Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách, nhóm các số hạng hợp lý để tạo ra nhân tử chung và đưa phương trình lượng giác về dạng tích:
$A.B.C…. = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0\\
C = 0\\
……
\end{array} \right.$
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $1 + \sin x + \cos x$ $ + \sin 2x + \cos 2x = 0.$
b. $\left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)$ $ = \sin 2x – \sin x.$
c. $\cos 2x + 3\sin 2x$ $ + 5\sin x – 3\cos x = 3.$
d. $2\sin x\left( {1 + \cos 2x} \right) + \sin 2x$ $ = 1 + 2\cos x.$
e. $\sin 2x – \cos 2x$ $ + 3\sin x – \cos x – 1 = 0.$
f. $\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\cos x$ $ + 2\cos 2x – \sin x = 0.$
a. $PT \Leftrightarrow \sin x + \cos x$ $ + 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0.$
b. $PT \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)$ $ = \sin x\left( {2\cos x – 1} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0.$
c. $PT \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x + 6\sin x\cos x$ $ + 5\sin x – 3\cos x = 3$
$ \Leftrightarrow 3\cos x\left( {2\sin x – 1} \right)$ $ – \left( {2{{\sin }^2}x – 5\sin x + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {3\cos x – \sin x + 2} \right) = 0.$
d. $PT \Leftrightarrow 4\sin x{\cos ^2}x + 2\sin x\cos x$ $ = 1 + 2\cos x$ $ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x\cos x – 1} \right) = 0.$
e. $PT \Leftrightarrow 2\sin x\cos x$ $ – \left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + 3\sin x$ $ – \cos x – 1 = 0$
$ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)$ $ + 2{\sin ^2}x + 3\sin x – 2 = 0$
$ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)$ $ + \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\sin x + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\cos x + \sin x + 2} \right) = 0.$
f. $PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + \cos 2x\cos x$ $ + 2\cos 2x – \sin x = 0$
$ \Leftrightarrow \sin x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)$ $ + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \sin x\cos 2x$ $ + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin x + \cos x + 2} \right) = 0.$
Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.$
b. $\tan 2x + \cot x = 8{\cos ^2}x.$
c. $2\tan x + \cot x$ $ = \sqrt 3 + \frac{2}{{\sin 2x}}.$
d. $\cos 2x + \cos x\left( {2{{\tan }^2}x – 1} \right) = 2.$
e. $\frac{1}{{\tan x + \cot 2x}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\cot x – 1}}.$
f. $\cot x – 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}}$ $ + {\sin ^2}x – \frac{1}{2}\sin 2x.$
a. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right)$ $ = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = – 1\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.$
Giải và kết hợp với điều kiện thu được: $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ hay $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$ $(k∈Z).$
b. Điều kiện: $\cos 2x \ne 0$, $\sin x \ne 0.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 8{\cos ^2}x$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x\sin x + \cos 2x\cos x}}{{\cos 2x\sin x}}$ $ = 8{\cos ^2}x$
$ \Leftrightarrow \cos x\left( {1 – 8\cos x\cos 2x\sin x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\sin 4x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Đáp án: $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ hoặc $x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}$ hoặc $x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}$ $(k∈Z).$
c. Điều kiện: $\sin x \ne 0$, $\cos x \ne 0.$
$ \Leftrightarrow \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$ $ = \sqrt 3 + \frac{1}{{\sin x\cos x}}$ $ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x$ $ = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1$
$ \Leftrightarrow 1 + {\sin ^2}x = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1$ $ \Leftrightarrow \sin x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\left( {{\rm{loại}}} \right)\\
\sin x = \sqrt 3 \cos x
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 x = \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k∈Z).$
d. Điều kiện: $\cos x \ne 0.$
$ \Leftrightarrow \cos 2x + 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} – \cos x = 2$ $ \Leftrightarrow 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} + \cos 2x – 1$ $ = 1 + \cos x$
$ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x\left( {\frac{1}{{\cos x}} – 1} \right)$ $ = 1 + \cos x$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)$ $\left[ {2{{\left( {1 – \cos x} \right)}^2} – \cos x} \right] = 0.$
