Phương pháp giải toán:
Để xác định hàm số bậc nhất ta thực hiện theo các bước sau:
+ Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b$, $a\ne 0$.
+ Dựa giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ẩn $a,b.$
+ Giải hệ phương trình để tìm ẩn số $a$, $b$ và suy ra hàm số cần tìm.
Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}.$ Khi đó:
a) ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ trùng nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\
& {{b}_{1}}={{b}_{2}} \\
\end{align} \right.$
b) ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ song song nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\
& {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\
\end{align} \right.$
c) ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {{a}_{1}}\ne {{a}_{2}}$, tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}
y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}} \\
y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}} \\
\end{matrix} \right.$
d) ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ vuông góc nhau $\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1.$
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng $d$, tìm hàm số đó biết:
a) $d$ đi qua $A(1;3)$, $B(2;-1).$
b) $d$ đi qua $C(3;-2)$ và song song với $\Delta: 3x-2y+1=0.$
c) $d$ đi qua $M(1;2)$ và cắt hai tia $Ox$, $Oy$ tại $P$, $Q$ sao cho ${{S}_{\Delta OPQ}}$ nhỏ nhất.
d) $d$ đi qua $N\left( 2;-1 \right)$ và $d\bot d’$ với $d’:y=4x+3.$
Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b$, $a\ne 0.$
a) Vì $A\in d$ và $B\in d$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}
3=a+b \\
-1=2a+b \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-4 \\
b=7 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy hàm số cần tìm là $y=-4x+7.$
b) Ta có $\Delta: y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$.
Vì $\text{d}//\Delta $ nên $\left\{ \begin{matrix}
a=\frac{3}{2} \\
b\ne \frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Mặt khác $C\in d$ $\Rightarrow -2=3a+b.$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}
a=\frac{3}{2} \\
b=-\frac{13}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{3}{2}x-\frac{13}{2}.$
c) Đường thẳng $d$ cắt trục $Ox$ tại $P\left( -\frac{b}{a};0 \right)$ và cắt $Oy$ tại $Q\left( 0;b \right)$ với $a<0$, $b>0.$
Suy ra ${S_{\Delta OPQ}} = \frac{1}{2}OP.OQ$ $ = \frac{1}{2}.\left| { – \frac{b}{a}} \right|.\left| b \right|$ $ = – \frac{{{b^2}}}{{2a}}.$
Ta có $M \in d$ $ \Rightarrow 2 = a + b$ $ \Rightarrow b = 2 – a.$
Do đó: ${S_{\Delta OPQ}} = – \frac{{{{\left( {2 – a} \right)}^2}}}{{2a}}$ $ = – \frac{2}{a} – \frac{a}{2} + 2.$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: $ – \frac{2}{a} – \frac{a}{2}$ $ \ge 2\sqrt {\left( { – \frac{2}{a}} \right).\left( { – \frac{a}{2}} \right)} $ $ = 2$ $ \Rightarrow {S_{\Delta OPQ}} \ge 4.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – \frac{2}{a} = – \frac{a}{2}}\\
{a < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow a = – 2$ $ \Rightarrow b = 4.$
Vậy hàm số cần tìm là $y = – 2x + 4.$
d) Đường thẳng $d$ đi qua $N\left( 2;-1 \right)$ nên $-1=2a+b.$
Và $d\bot d’$ $\Rightarrow 4.a=-1$ $\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}.$
Do đó: $b=-\frac{1}{2}$.
Vậy hàm số cần tìm là $y=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}$.
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng $d:y = x + 2m$ và $d’:y = 3x + 2$ ($m$ là tham số).
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng $d$, $d’$ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng.
b) Tìm $m$ để ba đường thẳng $d$, $d’$ và $d”:y=-mx+2$ phân biệt đồng quy.
a) Ta có ${{a}_{d}}=1\ne {{a}_{d’}}=3$ suy ra hai đường thẳng $d$, $d’$cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d$, $d’$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = x + 2m}\\
{y = 3x + 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = m – 1}\\
{y = 3m – 1}
\end{array}} \right.$
Suy ra $d$ và $d’$ cắt nhau tại điểm $M\left( m-1;3m-1 \right).$
b) Vì ba đường thẳng $d$, $d’$, $d”$ đồng quy nên $M\in d”$, do đó: $3m-1=-m\left( m-1 \right)+2$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=-3 \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $m=1$ ta có ba đường thẳng là $d:y=x+2$, $d’:y=3x+2$, $d”:y=-x+2$ phân biệt và đồng quy tại $M\left( 0;2 \right)$.
