Phương pháp: Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $5x+2y-7=0$. Hãy viết phương trình của đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$.
Cách 1:
Lấy $M\left( {x;y} \right) \in d$ $ \Rightarrow 5x + 2y – 7 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {V_{\left( {O; – 2} \right)}}\left( M \right).$
Theo biểu thức tọa độ của phép vị tự, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
x’ = – 2x + \left[ {1 – \left( { – 2} \right)} \right].0\\
y’ = – 2y + \left[ {1 – \left( { – 2} \right)} \right].0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – \frac{1}{2}x’\\
y = – \frac{1}{2}y’
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( * \right)$ ta được $ – \frac{5}{2}x’ – y’ – 7 = 0$ $ \Leftrightarrow 5x’ + 2y’ + 14 = 0.$
Vậy $d’:5x + 2y + 14 = 0.$
Cách 2:
Do $d’$ song song hoặc trùng với $d$ nên phương trình $d’$ có dạng: $5x + 2y + c = 0.$
Lấy $M\left( {1;1} \right)$ thuộc $d.$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {V_{\left( {O; – 2} \right)}}\left( M \right)$, ta có: $\overrightarrow {OM’} = – 2\overrightarrow {OM} $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = – 2\\
y’ = – 2
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( * \right)$ ta được $c = 14.$
Vậy $d’:5x + 2y + 14 = 0.$
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4$. Tìm ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép vị tự tâm $I\left( -1;2 \right)$ tỉ số $k=3$
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J\left( {1;1} \right)$, bán kính $R = 2.$
Gọi $J’\left( {x’;y’} \right) = {V_{\left( {I;3} \right)}}\left( J \right)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {IJ’} = 3\overrightarrow {IJ} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ – 1 = 3\left( {1 + 1} \right)\\
y’ – 1 = 3\left( {1 – 2} \right)
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = 7\\
y’ = – 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow J’\left( {7; – 2} \right).$
Gọi $\left( C’ \right)$ là ảnh của $\left( C \right)$ qua phép vị tự ${{V}_{\left( I;3 \right)}}$ thì$\left( C’ \right)$ có tâm $J’\left( 7;-2 \right)$, bán kính $R’=3R=6$.
Vậy $\left( C’ \right):{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=36$.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $5x+2y-7=0$. Hãy viết phương trình của đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$.
Cách 1:
Lấy $M\left( {x;y} \right) \in d$ $ \Rightarrow 5x + 2y – 7 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {V_{\left( {O; – 2} \right)}}\left( M \right).$
Theo biểu thức tọa độ của phép vị tự, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
x’ = – 2x + \left[ {1 – \left( { – 2} \right)} \right].0\\
y’ = – 2y + \left[ {1 – \left( { – 2} \right)} \right].0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – \frac{1}{2}x’\\
y = – \frac{1}{2}y’
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( * \right)$ ta được $ – \frac{5}{2}x’ – y’ – 7 = 0$ $ \Leftrightarrow 5x’ + 2y’ + 14 = 0.$
Vậy $d’:5x + 2y + 14 = 0.$
Cách 2:
Do $d’$ song song hoặc trùng với $d$ nên phương trình $d’$ có dạng: $5x + 2y + c = 0.$
Lấy $M\left( {1;1} \right)$ thuộc $d.$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {V_{\left( {O; – 2} \right)}}\left( M \right)$, ta có: $\overrightarrow {OM’} = – 2\overrightarrow {OM} $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = – 2\\
y’ = – 2
\end{array} \right.$
Thay vào $\left( * \right)$ ta được $c = 14.$
Vậy $d’:5x + 2y + 14 = 0.$
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4$. Tìm ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép vị tự tâm $I\left( -1;2 \right)$ tỉ số $k=3$
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $J\left( {1;1} \right)$, bán kính $R = 2.$
Gọi $J’\left( {x’;y’} \right) = {V_{\left( {I;3} \right)}}\left( J \right)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {IJ’} = 3\overrightarrow {IJ} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ – 1 = 3\left( {1 + 1} \right)\\
y’ – 1 = 3\left( {1 – 2} \right)
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = 7\\
y’ = – 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow J’\left( {7; – 2} \right).$
Gọi $\left( C’ \right)$ là ảnh của $\left( C \right)$ qua phép vị tự ${{V}_{\left( I;3 \right)}}$ thì$\left( C’ \right)$ có tâm $J’\left( 7;-2 \right)$, bán kính $R’=3R=6$.
Vậy $\left( C’ \right):{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=36$.
