Dạng 8: Con lắc mang điện tích dao động trong điện trường đều

[Doremon]

1. Phương pháp
Con lắc đặt trong điện trường có phương thẳng đứng:

• Điện tích mang giá trị dương
  $q > 0 \to \overrightarrow F \uparrow \uparrow \overrightarrow E \to \left\{ \begin{array}{l}
  \overrightarrow F \downarrow \downarrow \overrightarrow P \to g' = g + \frac{{qE}}{m} \to T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g + \frac{{qE}}{m}}}} \\
  \overrightarrow F \uparrow \downarrow \overrightarrow P \to g' = g - \frac{{qE}}{m} \to T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g - \frac{{qE}}{m}}}}
  \end{array} \right.$
• Điện tích mang giá trị âm
  $q < 0 \to \overrightarrow F \uparrow \downarrow \overrightarrow E \to \left\{ \begin{array}{l}
  \overrightarrow F \downarrow \downarrow \overrightarrow P \to g' = g - \frac{{qE}}{m} \to T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g - \frac{{qE}}{m}}}} \\
  \overrightarrow F \uparrow \downarrow \overrightarrow P \to g' = g + \frac{{qE}}{m} \to T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g + \frac{{qE}}{m}}}}
  \end{array} \right.$

Con lắc đặt trong điện trường có phương thẳng ngang: $T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{\sqrt {{g^2} + {{\left( {\frac{{qE}}{m}} \right)}^2}} }}} $
2. Vận dụng

Ví dụ 1:
Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ bằng sắt có khối lượng 50g được treo bằng một sợi dây cách điện dài 25cm tại nơi mà $g = 9,81\left( {\frac{m}{{{s^2}}}} \right).$ Tích điện cho quả cầu một điện tích $q = - {5.10^{ - 5}}C$ rồi cho nó dao động trong một điện trường đều có phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Hãy xác định chu kì dao động của con lắc?
A. 2,21 s
B. 1,99 s
C. 1,985 s
D. 2,001 s

Lời giải​

• Chu kì dao động của con lắc khi chưa tích điện:$T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} \approx 1s$
• Theo đề bài: T’ = 0,75 s < T = 1s nên vecto cường độ điện trường E hướng thẳng đứng lên trên.
• Ta có: $\frac{{T'}}{T} = \frac{{2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} }}{{2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g'}}} }} = \sqrt {\frac{g}{{g + \frac{{qE}}{m}}}} \to T' = 2,21s$

Chọn A

Ví dụ 2:
Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ có khối lượng m = 100g mang điện tích $q = + {10^{ - 5}}C$, được treo bằng một sợi dây có độ dài ℓ. Đặt con lắc vào trong một điện trường đều mà vecto cường độ điện trường E hướng thẳng đứng lên trên và có độ lớn E = 100 V/cm. Hãy xác định chu kì dao động của con lắc. Biết rằng, gia tốc trọng trường $g = 9,8\left( {\frac{m}{{{s^2}}}} \right),$ khi không có điện trường thì chu kì dao động của con lắc bằng 1,4 s.
A. 1,4 s
B. 4,18 s
C. 4,8 s
D. 1,48 s

Lời giải​

$\left\{ \begin{array}{l}
q > 0 \to \overrightarrow F \uparrow \uparrow \overrightarrow E \\
\overrightarrow P \downarrow \uparrow \overrightarrow E
\end{array} \right. \to g' = g - \frac{{qE}}{m} \to \left. \begin{array}{l}
T = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{g}} \\
T' = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g'}}}
\end{array} \right\} \to \frac{{T'}}{T} = \sqrt {\frac{g}{{g'}}} = \sqrt {\frac{g}{{g - \frac{{qE}}{m}}}} \approx 1,06s \to T' = 1,06.T = 1,48s$
Chọn D

Ví dụ 3:
Con lắc đơn có chiều dài ℓ = 1m, vật nặng 50g mang điện tích $q = - {2.10^{ - 5}}C.$ Biết $g = 10\left( {\frac{m}{{{s^2}}}} \right).$. Đặt con lắc vào vùng điện trường đều E = 25 V/cm. Tính chu kì con lắc khi vecto cường độ điện trường hướng thẳng đứng xuống dưới.
A. 2,11 s
B. 1,91 s
C. 1,995 s
D. 1,11 s

Lời giải​

Con lắc dao động trong trọng trường và điện trường; trường tổng hợp này có tính chất hoàn toàn giống như trong trường nên được gọi là “ trọng trường hiệu dụng” và ta có thể coi con lắc chịu tác dụng của “trọng lực hiệu dụng”: $\overrightarrow {P'} = \overrightarrow P + \overrightarrow F \to \overrightarrow {mg'} = \overrightarrow {mg} + q.\overrightarrow E \to \overrightarrow {g'} = \overrightarrow g + \frac{{q.\overrightarrow E }}{m}$
$\left. \begin{array}{l}
q = - {2.10^{ - 5}}C < 0\\
F = \left| q \right|E = 2,{5.10^{ - 5}}.2500 = 0,05N\\
\overrightarrow E \downarrow
\end{array} \right\} \to \overrightarrow F \uparrow \to \overrightarrow F \uparrow \downarrow \overrightarrow P \to g' = g - \frac{F}{m} = 9,86 - \frac{{0,05}}{{0,05}} = 8,86\frac{m}{{{s^2}}}$
Chu kì dao động của con lắc là $T' = 2\pi \sqrt {\frac{\ell }{{g'}}} = 2,11s$
Chọn A