Ví dụ 8. Trên cạnh $AB$ của tam giác $ABC$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=MN=NB$, các điểm $E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $CB,CA$, gọi $P$ là giao điểm của $BF$ và $CN$, $Q$ là giao điểm của $AE$ với $CM$. Chứng minh $PQ//AB$.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
Ta có $MF$ là đường trung bình của tam giác $ACN$ nên $MF\parallel CN$, mặt khác $N$ là trung điểm của $MB$ nên $P$ là trung điểm của $BF$.
Ta có: $\overrightarrow {GP} = \overrightarrow {BP} – \overrightarrow {BG} $ $ = \frac{1}{2}\overrightarrow {BF} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BF} $ $ = – \frac{1}{6}\overrightarrow {BF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {GB} .$
Tương tự $\overrightarrow {GQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {GA} .$
Vậy ${{V}_{\left( G;\frac{1}{4} \right)}}\left( B \right)=P$ và ${{V}_{\left( G;\frac{1}{4} \right)}}\left( A \right)=Q$ suy ra $PQ//AB$.
Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$. Gọi $I,J,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,IJ$. Đường tròn $\left( O \right)$ ngoại tiếp tam giác $AIJ$ cắt $AO$ tại $D$. Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $BC$. Chứng minh $A,M,E$ thẳng hàng.
Xét phép vị tự ${V_{\left( {A;2} \right)}}$, ta có: $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AI} $, $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AJ} $ nên ${V_{\left( {A;2} \right)}}\left( I \right) = B$, ${V_{\left( {A;2} \right)}}\left( J \right) = C$, do đó ${V_{\left( {A;2} \right)}}$ biến tam giác $AIJ$ thành tam giác $ABC$, suy ra phép vị tự này biến đường tròn $\left( O \right)$ thành đường tròn $\left( O’ \right)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} $ $ \Rightarrow {V_{\left( {A;2} \right)}}\left( O \right) = D$ $ \Rightarrow O’ \equiv D$ hay $D$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Giả sử ${V_{\left( {A;2} \right)}}\left( M \right) = M’$ khi đó $OM \bot IJ$ $ \Rightarrow DM’ \bot BC$ $ \Rightarrow M’ \equiv E.$
Vậy ${{V}_{\left( A;2 \right)}}\left( M \right)=E$ nên $A,M,E$ thẳng hàng.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
Ta có $MF$ là đường trung bình của tam giác $ACN$ nên $MF\parallel CN$, mặt khác $N$ là trung điểm của $MB$ nên $P$ là trung điểm của $BF$.
Ta có: $\overrightarrow {GP} = \overrightarrow {BP} – \overrightarrow {BG} $ $ = \frac{1}{2}\overrightarrow {BF} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BF} $ $ = – \frac{1}{6}\overrightarrow {BF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {GB} .$
Tương tự $\overrightarrow {GQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow {GA} .$
Vậy ${{V}_{\left( G;\frac{1}{4} \right)}}\left( B \right)=P$ và ${{V}_{\left( G;\frac{1}{4} \right)}}\left( A \right)=Q$ suy ra $PQ//AB$.
Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$. Gọi $I,J,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,IJ$. Đường tròn $\left( O \right)$ ngoại tiếp tam giác $AIJ$ cắt $AO$ tại $D$. Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $BC$. Chứng minh $A,M,E$ thẳng hàng.
Xét phép vị tự ${V_{\left( {A;2} \right)}}$, ta có: $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AI} $, $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AJ} $ nên ${V_{\left( {A;2} \right)}}\left( I \right) = B$, ${V_{\left( {A;2} \right)}}\left( J \right) = C$, do đó ${V_{\left( {A;2} \right)}}$ biến tam giác $AIJ$ thành tam giác $ABC$, suy ra phép vị tự này biến đường tròn $\left( O \right)$ thành đường tròn $\left( O’ \right)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} $ $ \Rightarrow {V_{\left( {A;2} \right)}}\left( O \right) = D$ $ \Rightarrow O’ \equiv D$ hay $D$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Giả sử ${V_{\left( {A;2} \right)}}\left( M \right) = M’$ khi đó $OM \bot IJ$ $ \Rightarrow DM’ \bot BC$ $ \Rightarrow M’ \equiv E.$
Vậy ${{V}_{\left( A;2 \right)}}\left( M \right)=E$ nên $A,M,E$ thẳng hàng.