + C$ $ = (x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x} $ $ + 4\ln \left| {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right|$ $ – 4\sqrt {{x^2} + 2x} + C.$
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích: $\frac{{v(x)}}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}$ $ = \frac{{a\left[ {{u^2}(x) + \alpha } \right]}}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}$ $ + \frac{{bu(x)}}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}$ $ + \frac{c}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}.$
Sử dụng phương pháp hằng số bất định ta xác định được $a,b,c.$
Bước 2: Áp dụng các công thức:
1. $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} \pm a} + C.$
2. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} $ $ = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right| + C.$
3. $\int {\sqrt {{x^2} \pm a} } dx$ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} \pm a} $ $ \pm \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right| + C.$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}.$
Ta có: $\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}$ $ = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ = \frac{{a\left[ {{{(x + 1)}^2} – 1} \right]}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ + \frac{{b(x + 1)}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ + \frac{c}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ = \frac{{a{x^2} + (2a + b)x + b + c}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}.$
Đồng nhất đẳng thức, ta được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{2a + b = 0}\\
{b + c = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{b = – 4}\\
{c = 5}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}$ $ = 2\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} $ $ – \frac{{4(x + 1)}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ + \frac{5}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}.$
Do đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left[ {2\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} – \frac{{4(x + 1)}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }} + \frac{5}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}} \right]} dx$ $ = (x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x} $ $ – \ln \left| {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right|$ $ – 4\sqrt {{x^2} + 2x} $ $ + 5\ln \left| {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right| + C$ $ = (x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x} $ $ + 4\ln \left| {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right|$ $ – 4\sqrt {{x^2} + 2x} + C.$
