Nhằm giúp học sinh luyện thi đại học tốt phần lượng giác, trong buổi hôm nay chúng tôi giới thiệu với các em phương pháp: Dùng phương pháp khảo sát hàm số
I. Phương pháp
Phương pháp này ta dùng tính chất biến thiên ( đồng biến hay nghịch biến) và cực trị của hàm số để tìm nghiệm của phương trình. Để hiểu rõ hơn về vấn đề này ta xét một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Giải phương trình: $1 - \frac{{{x^2}}}{2}\,\, = \,\,\cos x\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\,0\, \le \,x\,\, \le \,\frac{\pi }{2}$
Xét hàm số f(x) = 1 – 0,5x$^2$ - cos(x) → f’(x) = - x + sin(x)
→ f”(x) = - 1 + cos(x) ≤ 0 trong đó ∀x ∈ [0; π/2]
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra f(x) ≤ 0 với ∀x ∈ [0; π/2]
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0
Ví dụ 2: Giải phương trình: $1\, = \,\,{\sin ^2}x.\,{2^{\cos 2x}}\,\, + \,\,\frac{1}{2}\,\,{\sin ^2}2x\,\, + \,\,\cos 2x$ (2)
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (1 - \cos 2x)(\,\,{2^{\cos 2x}}\,\, + (1 - {\cos ^2}2x)\,\, - 2\,(1 - \cos 2x)\,\, = \,0\\ \Leftrightarrow (1 - \cos 2x)\left[ {\,{2^{\cos 2x}} + \,\,(1 + \cos 2x)\,\, - 2} \right]\,\, = \,\,0\\ \Leftrightarrow (1 - \cos 2x)({2^{\cos 2x}}\,\, + \,\cos 2x\,\, - \,\,1)\,\, = \,0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - \cos 2x\, = \,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
\,{2^{\cos 2x}}\,\, + \,\cos 2x\,\, - \,\,1\,\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.
\end{array}$
Ta có: (2) $ \Leftrightarrow \,\,\cos 2x\,\, = \,1\, \Leftrightarrow \,2x\, = \,\,k2\pi \,\, \Leftrightarrow \,\,x = \,\,k\pi \,\,\,\,\,\left( {k\,\, \in \,Z} \right)$ (4)
Đặt cos(2x) = t với |t| ≤ 1phương trình (3) trở thành f(t) = 2$^t$ + t – 1 = 0
Rõ ràng f(t) là 1 hàm số đồng biến trên R. Lại có f(0) = 0 → t = 0 là nghiệm duy nhất của (3) trên [-1;1]
Với t = 0 ta suy ra $\cos 2x\, = \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,2x = \,\,\frac{\pi }{2}\,\, + k\pi \,\, \Leftrightarrow \,\,x = \frac{\pi }{4}\,\, + \,\,k\frac{\pi }{2}\,\,\,(k\, \in \,\,Z\,\,)\,\,\,\,\,\,(5)$
Từ (4) và (5) suy ra phương trình đã cho có hai tập nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình :
$\log {}_{2 + \sin x}(4 + \sin x)\,\, = \,\log \,{}_35\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
$(1)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{\log {}_5(4 + \sin x)}}{{\log {}_5(2 + \sin x)}}\,\, = \,\,\log {}_35\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\log {}_5(4 + \sin x)\,\, = \,\log {}_35.\log {}_5(2 + \sin x)$ $ \Leftrightarrow \log {}_5\left( {4\, + \,\,\sin x} \right)\,\, = \,\,\log {}_3(2 + \,\,\sin x)$
Đặt $\log {}_5\left( {4\, + \,\,\sin x} \right)\,\, = \,\,\log {}_3(2 + \,\,\sin x)\,\,\, = \,\,t$
Lúc đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
2 + \sin x = {3^t}\\
4 + \sin x = {5^t}
\end{array} \right.$ (2)
$ \Rightarrow \,2\,\, = \,\,{5^t}\,\, - \,{3^t}\,\, \Leftrightarrow \,\,2{(\frac{1}{5})^t}\,\, + {(\frac{3}{5})^t}\,\, = \,\,1\,\,\,\,\,\,\,(3)$
Xét hàm số $f(t)\,\, = \,\,2{(\frac{1}{5})^t}\, + {(\frac{3}{5})^t}\,$.
Ta thấy rằng f(t) là hàm nghịch biến trên R và f(1) = 0 → t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
Với t = 1 thế vào (2) ta có $\sin x\, = \,1\,\, \Leftrightarrow \,\,x\, = \,\,\frac{\pi }{2}\,\, + \,\,k2\pi \,\,\,\,\,(k\,\, \in \,\,Z)$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm duy nhất .
