Phương pháp: Sử dụng định nghĩa phép quay, biểu thức tọa độ của phép quay và các tính chất của phép quay.
Ví dụ 1. Cho $M\left( 3;4 \right)$. Tìm ảnh của điểm $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay ${{30}^{0}}$.
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {Q_{\left( {O;{{30}^0}} \right)}}.$ Áp dụng biểu thức tọa độ của phép quay $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\cos \alpha – y\sin \alpha \\
y’ = x\sin \alpha + y\cos \alpha
\end{array} \right.$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = 3\cos {30^0} – 4\sin {30^0} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} – 2\\
y’ = 3\sin {30^0} + 4\cos {30^0} = \frac{3}{2} + 2\sqrt 3
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M’\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2} – 2;\frac{3}{2} + 2\sqrt 3 } \right).$
Ví dụ 2. Cho $I\left( 2;1 \right)$ và đường thẳng $d:2x+3y+4=0$. Tìm ảnh của $d$ qua ${{Q}_{\left( I;{{45}^{0}} \right)}}$.
Lấy hai điểm $M\left( { – 2;0} \right)$, $N\left( {1; – 2} \right)$ thuộc $d.$
Gọi $M’\left( {{x_1};{y_1}} \right)$, $N’\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là ảnh của $M,N$ qua ${Q_{\left( {I;{{45}^0}} \right)}}.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2 + \left( { – 2 – 2} \right)\cos {45^0} – \left( {0 – 1} \right)\sin {45^0}\\
{y_1} = 1 + \left( { – 2 – 2} \right)\sin {45^0} + \left( {0 – 1} \right)\cos {45^0}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2 – \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\\
{y_1} = 1 – \frac{{5\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M’\left( {2 – \frac{{3\sqrt 2 }}{2};1 – \frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right).$
Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2 + \left( {1 – 2} \right)\cos {45^0} – \left( { – 2 – 1} \right)\sin {45^0}\\
{y_2} = 1 + \left( {1 – 2} \right)\sin {45^0} + \left( { – 2 – 1} \right)\cos {45^0}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2 + \sqrt 2 \\
{y_2} = 1 – 2\sqrt 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow N’\left( {2 + \sqrt 2 ;1 – 2\sqrt 2 } \right).$
Ta có $\overrightarrow {M’N’} = \left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {5;1} \right).$
Gọi $d’ = {Q_{\left( {I;{{45}^0}} \right)}}\left( d \right)$ thì $d’$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \overrightarrow {M’N’} = \left( {5;1} \right)$, suy ra vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { – 1;5} \right).$
Phương trình đường thẳng $d’$ là: $ – \left( {x – 2 – \sqrt 2 } \right) + 5\left( {y – 1 + 2\sqrt 2 } \right) = 0$ $ \Leftrightarrow – x + 5y – 3 + 10\sqrt 2 = 0.$
Ví dụ 3. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $OA$. Tìm ảnh của tam giác $AMN$ qua phép quay tâm $O$ góc quay ${{90}^{0}}$.
Phép quay ${{Q}_{\left( O;{{90}^{0}} \right)}}$ biến $A$ thành $D$, biến $M$ thành $M’$ là trung điểm của $AD$, biến $N$ thành $N’$ là trung điểm của $OD$. Do đó nó biến tam giác $AMN$ thành tam giác $DM’N’$.
Ví dụ 1. Cho $M\left( 3;4 \right)$. Tìm ảnh của điểm $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay ${{30}^{0}}$.
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {Q_{\left( {O;{{30}^0}} \right)}}.$ Áp dụng biểu thức tọa độ của phép quay $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x\cos \alpha – y\sin \alpha \\
y’ = x\sin \alpha + y\cos \alpha
\end{array} \right.$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = 3\cos {30^0} – 4\sin {30^0} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} – 2\\
y’ = 3\sin {30^0} + 4\cos {30^0} = \frac{3}{2} + 2\sqrt 3
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M’\left( {\frac{{3\sqrt 3 }}{2} – 2;\frac{3}{2} + 2\sqrt 3 } \right).$
Ví dụ 2. Cho $I\left( 2;1 \right)$ và đường thẳng $d:2x+3y+4=0$. Tìm ảnh của $d$ qua ${{Q}_{\left( I;{{45}^{0}} \right)}}$.
Lấy hai điểm $M\left( { – 2;0} \right)$, $N\left( {1; – 2} \right)$ thuộc $d.$
Gọi $M’\left( {{x_1};{y_1}} \right)$, $N’\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là ảnh của $M,N$ qua ${Q_{\left( {I;{{45}^0}} \right)}}.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2 + \left( { – 2 – 2} \right)\cos {45^0} – \left( {0 – 1} \right)\sin {45^0}\\
{y_1} = 1 + \left( { – 2 – 2} \right)\sin {45^0} + \left( {0 – 1} \right)\cos {45^0}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2 – \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\\
{y_1} = 1 – \frac{{5\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow M’\left( {2 – \frac{{3\sqrt 2 }}{2};1 – \frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right).$
Tương tự: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2 + \left( {1 – 2} \right)\cos {45^0} – \left( { – 2 – 1} \right)\sin {45^0}\\
{y_2} = 1 + \left( {1 – 2} \right)\sin {45^0} + \left( { – 2 – 1} \right)\cos {45^0}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = 2 + \sqrt 2 \\
{y_2} = 1 – 2\sqrt 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow N’\left( {2 + \sqrt 2 ;1 – 2\sqrt 2 } \right).$
Ta có $\overrightarrow {M’N’} = \left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {5;1} \right).$
Gọi $d’ = {Q_{\left( {I;{{45}^0}} \right)}}\left( d \right)$ thì $d’$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \overrightarrow {M’N’} = \left( {5;1} \right)$, suy ra vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { – 1;5} \right).$
Phương trình đường thẳng $d’$ là: $ – \left( {x – 2 – \sqrt 2 } \right) + 5\left( {y – 1 + 2\sqrt 2 } \right) = 0$ $ \Leftrightarrow – x + 5y – 3 + 10\sqrt 2 = 0.$
Ví dụ 3. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $OA$. Tìm ảnh của tam giác $AMN$ qua phép quay tâm $O$ góc quay ${{90}^{0}}$.
Phép quay ${{Q}_{\left( O;{{90}^{0}} \right)}}$ biến $A$ thành $D$, biến $M$ thành $M’$ là trung điểm của $AD$, biến $N$ thành $N’$ là trung điểm của $OD$. Do đó nó biến tam giác $AMN$ thành tam giác $DM’N’$.
