Chúng ta đã được biết trong phần xác định nguyên hàng bằng phương pháp nguyên hàm từng phần, đối với các dạng nguyên hàm:
Dạng 1: Tính: $\int {{e^{ax}}} \cos (bx)$ hoặc $\int {{e^{ax}}} \sin (bx)$ với $a,b \ne 0.$
Khi đó ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \cos (bx)}\\
{dv = {e^{ax}}dx}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \sin (bx)}\\
{dv = {e^{ax}}dx}
\end{array}} \right.$
Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương pháp hằng số bất định.
Dạng 2: Tính: $\int P (x){e^{\alpha x}}dx$ với $\alpha \in {R^*}.$
Khi đó ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = P(x)}\\
{dv = {e^{\alpha x}}dx}
\end{array}} \right.$
Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương pháp hằng số bất định.
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $I = \int x \ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}dx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}}\\
{dv = xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{ – 1}}{{1 – {x^2}}}dx}\\
{v = \frac{1}{2}{x^2}}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \int {\frac{{{x^2}}}{{2\left( {1 – {x^2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \int {\left( {\frac{1}{{2\left( {1 – {x^2}} \right)}} – \frac{1}{2}} \right)} dx + C$ $ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} \right| – \frac{1}{2}x + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 1} \right){e^x}.$
Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 1} \right)} {e^x}$ $ = \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)} {e^x} + \int {{e^x}} \tan xdx$ $(1).$
Xét tích phân $J = \int {{e^x}} \tan xdx$, đặt:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \tan x}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $J = {e^x}\tan x – \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)} {e^x}$ $(2).$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $\int f (x)dx = {e^x}\tan x + C.$
Dạng 1: Tính: $\int {{e^{ax}}} \cos (bx)$ hoặc $\int {{e^{ax}}} \sin (bx)$ với $a,b \ne 0.$
Khi đó ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \cos (bx)}\\
{dv = {e^{ax}}dx}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \sin (bx)}\\
{dv = {e^{ax}}dx}
\end{array}} \right.$
Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương pháp hằng số bất định.
Dạng 2: Tính: $\int P (x){e^{\alpha x}}dx$ với $\alpha \in {R^*}.$
Khi đó ta đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = P(x)}\\
{dv = {e^{\alpha x}}dx}
\end{array}} \right.$
Ngoài ra cũng có thể sử dụng phương pháp hằng số bất định.
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $I = \int x \ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}dx.$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}}\\
{dv = xdx}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{ – 1}}{{1 – {x^2}}}dx}\\
{v = \frac{1}{2}{x^2}}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \int {\frac{{{x^2}}}{{2\left( {1 – {x^2}} \right)}}} dx$ $ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \int {\left( {\frac{1}{{2\left( {1 – {x^2}} \right)}} – \frac{1}{2}} \right)} dx + C$ $ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \frac{{1 – x}}{{1 + x}}$ $ + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}} \right| – \frac{1}{2}x + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 1} \right){e^x}.$
Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 1} \right)} {e^x}$ $ = \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)} {e^x} + \int {{e^x}} \tan xdx$ $(1).$
Xét tích phân $J = \int {{e^x}} \tan xdx$, đặt:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \tan x}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $J = {e^x}\tan x – \int {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)} {e^x}$ $(2).$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $\int f (x)dx = {e^x}\tan x + C.$