Nhận xét: Phương trình f(x) = m trong đó f(x) là một hàm đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên miền xác định của phương trình , nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Phương trình f(x) = g(x) trong đó trên miền xác định của phương trình, 2 hàm số f(x) và g(x) có tính đồng biến và nghịch biến trái ngược nhau ,nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Ví dụ 4: Giải phương trình : ${\sin ^n}x\, + \,\,{\cos ^n}x\,\, = {2^{\frac{{2 - n}}{n}}}\,\,$ với 0 ≤ x ≤ π/2, n > 0
Ta có $f(x)'\,\, = \,n\,\,{\sin ^{n - 1}}x.\,\,\cos x\,\, - n\,\sin x.\,\,{\cos ^{n - 1}}x\,\, = \,\,n\sin x.\cos x({\sin ^{n - 2}}x - \,\,{\cos ^{n - 2}}x)$
$f(x)'\,\, = \,\,0\,\, \Leftrightarrow \,\,{\sin ^{n - 2}}x - \,\,{\cos ^{n - 2}}x\,\, = \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,x = \,\,\frac{\pi }{4}$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên $ \Rightarrow \,\,\,f(x)\,\, \ge \,\,f(\frac{\pi }{4})\,\, = \,{2^{\frac{{2 - n}}{2}}}$
Từ đó ta có $f(x)\,\, = \,\,{2^{\frac{{2 - n}}{2}}}\,\, \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{4} \in \,\,\left[ {\,\,0;\,\,\,\frac{\pi }{2}\,} \right]$
Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất là: x = π/4
Nhận xét: Với phương pháp khảo sát hàm số ta thường áp dụng để chứng minh nghiệm duy nhất hoặc ta có thể nhẩm nghiệm hoặc là dựa vào bảng biến thiên để suy ra nghiệm của phương trình. Do vậy đòi hỏi học sinh cần tinh ý xem bài toán nào nên áp dụng phương pháp này. Đặc biệt phương pháp này thường được áp dụng để tìm nghiệm PTLG dạng đại số.
I. Phương pháp
Phương pháp này ta dùng tính chất biến thiên ( đồng biến hay nghịch biến) và cực trị của hàm số để tìm nghiệm của phương trình. Để hiểu rõ hơn về vấn đề này ta xét một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Giải phương trình: $1 - \frac{{{x^2}}}{2}\,\, = \,\,\cos x\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\,0\, \le \,x\,\, \le \,\frac{\pi }{2}$
Giải
Phương trình đã cho tương đương với $1 - \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x\,\, = 0$Xét hàm số f(x) = 1 – 0,5x$^2$ - cos(x) → f’(x) = - x + sin(x)
→ f”(x) = - 1 + cos(x) ≤ 0 trong đó ∀x ∈ [0; π/2]
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra f(x) ≤ 0 với ∀x ∈ [0; π/2]
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0
Ví dụ 2: Giải phương trình: $1\, = \,\,{\sin ^2}x.\,{2^{\cos 2x}}\,\, + \,\,\frac{1}{2}\,\,{\sin ^2}2x\,\, + \,\,\cos 2x$ (2)
Giải
Ta có : ⇔ $\,\,2{\sin ^2}x.\,{2^{\cos 2x}}\,\, + \,\,\,{\sin ^2}2x\,\, - 2(1 - \,\cos 2x) = 2$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (1 - \cos 2x)(\,\,{2^{\cos 2x}}\,\, + (1 - {\cos ^2}2x)\,\, - 2\,(1 - \cos 2x)\,\, = \,0\\ \Leftrightarrow (1 - \cos 2x)\left[ {\,{2^{\cos 2x}} + \,\,(1 + \cos 2x)\,\, - 2} \right]\,\, = \,\,0\\ \Leftrightarrow (1 - \cos 2x)({2^{\cos 2x}}\,\, + \,\cos 2x\,\, - \,\,1)\,\, = \,0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - \cos 2x\, = \,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
\,{2^{\cos 2x}}\,\, + \,\cos 2x\,\, - \,\,1\,\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.