Đáp số: $x = \pi + k2\pi $, $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $ $(k∈Z).$
e. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x.\sin 2x.\sin x\left( {\tan x + \cot 2x} \right) \ne 0\\
\cot x \ne 1
\end{array} \right.$
$PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} – 1}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\cos x\sin 2x}}{{\cos x}} = \sqrt 2 \sin x$
$ \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 0.$
Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của phương trình là: $x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
f. Điều kiện: $\cos x \ne 0$, $\sin x \ne 0$, $\tan x \ne – 1.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x}}$ $ = \frac{{\cos x\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}$ $ + {\sin ^2}x – \sin x\cos x$
$ \Leftrightarrow \left( {\cos x – \sin x} \right)$ $\left( {\frac{1}{{\sin x}} – \cos x + \sin x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x – \sin x = 0\\
{\sin ^2}x – \sin x\cos x – 1 = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
2{\tan ^2}x – \tan x + 1 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k∈Z).$
Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x$ $ = 2\left( {{{\sin }^5}x + {{\cos }^5}x} \right).$
b. ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$ $ = 2\left( {{{\sin }^8}x + {{\cos }^8}x} \right).$
c. ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x$ $ = 2\left( {{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x} \right) + \frac{5}{4}\cos 2x.$
a. $PT \Leftrightarrow {\sin ^3}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ = {\cos ^3}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^3}x – {{\cos }^3}x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan x = 0
\end{array} \right.$
b. $PT \Leftrightarrow {\sin ^6}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ – {\cos ^6}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^6}x – {{\cos }^6}x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan x = \pm 1
\end{array} \right.$
c. $PT \Leftrightarrow {\sin ^8}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ + {\cos ^8}x\left( {1 – 2{{\cos }^2}x} \right)$ $ – \frac{5}{4}\cos 2x = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\cos }^8}x – {{\sin }^8}x + \frac{5}{4}} \right) = 0.$
Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $3 – \tan x\left( {\tan x + 2\sin x} \right)$ $ + 6\cos x = 0.$
b. $3\tan 3x + \cot 2x$ $ = 2\tan x + \frac{2}{{\sin 4x}}.$
c. $\sin 2x\left( {\cos x + 3} \right)$ $ – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 3\sqrt 3 \cos 2x$ $ + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right)$ $ – 3\sqrt 3 = 0.$
d. $8\sqrt 2 {\cos ^6}x + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x$ $ – 6\sqrt 2 {\cos ^4}x – 1 = 0.$
e. $3\left( {\cot x – \cos x} \right)$ $ – 5\left( {\tan x – \sin x} \right) = 2.$
a. Điều kiện: $\cos x \ne 0.$
$ \Leftrightarrow 3 – \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\left( {\frac{{\sin x + 2\sin x\cos x}}{{\cos x}}} \right)$ $ + 6\cos x = 0$
$ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)$ $ + 6{\cos ^3}x = 0$
$ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)$ $ – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + 2\cos x} \right)\left( {3{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right) = 0.$
Đáp số: $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
b. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\cos 3x \ne 0\\
\cos x \ne 0\\
\sin 4x \ne 0\\
\sin 2x \ne 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}$, $x \ne k\frac{\pi }{4}.$
$PT \Leftrightarrow 2\left( {\tan 3x – \tan x} \right)$ $ + \left( {\tan 3x + \cot 2x} \right) = \frac{2}{{\sin 4x}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{2\sin 2x}}{{\cos 3x\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\cos 3x\sin 2x}}$ $ = \frac{2}{{\sin 4x}}$
$ \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + 2\cos 2x\cos x$ $ = 2\cos 3x$ $ \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + \cos 3x + \cos x$ $ = 2\cos 3x$
$ \Leftrightarrow \sin 2x\sin x\left( {4\cos x + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{4}.$
c. $PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + 6\sin x\cos x$ $ – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 6\sqrt 3 {\cos ^2}x$ $ + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)$ $ + 6\cos x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)$ $ + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)$$\left( {2{{\cos }^2}x + 6\cos x – 8} \right) = 0.$
