Phương pháp: Để dựng một hình $\left( H \right)$ nào đó ta quy về dựng một số điểm (đủ để xác định hình $\left( H \right)$) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đó một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác.
Ví dụ 4. Cho hai điểm $B,C$ cố định và hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$. Dựng tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ thuộc ${{d}_{1}}$ và trọng tâm $G$ thuộc ${{d}_{2}}$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được tam giác $ABC$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, theo tính chất trọng tâm tam giác ta có $\overrightarrow {IA} = 3\overrightarrow {IG} $ $ \Rightarrow {V_{\left( {I;3} \right)}}\left( G \right) = A.$
Mà $G \in {d_2}$ $ \Rightarrow A \in {d_2}’$, với ${d_2}’$ là ảnh của ${d_2}$ qua ${V_{\left( {I;3} \right)}}.$
Ta lại có: $A \in {d_1}$ $ \Rightarrow A = {d_1} \cap {d_2}’.$
Cách dựng:
+ Dựng đường thẳng ${{d}_{2}}’$ ảnh của ${{d}_{2}}$ qua ${{V}_{\left( I;3 \right)}}$.
+ Dựng giao điểm $A={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}’$.
+ Dựng giao điểm $G=IA\cap {{d}_{2}}$.
Hai điểm $A;G$ là hai điểm cần dựng.
Chứng minh: Rõ ràng từ cách dựng ta có $A \in {d_1}$, $G \in {d_2}$, $I$ là trung điểm của $BC$ và ${V_{\left( {I;3} \right)}}\left( G \right) = A$ $ \Rightarrow \overrightarrow {IA} = 3\overrightarrow {IG} $ $ \Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Nhận xét: Số nghiệm hình của bài toán bằng số giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}’$.
Ví dụ 5. Cho hai đường tròn đồng tâm $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Từ một điểm $A$ trên đường tròn lớn $\left( {{C}_{1}} \right)$ hãy dựng đường thẳng $d$ cắt $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại $B,C$ và cắt $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $D$ sao cho $AB=BC=CD$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường thẳng $d$ cắt $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $D$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại $B,C$ sao cho $AB=BC=CD$, khi đó $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $ $ \Rightarrow {V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}\left( C \right) = B.$
Mà $C\in \left( {{C}_{2}} \right)$ nên $B\in \left( {{C}_{2}}’ \right)$ với đường tròn $\left( {{C}_{2}}’ \right)$ là ảnh của $\left( {{C}_{2}} \right)$ qua ${{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}$.
Ta lại có $B\in \left( {{C}_{2}} \right)$ nên $B\in \left( {{C}_{2}} \right)\cap \left( {{C}_{2}}’ \right)$.
Cách dựng:
+ Dựng đường tròn $\left( {{C}_{2}}’ \right)$ ảnh của đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ qua phép vị tự ${{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}$.
+ Dựng giao điểm $B$ của $\left( {{C}_{2}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}}’ \right)$.
+ Dựng đường thẳng $d$ đi qua $A,B$ cắt các đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $C,D$ tương ứng.
Đường thẳng $d$ chính là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh:
Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ thì $I$ cũng là trung điểm của $BC$.
Vì ${{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}\left( C \right)=B$ nên $AB=BC$, mặt khác $AD$ và $BC$ có chung trung điểm $I$ nên $IA = ID$, $IB = IC$, $ID = CD + IC$, $IA = IB + AB$ suy ra $CD = AB.$
Vậy $AB = BC = CD.$
Nhận xét: Gọi ${{R}_{1}};{{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính các đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ ta có:
+ Nếu ${{R}_{1}}\ge 2{{R}_{2}}$ thì bài toán có một nghiệm hình.
+ Nếu ${{R}_{1}}<2{{R}_{2}}$ thì bài toán có hai nghiệm hình.
Ví dụ 4. Cho hai điểm $B,C$ cố định và hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$. Dựng tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ thuộc ${{d}_{1}}$ và trọng tâm $G$ thuộc ${{d}_{2}}$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được tam giác $ABC$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, theo tính chất trọng tâm tam giác ta có $\overrightarrow {IA} = 3\overrightarrow {IG} $ $ \Rightarrow {V_{\left( {I;3} \right)}}\left( G \right) = A.$
Mà $G \in {d_2}$ $ \Rightarrow A \in {d_2}’$, với ${d_2}’$ là ảnh của ${d_2}$ qua ${V_{\left( {I;3} \right)}}.$
Ta lại có: $A \in {d_1}$ $ \Rightarrow A = {d_1} \cap {d_2}’.$
Cách dựng:
+ Dựng đường thẳng ${{d}_{2}}’$ ảnh của ${{d}_{2}}$ qua ${{V}_{\left( I;3 \right)}}$.
+ Dựng giao điểm $A={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}’$.
+ Dựng giao điểm $G=IA\cap {{d}_{2}}$.
Hai điểm $A;G$ là hai điểm cần dựng.
Chứng minh: Rõ ràng từ cách dựng ta có $A \in {d_1}$, $G \in {d_2}$, $I$ là trung điểm của $BC$ và ${V_{\left( {I;3} \right)}}\left( G \right) = A$ $ \Rightarrow \overrightarrow {IA} = 3\overrightarrow {IG} $ $ \Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Nhận xét: Số nghiệm hình của bài toán bằng số giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}’$.
Ví dụ 5. Cho hai đường tròn đồng tâm $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$. Từ một điểm $A$ trên đường tròn lớn $\left( {{C}_{1}} \right)$ hãy dựng đường thẳng $d$ cắt $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại $B,C$ và cắt $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $D$ sao cho $AB=BC=CD$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường thẳng $d$ cắt $\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $D$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại $B,C$ sao cho $AB=BC=CD$, khi đó $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $ $ \Rightarrow {V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}\left( C \right) = B.$
Mà $C\in \left( {{C}_{2}} \right)$ nên $B\in \left( {{C}_{2}}’ \right)$ với đường tròn $\left( {{C}_{2}}’ \right)$ là ảnh của $\left( {{C}_{2}} \right)$ qua ${{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}$.
Ta lại có $B\in \left( {{C}_{2}} \right)$ nên $B\in \left( {{C}_{2}} \right)\cap \left( {{C}_{2}}’ \right)$.
Cách dựng:
+ Dựng đường tròn $\left( {{C}_{2}}’ \right)$ ảnh của đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ qua phép vị tự ${{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}$.
+ Dựng giao điểm $B$ của $\left( {{C}_{2}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}}’ \right)$.
+ Dựng đường thẳng $d$ đi qua $A,B$ cắt các đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $C,D$ tương ứng.
Đường thẳng $d$ chính là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh:
Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ thì $I$ cũng là trung điểm của $BC$.
Vì ${{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}\left( C \right)=B$ nên $AB=BC$, mặt khác $AD$ và $BC$ có chung trung điểm $I$ nên $IA = ID$, $IB = IC$, $ID = CD + IC$, $IA = IB + AB$ suy ra $CD = AB.$
Vậy $AB = BC = CD.$
Nhận xét: Gọi ${{R}_{1}};{{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính các đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ ta có:
+ Nếu ${{R}_{1}}\ge 2{{R}_{2}}$ thì bài toán có một nghiệm hình.
+ Nếu ${{R}_{1}}<2{{R}_{2}}$ thì bài toán có hai nghiệm hình.
