Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ và các tính chất của phép đối xứng tâm.
Ví dụ 1. Cho điểm $I\left( 1;1 \right)$ và đường thẳng $d:x+2y+3=0$. Tìm ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Cách 1. Lấy điểm $M\left( {x;y} \right) \in d$ $ \Rightarrow x + 2y + 3 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {Đ_I}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = 2 – x\\
y’ = 2 – y
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 – x’\\
y = 2 – y’
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( * \right)$ ta được $\left( {2 – x’} \right) + 2\left( {2 – y’} \right) + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow x’ + 2y’ – 9 = 0.$
Vậy ảnh của $d$ là đường thẳng $d’:x+2y-9=0$.
Cách 2. Gọi $d’$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $I$, thì $d’$ song song hoặc trùng với $d$ nên phương trình $d’$ có dạng $x+2y+c=0$.
Lấy $N\left( -3;0 \right)\in d$, gọi $N’={{Đ}_{I}}\left( N \right)$ thì $N’\left( 5;2 \right)$.
Lại có $N’\in d’$ $\Rightarrow 5+2.2+c=0$ $\Leftrightarrow c=-9$.
Vậy $d’:x+2y-9=0$.
Ví dụ 1. Cho điểm $I\left( 1;1 \right)$ và đường thẳng $d:x+2y+3=0$. Tìm ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Cách 1. Lấy điểm $M\left( {x;y} \right) \in d$ $ \Rightarrow x + 2y + 3 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {Đ_I}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = 2 – x\\
y’ = 2 – y
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 – x’\\
y = 2 – y’
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( * \right)$ ta được $\left( {2 – x’} \right) + 2\left( {2 – y’} \right) + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow x’ + 2y’ – 9 = 0.$
Vậy ảnh của $d$ là đường thẳng $d’:x+2y-9=0$.
Cách 2. Gọi $d’$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $I$, thì $d’$ song song hoặc trùng với $d$ nên phương trình $d’$ có dạng $x+2y+c=0$.
Lấy $N\left( -3;0 \right)\in d$, gọi $N’={{Đ}_{I}}\left( N \right)$ thì $N’\left( 5;2 \right)$.
Lại có $N’\in d’$ $\Rightarrow 5+2.2+c=0$ $\Leftrightarrow c=-9$.
Vậy $d’:x+2y-9=0$.