d. $PT \Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\cos ^3}x\left( {4{{\cos }^3}x – 3\cos x} \right)$ $ + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x – 1 = 0$
$ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {2\cos x\cos 3x} \right)$ $ + 2{\sin ^2}x\left( {2\sin x\sin 3x} \right) = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x + \cos 4x} \right)$ $ + \left( {1 – \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x – \cos 4x} \right) = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x + \cos 2x\cos 4x} \right)$ $ = \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos 2x{\cos ^2}2x = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$
$ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{8} + k\pi $ $(k∈Z).$
e. Điều kiện: $\sin x \ne 0$, $\cos x \ne 0.$
$PT \Leftrightarrow 3\left( {\cot x – \cos x + 1} \right)$ $ – 5\left( {\tan x – \sin x + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 3\left( {\frac{{\cos x – \sin x\cos x + \sin x}}{{\sin x}}} \right)$ $ – 5\left( {\frac{{\sin x – \sin x\cos x + \cos x}}{{\cos x}}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x – \sin x\cos x + \sin x = 0\\
\frac{3}{{\sin x}} = \frac{5}{{\cos x}}
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{t^2} – 2t – 1 = 0\\
\tan x = \frac{5}{3}
\end{array} \right.$ với ${t = \sin x + \cos x}$ ${ = \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)}.$
Đối chiếu với điều kiện thu được: $x = \frac{\pi }{4} \pm \arccos \frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi $, $x = \arctan \frac{3}{5} + k\pi $ $(k∈Z).$
$A.B.C…. = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0\\
C = 0\\
……
\end{array} \right.$
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $1 + \sin x + \cos x$ $ + \sin 2x + \cos 2x = 0.$
b. $\left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)$ $ = \sin 2x – \sin x.$
c. $\cos 2x + 3\sin 2x$ $ + 5\sin x – 3\cos x = 3.$
d. $2\sin x\left( {1 + \cos 2x} \right) + \sin 2x$ $ = 1 + 2\cos x.$
e. $\sin 2x – \cos 2x$ $ + 3\sin x – \cos x – 1 = 0.$
f. $\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\cos x$ $ + 2\cos 2x – \sin x = 0.$
a. $PT \Leftrightarrow \sin x + \cos x$ $ + 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0.$
b. $PT \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)$ $ = \sin x\left( {2\cos x – 1} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0.$
c. $PT \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x + 6\sin x\cos x$ $ + 5\sin x – 3\cos x = 3$
$ \Leftrightarrow 3\cos x\left( {2\sin x – 1} \right)$ $ – \left( {2{{\sin }^2}x – 5\sin x + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {3\cos x – \sin x + 2} \right) = 0.$
d. $PT \Leftrightarrow 4\sin x{\cos ^2}x + 2\sin x\cos x$ $ = 1 + 2\cos x$ $ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x\cos x – 1} \right) = 0.$
e. $PT \Leftrightarrow 2\sin x\cos x$ $ – \left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + 3\sin x$ $ – \cos x – 1 = 0$
$ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)$ $ + 2{\sin ^2}x + 3\sin x – 2 = 0$
$ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)$ $ + \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\sin x + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\cos x + \sin x + 2} \right) = 0.$
f. $PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + \cos 2x\cos x$ $ + 2\cos 2x – \sin x = 0$
$ \Leftrightarrow \sin x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)$ $ + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \sin x\cos 2x$ $ + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin x + \cos x + 2} \right) = 0.$
Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.$
b. $\tan 2x + \cot x = 8{\cos ^2}x.$
c. $2\tan x + \cot x$ $ = \sqrt 3 + \frac{2}{{\sin 2x}}.$
d. $\cos 2x + \cos x\left( {2{{\tan }^2}x – 1} \right) = 2.$
e. $\frac{1}{{\tan x + \cot 2x}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\cot x – 1}}.$
f. $\cot x – 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}}$ $ + {\sin ^2}x – \frac{1}{2}\sin 2x.$
a. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$
$PT \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right)$ $ = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = – 1\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.$
Giải và kết hợp với điều kiện thu được: $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ hay $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$ $(k∈Z).$
