Chúng ta đã được làm quen với phương pháp phân tích để tính các xác định nguyên hàm nói chung. Bây giờ đi xem xét chi tiết hơn về việc sử dụng phương pháp này để xác định nguyên hàm của các hàm số mũ và logarit. Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc.
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{1 – {e^x}}}.$
Sử dụng đồng nhất thức: $1 = \left( {1 – {e^x}} \right) + {e^x}$, ta được:
$\frac{1}{{1 – {e^x}}}$ $ = \frac{{\left( {1 – {e^x}} \right) + {e^x}}}{{1 – {e^x}}}$ $ = 1 + \frac{{{e^x}}}{{1 – {e^x}}}.$
Suy ra: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {1 + \frac{{{e^x}}}{{1 – {e^x}}}} \right)} dx$ $ = \int d x – \int {\frac{{d\left( {1 – {e^x}} \right)}}{{1 – {e^x}}}} $ $ = x – \ln \left| {1 – {e^x}} \right| + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x}\sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} .$
Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {{e^x}} \sqrt {{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2} + 1} dx$ $ = \int {\sqrt {{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2} + 1} } d\left( {{e^x} – 1} \right)$ $ = \frac{{{e^x} – 1}}{2}\sqrt {{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2} + 1} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {\left( {{e^x} – 1} \right) + \sqrt {{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2} + 1} } \right| + C$ $ = \frac{{{e^x} – 1}}{2}\sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {{e^x} – 1 + \sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} } \right| + C.$
Chú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dùng một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau:
Bước 1: Thực hiện phép đổi biến $t = {e^x}$, suy ra:
$dt = {e^x}dx.$
${e^x}\sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} dx$ $ = \sqrt {{t^2} – 2t + 2} dt$ $ = \sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx = \int {\sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} } dt.$
Bước 2: Thực hiện phép đổi biến $u = t – 1$, suy ra:
$du = dt.$
$\sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} dt = \sqrt {{u^2} + 1} du.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {{u^2} + 1} } du$ $ = \frac{u}{2}\sqrt {{u^2} + 1} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {u + \sqrt {{u^2} + 1} } \right| + C$ $ = \frac{{t – 1}}{2}\sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {t – 1 + \sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} } \right| + C$ $ = \frac{{{e^x} – 1}}{2}\sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {{e^x} – 1 + \sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} } \right| + C.$
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{1 – {e^x}}}.$
Sử dụng đồng nhất thức: $1 = \left( {1 – {e^x}} \right) + {e^x}$, ta được:
$\frac{1}{{1 – {e^x}}}$ $ = \frac{{\left( {1 – {e^x}} \right) + {e^x}}}{{1 – {e^x}}}$ $ = 1 + \frac{{{e^x}}}{{1 – {e^x}}}.$
Suy ra: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {1 + \frac{{{e^x}}}{{1 – {e^x}}}} \right)} dx$ $ = \int d x – \int {\frac{{d\left( {1 – {e^x}} \right)}}{{1 – {e^x}}}} $ $ = x – \ln \left| {1 – {e^x}} \right| + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x}\sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} .$
Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {{e^x}} \sqrt {{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2} + 1} dx$ $ = \int {\sqrt {{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2} + 1} } d\left( {{e^x} – 1} \right)$ $ = \frac{{{e^x} – 1}}{2}\sqrt {{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2} + 1} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {\left( {{e^x} – 1} \right) + \sqrt {{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2} + 1} } \right| + C$ $ = \frac{{{e^x} – 1}}{2}\sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {{e^x} – 1 + \sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} } \right| + C.$
Chú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dùng một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau:
Bước 1: Thực hiện phép đổi biến $t = {e^x}$, suy ra:
$dt = {e^x}dx.$
${e^x}\sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} dx$ $ = \sqrt {{t^2} – 2t + 2} dt$ $ = \sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx = \int {\sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} } dt.$
Bước 2: Thực hiện phép đổi biến $u = t – 1$, suy ra:
$du = dt.$
$\sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} dt = \sqrt {{u^2} + 1} du.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {{u^2} + 1} } du$ $ = \frac{u}{2}\sqrt {{u^2} + 1} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {u + \sqrt {{u^2} + 1} } \right| + C$ $ = \frac{{t – 1}}{2}\sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {t – 1 + \sqrt {{{(t – 1)}^2} + 1} } \right| + C$ $ = \frac{{{e^x} – 1}}{2}\sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {{e^x} – 1 + \sqrt {{e^{2x}} – 2{e^x} + 2} } \right| + C.$
