Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) $f(x)=3{{x}^{2}}-14x+8.$
b) $g(x)=-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-4.$
c) $P(x;y)=6{{x}^{2}}-11xy+3{{y}^{2}}.$
d) $Q(x;y)=2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-3xy+x-2y.$
a) Phương trình $3{{x}^{2}}-14x+8=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\frac{2}{3} \\
x=4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra $f(x)=3\left( x-\frac{2}{3} \right)\left( x-4 \right)$ $=\left( 3x-2 \right)\left( x-4 \right).$
b) Phương trình $-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-4=0$ $\Leftrightarrow -{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+5{{x}^{2}}-4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}=1 \\
{{x}^{2}}=4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra $g(x)=-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)$ $=-\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right).$
c) Xét phương trình $6{{x}^{2}}-11xy+3{{y}^{2}}=0$ ẩn $x.$
Ta có: ${{\Delta }_{x}}={{\left( 11y \right)}^{2}}-4.18{{y}^{2}}=49{{y}^{2}}.$
Suy ra phương trình có nghiệm là $x=\frac{11y\pm 7y}{12}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\frac{y}{3} \\
x=\frac{3y}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Do đó $P(x;y)=6\left( x-\frac{y}{3} \right)\left( x-\frac{3y}{2} \right)$ $=\left( 3x-y \right)\left( 2x-3y \right).$
d) Xét phương trình ẩn $x$ sau: $2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-3xy+x-2y=0$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( 1-3y \right)x-2{{y}^{2}}-2y=0.$
Ta có: ${{\Delta }_{x}}={{\left( 1-3y \right)}^{2}}-8\left( -2{{y}^{2}}-2y \right)$ $=25{{y}^{2}}+10y+1$ $={{\left( 5y+1 \right)}^{2}}.$
Suy ra phương trình có nghiệm là $x=\frac{3y-1\pm \left( 5y+1 \right)}{4}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=2y \\
x=\frac{-y-1}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Do đó $Q(x;y)=2\left( x-2y \right)\left( x-\frac{-y-1}{2} \right)$ $=\left( x-2y \right)\left( 2x+y+1 \right).$
Ví dụ 3. Phân tích đa thức $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-m$ thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn $x.$
Ta có $f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-m=0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)m+{{x}^{4}}-x=0.$
${{\Delta }_{m}}={{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{4}}-x \right)$ $=4{{x}^{2}}+4x+1={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}.$
Suy ra $f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=\frac{2{{x}^{2}}+1+2x+1}{2}={{x}^{2}}+x+1 \\
m=\frac{2{{x}^{2}}+1-2x-1}{2}={{x}^{2}}-x \\
\end{matrix} \right.$
Vậy $f\left( x \right)=\left( m-{{x}^{2}}-x-1 \right)\left( m-{{x}^{2}}+x \right).$
a) $f(x)=3{{x}^{2}}-14x+8.$
b) $g(x)=-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-4.$
c) $P(x;y)=6{{x}^{2}}-11xy+3{{y}^{2}}.$
d) $Q(x;y)=2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-3xy+x-2y.$
a) Phương trình $3{{x}^{2}}-14x+8=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\frac{2}{3} \\
x=4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra $f(x)=3\left( x-\frac{2}{3} \right)\left( x-4 \right)$ $=\left( 3x-2 \right)\left( x-4 \right).$
b) Phương trình $-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-4=0$ $\Leftrightarrow -{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+5{{x}^{2}}-4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}=1 \\
{{x}^{2}}=4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra $g(x)=-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)$ $=-\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right).$
c) Xét phương trình $6{{x}^{2}}-11xy+3{{y}^{2}}=0$ ẩn $x.$
Ta có: ${{\Delta }_{x}}={{\left( 11y \right)}^{2}}-4.18{{y}^{2}}=49{{y}^{2}}.$
Suy ra phương trình có nghiệm là $x=\frac{11y\pm 7y}{12}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\frac{y}{3} \\
x=\frac{3y}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Do đó $P(x;y)=6\left( x-\frac{y}{3} \right)\left( x-\frac{3y}{2} \right)$ $=\left( 3x-y \right)\left( 2x-3y \right).$
d) Xét phương trình ẩn $x$ sau: $2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-3xy+x-2y=0$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( 1-3y \right)x-2{{y}^{2}}-2y=0.$
Ta có: ${{\Delta }_{x}}={{\left( 1-3y \right)}^{2}}-8\left( -2{{y}^{2}}-2y \right)$ $=25{{y}^{2}}+10y+1$ $={{\left( 5y+1 \right)}^{2}}.$
Suy ra phương trình có nghiệm là $x=\frac{3y-1\pm \left( 5y+1 \right)}{4}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=2y \\
x=\frac{-y-1}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Do đó $Q(x;y)=2\left( x-2y \right)\left( x-\frac{-y-1}{2} \right)$ $=\left( x-2y \right)\left( 2x+y+1 \right).$
Ví dụ 3. Phân tích đa thức $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-m$ thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn $x.$
Ta có $f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-m=0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)m+{{x}^{4}}-x=0.$
${{\Delta }_{m}}={{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{4}}-x \right)$ $=4{{x}^{2}}+4x+1={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}.$
Suy ra $f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=\frac{2{{x}^{2}}+1+2x+1}{2}={{x}^{2}}+x+1 \\
m=\frac{2{{x}^{2}}+1-2x-1}{2}={{x}^{2}}-x \\
\end{matrix} \right.$
Vậy $f\left( x \right)=\left( m-{{x}^{2}}-x-1 \right)\left( m-{{x}^{2}}+x \right).$
