Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay ${{Q}_{\left( I;\alpha \right)}}$ nào đó. Để tìm tập hợp điểm $M’$ ta đi tìm tập hợp điểm $M$ mà ${{Q}_{\left( I;\alpha \right)}}$ nào đó biến điểm $M$ thành điểm $M’$, khi đó nếu $M\in \left( H \right)$ thì $M’\in \left( H’ \right)={{Q}_{\left( I;\alpha \right)}}\left( \left( H \right) \right)$.
Ví dụ 6. Cho đường thẳng $d$ và một điểm $G$ không nằm trên $d$. Với mỗi điểm $A$ nằm trên $d$ ta dựng tam giác đều $ABC$ có tâm $G$. Tìm quỹ tích các điểm $B$, $C$ khi $A$ di động trên $d$.
Do tam giác $ABC$ đều và có tâm $G$ nên phép quay tâm $G$ góc quay ${{120}^{0}}$ biến $A$ thành $B$ hoặc $C$ và phép quay tâm $G$ góc quay ${{240}^{0}}$ biến $A$ thành $B$ hoặc $C$.
Mà $A\in d$ nên $B$, $C$ thuộc các đường thẳng là ảnh của $d$ trong hai phép quay nói trên.
Vậy quỹ tích các điểm $B$, $C$ là các đường thẳng ảnh của $d$ trong hai phép quay tâm $G$ góc quay ${{120}^{0}}$ và ${{240}^{0}}.$
Ví dụ 7. Cho tam giác đều $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}.$
Xét phép quay ${{Q}_{\left( B;-{{60}^{0}} \right)}}$ thì $A$ biến thành $C$, giả sử điểm $M$ biến thành $M’$.
Khi đó $MA=M’C$, $MB=MM’$ nên $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}$ $\Leftrightarrow M'{{C}^{2}}+MM{{‘}^{2}}=M{{C}^{2}}$.
Do đó tam giác $M’MC$ vuông tại $M’$, suy ra $\widehat{BM’C}={{150}^{0}}$.
Ta lại có $AM=CM’$, $BM=BM’$ và $AB=BC$$\Rightarrow $ $\Delta AMB=\Delta CM’B$$\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{CM’B}={{150}^{0}}$.
Vậy $M$ thuộc cung chứa góc ${{150}^{0}}$ với dây cung $AB$ nằm trong tam giác $ABC$.
Đảo lại lấy điểm $M$ thuộc cung $\overset\frown{AB}={{150}^{0}}$ trong tam giác $ABC$, gọi $M’={{Q}_{\left( B;-{{60}^{0}} \right)}}\left( M \right)$.
Do ${{Q}_{\left( B;-{{60}^{0}} \right)}}:\overset\frown{AMB}\to \overset\frown{CM’B}$ nên $\overset\frown{CM’B}={{150}^{0}}$.
Mặt khác tam giác $BMM’$ đều nên $\widehat{BM’M}={{60}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{CM’M}={{150}^{0}}-{{60}^{0}}={{90}^{0}}$.
Vì vậy $\Delta M’MC$ vuông tại $M’$ $\Rightarrow M'{{B}^{2}}+M'{{C}^{2}}=M{{C}^{2}}$ .
Mà $MA=M’C$, $MB=MM’$$\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}$.
Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán là cung $\overset\frown{AB}={{150}^{0}}$ trong tam giác $ABC$ nhận $AB$ làm dây cung.
Ví dụ 6. Cho đường thẳng $d$ và một điểm $G$ không nằm trên $d$. Với mỗi điểm $A$ nằm trên $d$ ta dựng tam giác đều $ABC$ có tâm $G$. Tìm quỹ tích các điểm $B$, $C$ khi $A$ di động trên $d$.
Do tam giác $ABC$ đều và có tâm $G$ nên phép quay tâm $G$ góc quay ${{120}^{0}}$ biến $A$ thành $B$ hoặc $C$ và phép quay tâm $G$ góc quay ${{240}^{0}}$ biến $A$ thành $B$ hoặc $C$.
Mà $A\in d$ nên $B$, $C$ thuộc các đường thẳng là ảnh của $d$ trong hai phép quay nói trên.
Vậy quỹ tích các điểm $B$, $C$ là các đường thẳng ảnh của $d$ trong hai phép quay tâm $G$ góc quay ${{120}^{0}}$ và ${{240}^{0}}.$
Ví dụ 7. Cho tam giác đều $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}.$
Xét phép quay ${{Q}_{\left( B;-{{60}^{0}} \right)}}$ thì $A$ biến thành $C$, giả sử điểm $M$ biến thành $M’$.
Khi đó $MA=M’C$, $MB=MM’$ nên $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}$ $\Leftrightarrow M'{{C}^{2}}+MM{{‘}^{2}}=M{{C}^{2}}$.
Do đó tam giác $M’MC$ vuông tại $M’$, suy ra $\widehat{BM’C}={{150}^{0}}$.
Ta lại có $AM=CM’$, $BM=BM’$ và $AB=BC$$\Rightarrow $ $\Delta AMB=\Delta CM’B$$\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{CM’B}={{150}^{0}}$.
Vậy $M$ thuộc cung chứa góc ${{150}^{0}}$ với dây cung $AB$ nằm trong tam giác $ABC$.
Đảo lại lấy điểm $M$ thuộc cung $\overset\frown{AB}={{150}^{0}}$ trong tam giác $ABC$, gọi $M’={{Q}_{\left( B;-{{60}^{0}} \right)}}\left( M \right)$.
Do ${{Q}_{\left( B;-{{60}^{0}} \right)}}:\overset\frown{AMB}\to \overset\frown{CM’B}$ nên $\overset\frown{CM’B}={{150}^{0}}$.
Mặt khác tam giác $BMM’$ đều nên $\widehat{BM’M}={{60}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{CM’M}={{150}^{0}}-{{60}^{0}}={{90}^{0}}$.
Vì vậy $\Delta M’MC$ vuông tại $M’$ $\Rightarrow M'{{B}^{2}}+M'{{C}^{2}}=M{{C}^{2}}$ .
Mà $MA=M’C$, $MB=MM’$$\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}$.
Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán là cung $\overset\frown{AB}={{150}^{0}}$ trong tam giác $ABC$ nhận $AB$ làm dây cung.
