Phương pháp: Với bài toán: Cho ba số $a,b,c$ lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất $K$, ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1. Từ giả thiết $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2b$ hoặc biểu thức tương đương $a – b = b – c$ $ = \frac{1}{2}(a – c).$
+ Bước 2. Chứng minh tính chất $K.$
Ví dụ 1. Cho ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: ${a^2} + 2bc = {c^2} + 2ab.$
Từ giả thiết $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2b.$
Khi đó: ${a^2} + 2bc$ $ = {a^2} + \left( {a + c} \right)c$ $ = {a^2} + ac + {c^2}$ $ = a\left( {a + c} \right) + {c^2}$ $ = 2ab + {c^2}.$
Vậy: ${a^2} + 2bc = {c^2} + 2ab.$
Ví dụ 2. Cho $\left( {{a_n}} \right)$ là một cấp số cộng. Chứng minh rằng: ${a_n} = \frac{1}{2}\left( {{a_n}_{ – k} + {a_{n + {\rm{ }}k}}} \right)$ với mọi $n > k.$
Ta có:
${a_n} = {a_n}_{ – k} + (n – n + k)d$ $ = {a_n}_{ – k} + kd.$
${a_{n{\rm{ }} + {\rm{ }}k}}$ $ = {a_n}_{ – k} + (n + k – n + k)d$ $ = {a_n}_{ – k} + 2kd.$
Suy ra: $\frac{1}{2}\left( {{a_n}_{ – k} + {a_{n{\rm{ }} + {\rm{ }}k}}} \right)$ $ = \frac{1}{2}\left( {{a_n}_{ – k} + {a_n}_{ – k} + 2kd} \right)$ $ = {a_n}_{ – k} + kd = {a_n}.$
Vậy: ${a_n} = \frac{1}{2}\left( {{a_n}_{ – k} + {a_{n + {\rm{ }}k}}} \right)$ với mọi $n > k.$
+ Bước 1. Từ giả thiết $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2b$ hoặc biểu thức tương đương $a – b = b – c$ $ = \frac{1}{2}(a – c).$
+ Bước 2. Chứng minh tính chất $K.$
Ví dụ 1. Cho ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: ${a^2} + 2bc = {c^2} + 2ab.$
Từ giả thiết $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2b.$
Khi đó: ${a^2} + 2bc$ $ = {a^2} + \left( {a + c} \right)c$ $ = {a^2} + ac + {c^2}$ $ = a\left( {a + c} \right) + {c^2}$ $ = 2ab + {c^2}.$
Vậy: ${a^2} + 2bc = {c^2} + 2ab.$
Ví dụ 2. Cho $\left( {{a_n}} \right)$ là một cấp số cộng. Chứng minh rằng: ${a_n} = \frac{1}{2}\left( {{a_n}_{ – k} + {a_{n + {\rm{ }}k}}} \right)$ với mọi $n > k.$
Ta có:
${a_n} = {a_n}_{ – k} + (n – n + k)d$ $ = {a_n}_{ – k} + kd.$
${a_{n{\rm{ }} + {\rm{ }}k}}$ $ = {a_n}_{ – k} + (n + k – n + k)d$ $ = {a_n}_{ – k} + 2kd.$
Suy ra: $\frac{1}{2}\left( {{a_n}_{ – k} + {a_{n{\rm{ }} + {\rm{ }}k}}} \right)$ $ = \frac{1}{2}\left( {{a_n}_{ – k} + {a_n}_{ – k} + 2kd} \right)$ $ = {a_n}_{ – k} + kd = {a_n}.$
Vậy: ${a_n} = \frac{1}{2}\left( {{a_n}_{ – k} + {a_{n + {\rm{ }}k}}} \right)$ với mọi $n > k.$