\end{array}$
Ta có: (2) $ \Leftrightarrow \,\,\cos 2x\,\, = \,1\, \Leftrightarrow \,2x\, = \,\,k2\pi \,\, \Leftrightarrow \,\,x = \,\,k\pi \,\,\,\,\,\left( {k\,\, \in \,Z} \right)$ (4)
Đặt cos(2x) = t với |t| ≤ 1phương trình (3) trở thành f(t) = 2$^t$ + t – 1 = 0
Rõ ràng f(t) là 1 hàm số đồng biến trên R. Lại có f(0) = 0 → t = 0 là nghiệm duy nhất của (3) trên [-1;1]
Với t = 0 ta suy ra $\cos 2x\, = \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,2x = \,\,\frac{\pi }{2}\,\, + k\pi \,\, \Leftrightarrow \,\,x = \frac{\pi }{4}\,\, + \,\,k\frac{\pi }{2}\,\,\,(k\, \in \,\,Z\,\,)\,\,\,\,\,\,(5)$
Từ (4) và (5) suy ra phương trình đã cho có hai tập nghiệm
Ví dụ 3: Giải phương trình :
$\log {}_{2 + \sin x}(4 + \sin x)\,\, = \,\log \,{}_35\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Giải
Ta có:$(1)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{\log {}_5(4 + \sin x)}}{{\log {}_5(2 + \sin x)}}\,\, = \,\,\log {}_35\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\log {}_5(4 + \sin x)\,\, = \,\log {}_35.\log {}_5(2 + \sin x)$ $ \Leftrightarrow \log {}_5\left( {4\, + \,\,\sin x} \right)\,\, = \,\,\log {}_3(2 + \,\,\sin x)$
Đặt $\log {}_5\left( {4\, + \,\,\sin x} \right)\,\, = \,\,\log {}_3(2 + \,\,\sin x)\,\,\, = \,\,t$
Lúc đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
2 + \sin x = {3^t}\\
4 + \sin x = {5^t}
\end{array} \right.$ (2)
$ \Rightarrow \,2\,\, = \,\,{5^t}\,\, - \,{3^t}\,\, \Leftrightarrow \,\,2{(\frac{1}{5})^t}\,\, + {(\frac{3}{5})^t}\,\, = \,\,1\,\,\,\,\,\,\,(3)$
Xét hàm số $f(t)\,\, = \,\,2{(\frac{1}{5})^t}\, + {(\frac{3}{5})^t}\,$.
Ta thấy rằng f(t) là hàm nghịch biến trên R và f(1) = 0 → t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
Với t = 1 thế vào (2) ta có $\sin x\, = \,1\,\, \Leftrightarrow \,\,x\, = \,\,\frac{\pi }{2}\,\, + \,\,k2\pi \,\,\,\,\,(k\,\, \in \,\,Z)$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm duy nhất .
Nhận xét: Phương trình f(x) = m trong đó f(x) là một hàm đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên miền xác định của phương trình , nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Phương trình f(x) = g(x) trong đó trên miền xác định của phương trình, 2 hàm số f(x) và g(x) có tính đồng biến và nghịch biến trái ngược nhau ,nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Ví dụ 4: Giải phương trình : ${\sin ^n}x\, + \,\,{\cos ^n}x\,\, = {2^{\frac{{2 - n}}{n}}}\,\,$ với 0 ≤ x ≤ π/2, n > 0
Giải
Xét hàm số $f(x) = {\sin ^n}x\, + \,\,{\cos ^n}x\,\, = {2^{\frac{{2 - n}}{n}}}\,\,$ với 0 ≤ x ≤ π/2, n > 0Ta có $f(x)'\,\, = \,n\,\,{\sin ^{n - 1}}x.\,\,\cos x\,\, - n\,\sin x.\,\,{\cos ^{n - 1}}x\,\, = \,\,n\sin x.\cos x({\sin ^{n - 2}}x - \,\,{\cos ^{n - 2}}x)$
$f(x)'\,\, = \,\,0\,\, \Leftrightarrow \,\,{\sin ^{n - 2}}x - \,\,{\cos ^{n - 2}}x\,\, = \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,x = \,\,\frac{\pi }{4}$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên $ \Rightarrow \,\,\,f(x)\,\, \ge \,\,f(\frac{\pi }{4})\,\, = \,{2^{\frac{{2 - n}}{2}}}$
Từ đó ta có $f(x)\,\, = \,\,{2^{\frac{{2 - n}}{2}}}\,\, \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{4} \in \,\,\left[ {\,\,0;\,\,\,\frac{\pi }{2}\,} \right]$
Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất là: x = π/4
Nhận xét: Với phương pháp khảo sát hàm số ta thường áp dụng để chứng minh nghiệm duy nhất hoặc ta có thể nhẩm nghiệm hoặc là dựa vào bảng biến thiên để suy ra nghiệm của phương trình. Do vậy đòi hỏi học sinh cần tinh ý xem bài toán nào nên áp dụng phương pháp này. Đặc biệt phương pháp này thường được áp dụng để tìm nghiệm PTLG dạng đại số.
