Phương pháp: Để dựng một điểm $M$ ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng trục, hoặc xem $M$ như là giao điểm của một đường cố định và một với ảnh của một đường đã biết qua phép đối xứng trục.
Ví dụ 3. Dựng hình vuông $ABCD$ biết hai đỉnh $A$ và $C$ nằm trên đường thẳng ${{d}_{1}}$ và hai đỉnh $B, D$ lần lượt thuộc hai đường thẳng ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình vuông $ABCD$ thỏa điều kiện của bài toán.
Do $A,C \in {d_1}$ và $AC$ là trục đối xứng của hình vuông $ABCD$, mặc khác $B \in {d_2}$ nên $D \in {d_2}’$, trong đó ${d_2}’$ là đường thẳng đối xứng với ${d_2}$ qua ${d_1}.$ Suy ra: $D = {d_2}’ \cap {d_3}.$
Hai điểm $B,D$ đối xứng qua đường thẳng ${d_1}$ nên ${Đ_{{d_1}}}\left( D \right) = B.$
Cách dựng:
+ Dựng ${d_2}’ = {Đ_{{d_1}}}\left( {{d_2}} \right)$, gọi $D = {d_3} \cap {d_2}’.$
+ Dựng đường thẳng qua $D$ vuông góc với ${d_1}$ tại $O$ và cắt ${d_2}$ tại $B.$
+ Dựng đường tròn tâm $O$ đường kính $BD$ cắt ${d_1}$ tại $A,C$ ($A,C$ theo thứ tự để tạo thành tứ giác $ABCD$).
Chứng minh: Từ cách dựng suy ra $ABCD$ là hình vuông.
Nhận xét:
Trường hợp 1: ${d_2}$ cắt ${d_3}$, khi đó:
+ Nếu ${d_2}’ \cap {d_3}$ thì bài toán có một nghiệm hình.
+ Nếu ${d_2}’\parallel {d_3}$ thì bài toán vô nghiệm hình.
Trường hợp 2: ${d_2}\parallel {d_3}$, khi đó:
+ Nếu ${{d}_{1}}$ song song và cách đều ${{d}_{2}}$ và ${{d}_{3}}$ thì bài toán có vô số nghiệm hình.
+ Nếu ${{d}_{1}}$ hợp với ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ một góc $45{}^\circ $ thì bài toán có một nghiệm hình.
+ Nếu ${{d}_{1}}$ song song và không cách đều ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ hoặc ${{d}_{1}}$ không hợp ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ một góc $45{}^\circ $ thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.
Ví dụ 4. Cho hai đường tròn $\left( C \right),\left( C’ \right)$ có bán kính khác nhau và đường thẳng $d$. Hãy dựng hình vuông $ABCD$ có hai đỉnh $A,C$ lần lượt nằm trên $\left( C \right),\left( C’ \right)$ và hai đỉnh còn lại nằm trên $d$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình vuông $ABCD$.
Ta thấy hai đỉnh $B,D \in d$ nên hình vuông hoàn toàn xác định khi biết $C$.
Ta có $A,C$ đối xứng qua $d$ nên $C$ thuộc đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua ${Đ_d}.$
Mặt khác $C \in \left( {C’} \right)$ $ \Rightarrow C \in \left( {{C_1}} \right) \cap \left( {C’} \right).$
Cách dựng:
+ Dựng đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ là ảnh của $\left( C \right)$ qua ${Đ_d}.$
+ Gọi $C$ là giao điểm của $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {C’} \right).$
+ Dựng điểm $A$ đối xứng với $C$ qua $d.$
+ Gọi $I = AC \cap d.$ Lấy trên $d$ hai điểm $BD$ sao cho $IB = ID = IA.$
Khi đó $ABCD$ là hình vuông cần dựng.
Chứng minh:
Dễ thấy $ABCD$ là hình vuông có $B,D \in d$, $C \in \left( {C’} \right).$
Mặt khác $A,C$ đối xứng qua $d$ mà $C \in \left( {C’} \right)$ $ \Rightarrow A \in {Đ_d}\left[ {\left( {C’} \right)} \right] = \left( C \right)$ hay $A$ thuộc $\left( C \right).$
Nhận xét: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( C’ \right)$.
