Khi giải dạng toán này, ta cần lưu ý: Với $S \subset {D_f}$ ($D_f$ là tập xác định của hàm số $f(x)$) thì:
+ ${\rm{ }}f\left( x \right) \le m,\forall x \in S$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_S f\left( x \right) \le m$
+ $f\left( x \right) \ge m,\forall x \in S$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_S f\left( x \right) \ge m$
+ $\exists {x_0} \in S,f\left( {{x_0}} \right) \le m$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_S f\left( x \right) \le m$
+ $\exists {x_0} \in S,f\left( {{x_0}} \right) \ge m$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_S f\left( x \right) \ge m$
Ví dụ 4: Cho hàm số $h\left( x \right) $ $= \sqrt {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 2m\sin x.\cos x} $. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số xác định với mọi số thực $x$ (trên toàn trục số).
Xét hàm số $g\left( x \right) $ $= {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} – m\sin 2x$
$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2}$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – m\sin 2x$
$ = 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x – m\sin 2x .$
Đặt $t = \sin 2x$ $ \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right]$.
Hàm số $h\left( x \right)$ xác định với mọi $x \in R$ $ \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{2}{t^2} – mt + 1 \ge 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 2mt – 2 \le 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right].$
Đặt $f\left( t \right) = {t^2} + 2mt – 2$ trên $\left[ { – 1;1} \right].$
Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị dưới đây:
Ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right)$ hoặc $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { – 1} \right).$
Do đó: $f\left( t \right) = {t^2} + 2mt – 2 \le 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) \le 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) \le 0\\
f\left( { – 1} \right) \le 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
– 1 + 2m \le 0\\
– 1 – 2m \le 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{2} \le m \le \frac{1}{2}.$
Ví dụ 5: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{{3x}}{{\sqrt {2{{\sin }^2}x – m\sin x + 1} }}$ xác định trên $R.$
Hàm số xác định trên $R$ khi và chỉ khi $2{\sin ^2}x – m\sin x + 1 > 0$ $\forall x \in R.$
Đặt $t = \sin x$ $ \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right].$ Lúc này ta đi tìm điều kiện của $m$ để $f\left( t \right) = 2{t^2} – mt + 1 > 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right].$
Ta có ${\Delta _t} = {m^2} – 8.$
+ Trường hợp 1: ${\Delta _t} < 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8 < 0$ $ \Leftrightarrow – 2\sqrt 2 < m < 2\sqrt 2 .$ Khi đó $f\left( t \right) > 0$ $\forall t$ (thỏa mãn).
+ Trường hợp 2: ${\Delta _t} = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = – 2\sqrt 2 \\
m = 2\sqrt 2
\end{array} \right.$ (thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn).
+ Trường hợp 3: ${\Delta _t} > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < – 2\sqrt 2 \\
m > 2\sqrt 2
\end{array} \right.$ khi đó tam thức $f\left( t \right) = 2{t^2} – mt + 1$ có hai nghiệm phân biệt ${t_1}; {t_2} \left( {{t_1} < {t_2}} \right).$
Để $f\left( t \right) > 0,\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]$ thì: $\left[ \begin{array}{l}
{t_1} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{m – \sqrt {{m^2} – 8} }}{4} \ge 1\\
{t_2} \le – 1 \Leftrightarrow \frac{{m + \sqrt {{m^2} – 8} }}{4} \le – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {{m^2} – 8} \ge m – 4\left( {VN} \right)\\
\sqrt {{m^2} – 8} \le – m – 4\left( {VN} \right)
\end{array} \right.$
Vậy $m \in \left( { – 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ ${\rm{ }}f\left( x \right) \le m,\forall x \in S$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_S f\left( x \right) \le m$
+ $f\left( x \right) \ge m,\forall x \in S$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_S f\left( x \right) \ge m$
+ $\exists {x_0} \in S,f\left( {{x_0}} \right) \le m$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_S f\left( x \right) \le m$
+ $\exists {x_0} \in S,f\left( {{x_0}} \right) \ge m$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_S f\left( x \right) \ge m$
Ví dụ 4: Cho hàm số $h\left( x \right) $ $= \sqrt {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 2m\sin x.\cos x} $. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số xác định với mọi số thực $x$ (trên toàn trục số).
Xét hàm số $g\left( x \right) $ $= {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} – m\sin 2x$
$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2}$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – m\sin 2x$
$ = 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x – m\sin 2x .$
Đặt $t = \sin 2x$ $ \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right]$.
Hàm số $h\left( x \right)$ xác định với mọi $x \in R$ $ \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{2}{t^2} – mt + 1 \ge 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 2mt – 2 \le 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right].$
Đặt $f\left( t \right) = {t^2} + 2mt – 2$ trên $\left[ { – 1;1} \right].$
Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị dưới đây:
Ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right)$ hoặc $\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { – 1} \right).$
Do đó: $f\left( t \right) = {t^2} + 2mt – 2 \le 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) \le 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) \le 0\\
f\left( { – 1} \right) \le 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
– 1 + 2m \le 0\\
– 1 – 2m \le 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{2} \le m \le \frac{1}{2}.$
Ví dụ 5: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{{3x}}{{\sqrt {2{{\sin }^2}x – m\sin x + 1} }}$ xác định trên $R.$
Hàm số xác định trên $R$ khi và chỉ khi $2{\sin ^2}x – m\sin x + 1 > 0$ $\forall x \in R.$
Đặt $t = \sin x$ $ \Rightarrow t \in \left[ { – 1;1} \right].$ Lúc này ta đi tìm điều kiện của $m$ để $f\left( t \right) = 2{t^2} – mt + 1 > 0$ $\forall t \in \left[ { – 1;1} \right].$
Ta có ${\Delta _t} = {m^2} – 8.$
+ Trường hợp 1: ${\Delta _t} < 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8 < 0$ $ \Leftrightarrow – 2\sqrt 2 < m < 2\sqrt 2 .$ Khi đó $f\left( t \right) > 0$ $\forall t$ (thỏa mãn).
+ Trường hợp 2: ${\Delta _t} = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = – 2\sqrt 2 \\
m = 2\sqrt 2
\end{array} \right.$ (thử lại thì cả hai trường hợp đều không thỏa mãn).
+ Trường hợp 3: ${\Delta _t} > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < – 2\sqrt 2 \\
m > 2\sqrt 2
\end{array} \right.$ khi đó tam thức $f\left( t \right) = 2{t^2} – mt + 1$ có hai nghiệm phân biệt ${t_1}; {t_2} \left( {{t_1} < {t_2}} \right).$
Để $f\left( t \right) > 0,\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]$ thì: $\left[ \begin{array}{l}
{t_1} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{m – \sqrt {{m^2} – 8} }}{4} \ge 1\\
{t_2} \le – 1 \Leftrightarrow \frac{{m + \sqrt {{m^2} – 8} }}{4} \le – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {{m^2} – 8} \ge m – 4\left( {VN} \right)\\
\sqrt {{m^2} – 8} \le – m – 4\left( {VN} \right)
\end{array} \right.$
Vậy $m \in \left( { – 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