+ Với $m=-3$ ta có $d’\equiv d”$ suy ra $m=-3$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. Cho đường thẳng $d:y=\left( m-1 \right)x+m$ và $d’:y=\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+6.$
a) Tìm $m$ để hai đường thẳng $d$, $d’$ song song với nhau.
b) Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt trục tung tại $A$, $d’$ cắt trục hoành tại $B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O.$
a)
+ Với $m=1$, ta có $d:y=1$, $d’:y=6$ do đó hai đường thẳng này song song với nhau.
+ Với $m=-1$, ta có $d:y=-2x-1$, $d’:y=6$ suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại $M\left( -\frac{7}{2};6 \right).$
+ Với $m\ne \pm 1$ khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
m-1={{m}^{2}}-1 \\
m\ne 6 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=0 \\
\end{matrix} \right. \\
m\ne 6 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=0 \\
\end{matrix} \right.$
Đối chiếu với điều kiện $m\ne \pm 1$ suy ra $m=0$.
Vậy $m=0$ và $m=1$ là giá trị cần tìm.
b) Ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix}
y=\left( m-1 \right)x+m \\
x=0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=0 \\
y=m \\
\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow A\left( 0;m \right).$
Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix}
y=\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+6 \\
y=0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+6=0 \\
y=0 \\
\end{matrix} \right.$ $(*).$
Rõ ràng $m=\pm 1$ hệ phương trình $(*)$ vô nghiệm.
Với $m\ne \pm 1$, ta có $(*)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=\frac{6}{1-{{m}^{2}}} \\
y=0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow B\left( \frac{6}{1-{{m}^{2}}};0 \right).$
Do đó tam giác $OAB$ cân tại $O$ $\Leftrightarrow \left| m \right|=\left| \frac{6}{1-{{m}^{2}}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-{{m}^{3}} \right|=6$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m-{{m}^{3}}=6 \\
m-{{m}^{3}}=-6 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{m}^{3}}-m+6=0 \\
{{m}^{3}}-m-6=0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=-2 \\
m=2 \\
\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy $m=\pm 2$ là giá trị cần tìm.
Để xác định hàm số bậc nhất ta thực hiện theo các bước sau:
+ Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b$, $a\ne 0$.
+ Dựa giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ẩn $a,b.$
+ Giải hệ phương trình để tìm ẩn số $a$, $b$ và suy ra hàm số cần tìm.
Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}.$ Khi đó:
a) ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ trùng nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\
& {{b}_{1}}={{b}_{2}} \\
\end{align} \right.$
b) ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ song song nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\
& {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\
\end{align} \right.$
c) ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {{a}_{1}}\ne {{a}_{2}}$, tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}
y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}} \\
y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}} \\
\end{matrix} \right.$
d) ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ vuông góc nhau $\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1.$
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng $d$, tìm hàm số đó biết:
a) $d$ đi qua $A(1;3)$, $B(2;-1).$
b) $d$ đi qua $C(3;-2)$ và song song với $\Delta: 3x-2y+1=0.$
c) $d$ đi qua $M(1;2)$ và cắt hai tia $Ox$, $Oy$ tại $P$, $Q$ sao cho ${{S}_{\Delta OPQ}}$ nhỏ nhất.
d) $d$ đi qua $N\left( 2;-1 \right)$ và $d\bot d’$ với $d’:y=4x+3.$
Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b$, $a\ne 0.$
a) Vì $A\in d$ và $B\in d$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}
3=a+b \\
-1=2a+b \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-4 \\
b=7 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy hàm số cần tìm là $y=-4x+7.$
b) Ta có $\Delta: y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$.
