Dạng 6: Thiết diện của hình đa diện với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ biết $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right)$.
Phương pháp:
+ Từ một điểm $M\in d$ ta dựng đường thẳng $a$ qua $M$ và vuông góc với $(\beta )$. Khi đó: $\left( \alpha \right)=\left( d,a \right).$
+ Tìm giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ với các mặt của hình đa diện.
Ví dụ 11: Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA\bot \left( ABC \right)$. Gọi $E$ là trung điểm cạnh $SC$, $M$ là một điểm trên cạnh $AB$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $EM$ và vuông góc với $\left( SAB \right)$. Xác định thiết diện của $\left( \alpha \right)$ và tứ diện.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot {\rm{S}}A
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).$
Ta lại có: $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right) \bot \left( {SAB} \right)\\
BC \bot \left( {{\rm{S}}AB} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel BC.$
Kẻ $MN\parallel BC$, ${\rm{EF}}\parallel BC.$
Nối $MF, NE$ ta được thiết diện cần tìm là hình thang $MNEF.$
Ví dụ 12: Cho hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\bot (ABCD)$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $I$ và vuông góc với mặt $\left( SBC \right)$. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
IJ \bot AB\\
IJ \bot SA
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow IJ \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow IJ \bot SB.$
Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $SB$ tại $K.$
Do đó $\left( P \right) \equiv \left( {KIJ} \right).$
Ta có:
$\left( P \right) \cap \left( {SAB} \right) = KI.$
$\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ.$
$\left( P \right) \supset IJ\parallel BC$ $ \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SBC} \right) = KN\parallel BC.$
$\left( P \right) \cap \left( {SCD} \right) = NI.$
Vậy thiết diện là hình thang $KNIJ.$
Phương pháp:
+ Từ một điểm $M\in d$ ta dựng đường thẳng $a$ qua $M$ và vuông góc với $(\beta )$. Khi đó: $\left( \alpha \right)=\left( d,a \right).$
+ Tìm giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ với các mặt của hình đa diện.
Ví dụ 11: Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA\bot \left( ABC \right)$. Gọi $E$ là trung điểm cạnh $SC$, $M$ là một điểm trên cạnh $AB$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $EM$ và vuông góc với $\left( SAB \right)$. Xác định thiết diện của $\left( \alpha \right)$ và tứ diện.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot {\rm{S}}A
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).$
Ta lại có: $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right) \bot \left( {SAB} \right)\\
BC \bot \left( {{\rm{S}}AB} \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel BC.$
Kẻ $MN\parallel BC$, ${\rm{EF}}\parallel BC.$
Nối $MF, NE$ ta được thiết diện cần tìm là hình thang $MNEF.$
Ví dụ 12: Cho hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\bot (ABCD)$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $I$ và vuông góc với mặt $\left( SBC \right)$. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có: $\left. \begin{array}{l}
IJ \bot AB\\
IJ \bot SA
\end{array} \right\}$ $ \Rightarrow IJ \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow IJ \bot SB.$
Từ $I$ kẻ đường thẳng vuông góc với $SB$ tại $K.$
Do đó $\left( P \right) \equiv \left( {KIJ} \right).$
Ta có:
$\left( P \right) \cap \left( {SAB} \right) = KI.$
$\left( P \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ.$
$\left( P \right) \supset IJ\parallel BC$ $ \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SBC} \right) = KN\parallel BC.$
$\left( P \right) \cap \left( {SCD} \right) = NI.$
Vậy thiết diện là hình thang $KNIJ.$
