Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ và đường tròn $\left( O \right)$. Trên $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $BE=2AE$, $F$ là trung điểm của $AC$ và $I$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AEIF$. Với mỗi điểm $P$ trên đường tròn $\left( O \right)$, ta dựng điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=6\overrightarrow{IQ}$. Tìm tập hợp điểm $Q$ khi $P$ thay đổi trên $\left( O \right).$
Gọi $K$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.
Khi đó: $\overrightarrow {KA} + 2\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AB} } \right)$ $ + 3\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .$
Mặt khác $AEIF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$ $=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên $K\equiv I$.
Từ giả thiết suy ra $6\overrightarrow{PK}+\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)=6\overrightarrow{IQ}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{IQ}$, hay $\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{IQ}$.
Vậy ${{Đ}_{I}}\left( P \right)=Q$ mà $P$ di động trên đường tròn $\left( O \right)$ nên $Q$ di động trên đường tròn $\left( O’ \right)$, ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Ví dụ 7. Cho đường tròn $\left( O \right)$ và dây cung $AB$ cố định, $M$ là một điểm di động trên $\left( O \right)$, $M$ không trùng với $A,B$. Hai đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right),\left( {{O}_{2}} \right)$ cùng đi qua $M$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$ và $B$. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai của $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$. Tìm tập hợp điểm $N$ khi $M$ di động.
Gọi $I=MN\cap AB$, ta có $I{{A}^{2}}=IM.IN.$
Tương tự $I{{B}^{2}}=IM.IN.$
Suy ra $IA=IB$ nên $I$ là trung điểm của $AB$.
Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của $MN$ với đường tròn $\left( O \right)$.
Dễ thấy ${{P}_{I/\left( O \right)}}=-IM.IP$ $=-IA.IB=-I{{A}^{2}}.$
Do đó $-IM.IN=-IM.IP$ $\Rightarrow IN=IP$ vậy $I$ là trung điểm của $NP$ do đó ${{Đ}_{I}}\left( P \right)=N$, mà $P$ di động trên đường tròn $\left( O \right)$ nên $N$ di động trên đường tròn $\left( O’ \right)$ ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Vậy tập hợp điểm $N$ là đường tròn $\left( O’ \right)$ ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Gọi $K$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.
Khi đó: $\overrightarrow {KA} + 2\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AB} } \right)$ $ + 3\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .$
Mặt khác $AEIF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$ $=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên $K\equiv I$.
Từ giả thiết suy ra $6\overrightarrow{PK}+\left( \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC} \right)=6\overrightarrow{IQ}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{PK}=\overrightarrow{IQ}$, hay $\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{IQ}$.
Vậy ${{Đ}_{I}}\left( P \right)=Q$ mà $P$ di động trên đường tròn $\left( O \right)$ nên $Q$ di động trên đường tròn $\left( O’ \right)$, ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Ví dụ 7. Cho đường tròn $\left( O \right)$ và dây cung $AB$ cố định, $M$ là một điểm di động trên $\left( O \right)$, $M$ không trùng với $A,B$. Hai đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right),\left( {{O}_{2}} \right)$ cùng đi qua $M$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$ và $B$. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai của $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$. Tìm tập hợp điểm $N$ khi $M$ di động.
Gọi $I=MN\cap AB$, ta có $I{{A}^{2}}=IM.IN.$
Tương tự $I{{B}^{2}}=IM.IN.$
Suy ra $IA=IB$ nên $I$ là trung điểm của $AB$.
Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của $MN$ với đường tròn $\left( O \right)$.
Dễ thấy ${{P}_{I/\left( O \right)}}=-IM.IP$ $=-IA.IB=-I{{A}^{2}}.$
Do đó $-IM.IN=-IM.IP$ $\Rightarrow IN=IP$ vậy $I$ là trung điểm của $NP$ do đó ${{Đ}_{I}}\left( P \right)=N$, mà $P$ di động trên đường tròn $\left( O \right)$ nên $N$ di động trên đường tròn $\left( O’ \right)$ ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
Vậy tập hợp điểm $N$ là đường tròn $\left( O’ \right)$ ảnh của đường tròn $\left( O \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.