Vì $\text{d}//\Delta $ nên $\left\{ \begin{matrix}
a=\frac{3}{2} \\
b\ne \frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Mặt khác $C\in d$ $\Rightarrow -2=3a+b.$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}
a=\frac{3}{2} \\
b=-\frac{13}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{3}{2}x-\frac{13}{2}.$
c) Đường thẳng $d$ cắt trục $Ox$ tại $P\left( -\frac{b}{a};0 \right)$ và cắt $Oy$ tại $Q\left( 0;b \right)$ với $a<0$, $b>0.$
Suy ra ${S_{\Delta OPQ}} = \frac{1}{2}OP.OQ$ $ = \frac{1}{2}.\left| { – \frac{b}{a}} \right|.\left| b \right|$ $ = – \frac{{{b^2}}}{{2a}}.$
Ta có $M \in d$ $ \Rightarrow 2 = a + b$ $ \Rightarrow b = 2 – a.$
Do đó: ${S_{\Delta OPQ}} = – \frac{{{{\left( {2 – a} \right)}^2}}}{{2a}}$ $ = – \frac{2}{a} – \frac{a}{2} + 2.$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: $ – \frac{2}{a} – \frac{a}{2}$ $ \ge 2\sqrt {\left( { – \frac{2}{a}} \right).\left( { – \frac{a}{2}} \right)} $ $ = 2$ $ \Rightarrow {S_{\Delta OPQ}} \ge 4.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – \frac{2}{a} = – \frac{a}{2}}\\
{a < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow a = – 2$ $ \Rightarrow b = 4.$
Vậy hàm số cần tìm là $y = – 2x + 4.$
d) Đường thẳng $d$ đi qua $N\left( 2;-1 \right)$ nên $-1=2a+b.$
Và $d\bot d’$ $\Rightarrow 4.a=-1$ $\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}.$
Do đó: $b=-\frac{1}{2}$.
Vậy hàm số cần tìm là $y=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}$.
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng $d:y = x + 2m$ và $d’:y = 3x + 2$ ($m$ là tham số).
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng $d$, $d’$ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng.
b) Tìm $m$ để ba đường thẳng $d$, $d’$ và $d”:y=-mx+2$ phân biệt đồng quy.
a) Ta có ${{a}_{d}}=1\ne {{a}_{d’}}=3$ suy ra hai đường thẳng $d$, $d’$cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d$, $d’$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = x + 2m}\\
{y = 3x + 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = m – 1}\\
{y = 3m – 1}
\end{array}} \right.$
Suy ra $d$ và $d’$ cắt nhau tại điểm $M\left( m-1;3m-1 \right).$
b) Vì ba đường thẳng $d$, $d’$, $d”$ đồng quy nên $M\in d”$, do đó: $3m-1=-m\left( m-1 \right)+2$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=-3 \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $m=1$ ta có ba đường thẳng là $d:y=x+2$, $d’:y=3x+2$, $d”:y=-x+2$ phân biệt và đồng quy tại $M\left( 0;2 \right)$.
+ Với $m=-3$ ta có $d’\equiv d”$ suy ra $m=-3$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. Cho đường thẳng $d:y=\left( m-1 \right)x+m$ và $d’:y=\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+6.$
a) Tìm $m$ để hai đường thẳng $d$, $d’$ song song với nhau.
b) Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt trục tung tại $A$, $d’$ cắt trục hoành tại $B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O.$
a)
+ Với $m=1$, ta có $d:y=1$, $d’:y=6$ do đó hai đường thẳng này song song với nhau.
+ Với $m=-1$, ta có $d:y=-2x-1$, $d’:y=6$ suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại $M\left( -\frac{7}{2};6 \right).$
+ Với $m\ne \pm 1$ khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
m-1={{m}^{2}}-1 \\
m\ne 6 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=0 \\
\end{matrix} \right. \\
m\ne 6 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=0 \\
\end{matrix} \right.$
Đối chiếu với điều kiện $m\ne \pm 1$ suy ra $m=0$.
Vậy $m=0$ và $m=1$ là giá trị cần tìm.
b) Ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix}
y=\left( m-1 \right)x+m \\
x=0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=0 \\
y=m \\
\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow A\left( 0;m \right).$
Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix}
y=\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+6 \\
y=0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+6=0 \\
y=0 \\
\end{matrix} \right.$ $(*).$
Rõ ràng $m=\pm 1$ hệ phương trình $(*)$ vô nghiệm.
Với $m\ne \pm 1$, ta có $(*)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x=\frac{6}{1-{{m}^{2}}} \\
y=0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow B\left( \frac{6}{1-{{m}^{2}}};0 \right).$
Do đó tam giác $OAB$ cân tại $O$ $\Leftrightarrow \left| m \right|=\left| \frac{6}{1-{{m}^{2}}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-{{m}^{3}} \right|=6$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m-{{m}^{3}}=6 \\
m-{{m}^{3}}=-6 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{m}^{3}}-m+6=0 \\
{{m}^{3}}-m-6=0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=-2 \\
m=2 \\
\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy $m=\pm 2$ là giá trị cần tìm.
