Phương pháp: Với bài toán: Cho ba số $a, b, c$ lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất $K$, ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1. Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân, ta được: $ac = {b^2}.$
+ Bước 2. Chứng minh tính chất $K.$
Ví dụ 1. Cho ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)$ $ = {\left( {ab + bc} \right)^2}.$
Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân, ta được: $ac = {b^2}.$
Khi đó: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)$ $ = {a^2}{b^2} + {a^2}{c^2} + {b^4} + {b^2}{c^2}$ $ = {a^2}{b^2} + ac{b^2} + ac{b^2} + {b^2}{c^2}$ $ = {a^2}{b^2} + 2a{b^2}c + {b^2}{c^2}$ $ = {\left( {ab + bc} \right)^2}.$
Vậy: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)$ $ = {\left( {ab + bc} \right)^2}.$
Ví dụ 2. Cho $\left( {{a_n}} \right)$ là một cấp số nhân. Chứng minh rằng: ${a_1}{a_n} = {a_k}{a_{n – k + 1}}$ với $k = 1, 2,…, n.$
Ta có:
$VT = {a_1}{a_n}$ $ = {a_1}{a_1}{q^{n – 1}} = a_1^2{q^{n – 1}}.$
$VP = {a_k}{a_{n – k + 1}}$ $ = {a_1}{q^{k – 1}}{a_1}{q^{n – k}} = a_1^2{q^{n – 1}}.$
Suy ra $VT = VP$, hay ${a_1}{a_n} = {a_k}{a_{n – k + 1}}$ với $k = 1, 2,…, n.$
+ Bước 1. Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân, ta được: $ac = {b^2}.$
+ Bước 2. Chứng minh tính chất $K.$
Ví dụ 1. Cho ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)$ $ = {\left( {ab + bc} \right)^2}.$
Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân, ta được: $ac = {b^2}.$
Khi đó: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)$ $ = {a^2}{b^2} + {a^2}{c^2} + {b^4} + {b^2}{c^2}$ $ = {a^2}{b^2} + ac{b^2} + ac{b^2} + {b^2}{c^2}$ $ = {a^2}{b^2} + 2a{b^2}c + {b^2}{c^2}$ $ = {\left( {ab + bc} \right)^2}.$
Vậy: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)$ $ = {\left( {ab + bc} \right)^2}.$
Ví dụ 2. Cho $\left( {{a_n}} \right)$ là một cấp số nhân. Chứng minh rằng: ${a_1}{a_n} = {a_k}{a_{n – k + 1}}$ với $k = 1, 2,…, n.$
Ta có:
$VT = {a_1}{a_n}$ $ = {a_1}{a_1}{q^{n – 1}} = a_1^2{q^{n – 1}}.$
$VP = {a_k}{a_{n – k + 1}}$ $ = {a_1}{q^{k – 1}}{a_1}{q^{n – k}} = a_1^2{q^{n – 1}}.$
Suy ra $VT = VP$, hay ${a_1}{a_n} = {a_k}{a_{n – k + 1}}$ với $k = 1, 2,…, n.$