Ví dụ 3. Dựng hình vuông $ABCD$ biết hai đỉnh $A$ và $C$ nằm trên đường thẳng ${{d}_{1}}$ và hai đỉnh $B, D$ lần lượt thuộc hai đường thẳng ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình vuông $ABCD$ thỏa điều kiện của bài toán.
Do $A,C \in {d_1}$ và $AC$ là trục đối xứng của hình vuông $ABCD$, mặc khác $B \in {d_2}$ nên $D \in {d_2}’$, trong đó ${d_2}’$ là đường thẳng đối xứng với ${d_2}$ qua ${d_1}.$ Suy ra: $D = {d_2}’ \cap {d_3}.$
Hai điểm $B,D$ đối xứng qua đường thẳng ${d_1}$ nên ${Đ_{{d_1}}}\left( D \right) = B.$
Cách dựng:
+ Dựng ${d_2}’ = {Đ_{{d_1}}}\left( {{d_2}} \right)$, gọi $D = {d_3} \cap {d_2}’.$
+ Dựng đường thẳng qua $D$ vuông góc với ${d_1}$ tại $O$ và cắt ${d_2}$ tại $B.$
+ Dựng đường tròn tâm $O$ đường kính $BD$ cắt ${d_1}$ tại $A,C$ ($A,C$ theo thứ tự để tạo thành tứ giác $ABCD$).
Chứng minh: Từ cách dựng suy ra $ABCD$ là hình vuông.
Nhận xét:
Trường hợp 1: ${d_2}$ cắt ${d_3}$, khi đó:
+ Nếu ${d_2}’ \cap {d_3}$ thì bài toán có một nghiệm hình.
+ Nếu ${d_2}’\parallel {d_3}$ thì bài toán vô nghiệm hình.
Trường hợp 2: ${d_2}\parallel {d_3}$, khi đó:
+ Nếu ${{d}_{1}}$ song song và cách đều ${{d}_{2}}$ và ${{d}_{3}}$ thì bài toán có vô số nghiệm hình.
+ Nếu ${{d}_{1}}$ hợp với ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ một góc $45{}^\circ $ thì bài toán có một nghiệm hình.
+ Nếu ${{d}_{1}}$ song song và không cách đều ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ hoặc ${{d}_{1}}$ không hợp ${{d}_{2}},{{d}_{3}}$ một góc $45{}^\circ $ thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình.
Ví dụ 4. Cho hai đường tròn $\left( C \right),\left( C’ \right)$ có bán kính khác nhau và đường thẳng $d$. Hãy dựng hình vuông $ABCD$ có hai đỉnh $A,C$ lần lượt nằm trên $\left( C \right),\left( C’ \right)$ và hai đỉnh còn lại nằm trên $d$.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình vuông $ABCD$.
Ta thấy hai đỉnh $B,D \in d$ nên hình vuông hoàn toàn xác định khi biết $C$.
Ta có $A,C$ đối xứng qua $d$ nên $C$ thuộc đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua ${Đ_d}.$
Mặt khác $C \in \left( {C’} \right)$ $ \Rightarrow C \in \left( {{C_1}} \right) \cap \left( {C’} \right).$
Cách dựng:
+ Dựng đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ là ảnh của $\left( C \right)$ qua ${Đ_d}.$
+ Gọi $C$ là giao điểm của $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {C’} \right).$
+ Dựng điểm $A$ đối xứng với $C$ qua $d.$
+ Gọi $I = AC \cap d.$ Lấy trên $d$ hai điểm $BD$ sao cho $IB = ID = IA.$
Khi đó $ABCD$ là hình vuông cần dựng.
Chứng minh:
Dễ thấy $ABCD$ là hình vuông có $B,D \in d$, $C \in \left( {C’} \right).$
Mặt khác $A,C$ đối xứng qua $d$ mà $C \in \left( {C’} \right)$ $ \Rightarrow A \in {Đ_d}\left[ {\left( {C’} \right)} \right] = \left( C \right)$ hay $A$ thuộc $\left( C \right).$
Nhận xét: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( C’ \right)$.
