Phương pháp giải toán: Cho hàm số $f\left( x \right)=ax+b$ và đoạn $\left[ \alpha ;\beta \right]\subset R$ . Khi đó, đồ thị của hàm số $y = f(x)$ trên $[\alpha ;\beta ]$ là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:
$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} f\left( x \right) = max\{ f(a);f(b)\} .$
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} f\left( x \right) = min\{ f(a);f(b)\} .$
$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} \left| {f(x)} \right| = \max \left\{ {\left| {f(\alpha )} \right|;\left| {f(\beta )} \right|} \right\}.$
Ví dụ 10. Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| 2x-m \right|$. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên $\left[ 1;2 \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy $\mathop {\max }\limits_{[1;2]} f(x)$ chỉ có thể đạt được tại $x=1$ hoặc $x=2.$
Như vậy nếu đặt $M = \mathop {\max }\limits_{[1;2]} f(x)$ thì $M \ge f\left( 1 \right) = \left| {2 – m} \right|$ và $M \ge f\left( 2 \right) = \left| {4 – m} \right|.$
Ta có: $M \ge \frac{{f(1) + f(2)}}{2}$ $ = \frac{{\left| {2 – m} \right| + \left| {4 – m} \right|}}{2}$ $ \ge \frac{{\left| {(2 – m) + (m – 4)} \right|}}{2} = 1.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
\left| {2 – m} \right| = \left| {4 – m} \right|\\
(2 – m)(m – 4) \ge 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 3.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $1$, đạt được chỉ khi $m = 3.$
Ví dụ 11. Cho hàm số $y = \left| {\sqrt {2x – {x^2}} – 3m + 4} \right|.$ Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y$ là nhỏ nhất.
Gọi $A = \max y.$ Ta đặt $t = \sqrt {2x – {x^2}} $ $ \Rightarrow t = \sqrt {1 – {{\left( {x – 1} \right)}^2}} $, do đó $0 \le t \le 1.$
Khi đó hàm số được viết lại là $y = \left| {t – 3m + 4} \right|$ với $t \in \left[ {0;1} \right]$, suy ra:
$A = \mathop {\max }\limits_{[0,1]} \left| {t – 3m + 4} \right|$ $ = \max \left\{ {\left| { – 3m + 4} \right|,\left| {5 – 3m + } \right|} \right\}$ $ \ge \frac{{\left| { – 3m + 4} \right| + \left| {5 – 3m} \right|}}{2}.$
Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có: $\left| { – 3m + 4} \right| + \left| {5 – 3m} \right|$ $ = \left| {3m – 4} \right| + \left| {5 – 3m} \right| \ge 1.$
Do đó $A\ge \frac{1}{2}$, đẳng thức xảy ra khi $m=\frac{3}{2}$.
Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{3}{2}$.
Ví dụ 12. Cho $a,b,c$ thuộc $\left[ {0;2} \right]$. Chứng minh rằng: $2\left( {a + b + c} \right) – \left( {ab + bc + ca} \right) \le 4.$
Viết bất đẳng thức lại thành $\left( {2 – b – c} \right)a + 2\left( {b + c} \right) – bc – 4 \le 0.$
Xét hàm số bậc nhất: $f\left( a \right) = \left( {2 – b – c} \right)a + 2\left( {b + c} \right) – bc – 4$ với ẩn $a \in \left[ {0;2} \right].$
Ta có: $f\left( 0 \right) = 2\left( {b + c} \right) – bc – 4$ $ = – \left( {2 – b} \right)\left( {2 – c} \right) \le 0.$
$f\left( 2 \right) = \left( {2 – b – c} \right)2$ $ + 2\left( {b + c} \right) – bc – 4$ $ = – bc \le 0.$
Suy ra $f\left( a \right) \le max\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 2 \right)} \right\} \le 0.$
$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} f\left( x \right) = max\{ f(a);f(b)\} .$
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} f\left( x \right) = min\{ f(a);f(b)\} .$
$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ,\beta } \right]} \left| {f(x)} \right| = \max \left\{ {\left| {f(\alpha )} \right|;\left| {f(\beta )} \right|} \right\}.$
Ví dụ 10. Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| 2x-m \right|$. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên $\left[ 1;2 \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy $\mathop {\max }\limits_{[1;2]} f(x)$ chỉ có thể đạt được tại $x=1$ hoặc $x=2.$
Như vậy nếu đặt $M = \mathop {\max }\limits_{[1;2]} f(x)$ thì $M \ge f\left( 1 \right) = \left| {2 – m} \right|$ và $M \ge f\left( 2 \right) = \left| {4 – m} \right|.$
Ta có: $M \ge \frac{{f(1) + f(2)}}{2}$ $ = \frac{{\left| {2 – m} \right| + \left| {4 – m} \right|}}{2}$ $ \ge \frac{{\left| {(2 – m) + (m – 4)} \right|}}{2} = 1.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
\left| {2 – m} \right| = \left| {4 – m} \right|\\
(2 – m)(m – 4) \ge 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 3.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $1$, đạt được chỉ khi $m = 3.$
Ví dụ 11. Cho hàm số $y = \left| {\sqrt {2x – {x^2}} – 3m + 4} \right|.$ Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y$ là nhỏ nhất.
Gọi $A = \max y.$ Ta đặt $t = \sqrt {2x – {x^2}} $ $ \Rightarrow t = \sqrt {1 – {{\left( {x – 1} \right)}^2}} $, do đó $0 \le t \le 1.$
Khi đó hàm số được viết lại là $y = \left| {t – 3m + 4} \right|$ với $t \in \left[ {0;1} \right]$, suy ra:
$A = \mathop {\max }\limits_{[0,1]} \left| {t – 3m + 4} \right|$ $ = \max \left\{ {\left| { – 3m + 4} \right|,\left| {5 – 3m + } \right|} \right\}$ $ \ge \frac{{\left| { – 3m + 4} \right| + \left| {5 – 3m} \right|}}{2}.$
Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có: $\left| { – 3m + 4} \right| + \left| {5 – 3m} \right|$ $ = \left| {3m – 4} \right| + \left| {5 – 3m} \right| \ge 1.$
Do đó $A\ge \frac{1}{2}$, đẳng thức xảy ra khi $m=\frac{3}{2}$.
Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{3}{2}$.
Ví dụ 12. Cho $a,b,c$ thuộc $\left[ {0;2} \right]$. Chứng minh rằng: $2\left( {a + b + c} \right) – \left( {ab + bc + ca} \right) \le 4.$
Viết bất đẳng thức lại thành $\left( {2 – b – c} \right)a + 2\left( {b + c} \right) – bc – 4 \le 0.$
Xét hàm số bậc nhất: $f\left( a \right) = \left( {2 – b – c} \right)a + 2\left( {b + c} \right) – bc – 4$ với ẩn $a \in \left[ {0;2} \right].$
Ta có: $f\left( 0 \right) = 2\left( {b + c} \right) – bc – 4$ $ = – \left( {2 – b} \right)\left( {2 – c} \right) \le 0.$
$f\left( 2 \right) = \left( {2 – b – c} \right)2$ $ + 2\left( {b + c} \right) – bc – 4$ $ = – bc \le 0.$
Suy ra $f\left( a \right) \le max\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 2 \right)} \right\} \le 0.$
