Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay ${{Đ}_{I}}$ nào đó.
Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ và hai điểm $A,G$ không thuộc ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$. Hãy dựng tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và hai đỉnh $B,C$ lần lượt thuộc ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được tam giác $ABC$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ thì ${{Đ}_{I}}\left( C \right)=B$, mà $C\in {{d}_{2}}$ nên $B\in {{d}_{2}}’$ với ${{d}_{2}}’$ là ảnh của $d_2$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Ta lại có $B\in {{d}_{1}}\Rightarrow B={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}’$.
Cách dựng:
+ Dựng điểm $I$ sao cho $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}.$
+ Dựng đường thẳng ${{d}_{2}}’$ ảnh của ${{d}_{2}}$ qua ${{Đ}_{I}}.$
+ Gọi $B={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}’.$
+ Dựng điểm $C={{Đ}_{I}}\left( B \right).$
Tam giác $ABC$ là tam giác phải dựng.
Chứng minh: Dựa vào cách dựng ta có $I$ là trung điểm của $BC$ và $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$ nên $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
Nhận xét: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}’$.
Ví dụ 5. Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( O’ \right)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ và số $a>0$. Dựng đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài bằng $a$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường thẳng $d$ cắt $\left( O \right)$ và $\left( O’ \right)$ tại $M,M’$ sao cho $AM-AM’=a$.
Xét phép đối xứng ${Đ_A}.$
Gọi $N = {Đ_A}\left( M’ \right)$, $\left( {{O_1}} \right) = {Đ_A}\left( {\left( O’ \right)} \right)$, $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AN$ và $AM$, khi đó $H{{O}_{1}}\bot AM$ và $OK\bot AM$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $O$ trên ${{O}_{1}}H$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
OI\parallel KH\\
OI = KH
\end{array} \right.$, mặt khác $KH = KA – HA$ $ = \frac{{AM – AN}}{2}$ $ = \frac{{AM – AM’}}{2} = \frac{a}{2}$ nên $OI = \frac{a}{2}.$
Vậy điểm $I$ thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $r=\frac{a}{2}$.
Mặt khác $I$ thuộc đường tròn đường kính $O{{O}_{1}}$ nên $I$ là giao điểm của đường tròn đường kính $O{{O}_{1}}$ với đường tròn $\left( O;\frac{a}{2} \right)$ do đó $I$ xác định và $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và song song với $OI$.
Cách dựng:
+ Dựng $\left( {{O}_{1}} \right)$ ảnh của $\left( O’ \right)$ qua ${{Đ}_{A}}$.
+ Dựng đường tròn đường kính $O{{O}_{1}}$.
+ Dựng đường tròn $\left( O;\frac{a}{2} \right)$, và dựng giao điểm $I$ của đường tròn đường kính $O{{O}_{1}}$ với đường tròn $\left( O;\frac{a}{2} \right)$.
+ Từ $A$ dựng đường thẳng $d\parallel OI$ cắt $\left( O \right)$ tại $M$ và cắt $\left( O’ \right)$ tại $M’$ thì $d$ là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh:
Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AN,AM$ ta có $KH=OI=\frac{a}{2}.$
Mà $KH=AK-AH$ $=\frac{AM}{2}-\frac{AN}{2}$ $=\frac{AM-AM’}{2}$ $\Rightarrow AM-AM’=a$.
Nhận xét: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của đường tròn $\left( O;\frac{a}{2} \right)$ và đường tròn đường kính $O{{O}_{1}}$.