b. Điều kiện: $\cos 2x \ne 0$, $\sin x \ne 0.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 8{\cos ^2}x$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x\sin x + \cos 2x\cos x}}{{\cos 2x\sin x}}$ $ = 8{\cos ^2}x$
$ \Leftrightarrow \cos x\left( {1 – 8\cos x\cos 2x\sin x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\sin 4x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Đáp án: $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ hoặc $x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}$ hoặc $x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}$ $(k∈Z).$
c. Điều kiện: $\sin x \ne 0$, $\cos x \ne 0.$
$ \Leftrightarrow \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$ $ = \sqrt 3 + \frac{1}{{\sin x\cos x}}$ $ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x$ $ = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1$
$ \Leftrightarrow 1 + {\sin ^2}x = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1$ $ \Leftrightarrow \sin x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\left( {{\rm{loại}}} \right)\\
\sin x = \sqrt 3 \cos x
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 x = \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k∈Z).$
d. Điều kiện: $\cos x \ne 0.$
$ \Leftrightarrow \cos 2x + 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} – \cos x = 2$ $ \Leftrightarrow 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} + \cos 2x – 1$ $ = 1 + \cos x$
$ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x\left( {\frac{1}{{\cos x}} – 1} \right)$ $ = 1 + \cos x$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)$ $\left[ {2{{\left( {1 – \cos x} \right)}^2} – \cos x} \right] = 0.$
Đáp số: $x = \pi + k2\pi $, $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $ $(k∈Z).$
e. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x.\sin 2x.\sin x\left( {\tan x + \cot 2x} \right) \ne 0\\
\cot x \ne 1
\end{array} \right.$
$PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} – 1}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\cos x\sin 2x}}{{\cos x}} = \sqrt 2 \sin x$
$ \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 0.$
Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của phương trình là: $x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
f. Điều kiện: $\cos x \ne 0$, $\sin x \ne 0$, $\tan x \ne – 1.$
$PT \Leftrightarrow \frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x}}$ $ = \frac{{\cos x\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}$ $ + {\sin ^2}x – \sin x\cos x$
$ \Leftrightarrow \left( {\cos x – \sin x} \right)$ $\left( {\frac{1}{{\sin x}} – \cos x + \sin x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x – \sin x = 0\\
{\sin ^2}x – \sin x\cos x – 1 = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
2{\tan ^2}x – \tan x + 1 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k∈Z).$
Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x$ $ = 2\left( {{{\sin }^5}x + {{\cos }^5}x} \right).$
b. ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$ $ = 2\left( {{{\sin }^8}x + {{\cos }^8}x} \right).$
c. ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x$ $ = 2\left( {{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x} \right) + \frac{5}{4}\cos 2x.$
a. $PT \Leftrightarrow {\sin ^3}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ = {\cos ^3}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^3}x – {{\cos }^3}x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan x = 0
\end{array} \right.$
b. $PT \Leftrightarrow {\sin ^6}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ – {\cos ^6}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^6}x – {{\cos }^6}x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan x = \pm 1
\end{array} \right.$
c. $PT \Leftrightarrow {\sin ^8}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ + {\cos ^8}x\left( {1 – 2{{\cos }^2}x} \right)$ $ – \frac{5}{4}\cos 2x = 0$
$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\cos }^8}x – {{\sin }^8}x + \frac{5}{4}} \right) = 0.$
Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. $3 – \tan x\left( {\tan x + 2\sin x} \right)$ $ + 6\cos x = 0.$
b. $3\tan 3x + \cot 2x$ $ = 2\tan x + \frac{2}{{\sin 4x}}.$
c. $\sin 2x\left( {\cos x + 3} \right)$ $ – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 3\sqrt 3 \cos 2x$ $ + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right)$ $ – 3\sqrt 3 = 0.$
d. $8\sqrt 2 {\cos ^6}x + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x$ $ – 6\sqrt 2 {\cos ^4}x – 1 = 0.$
e. $3\left( {\cot x – \cos x} \right)$ $ – 5\left( {\tan x – \sin x} \right) = 2.$
a. Điều kiện: $\cos x \ne 0.$
$ \Leftrightarrow 3 – \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\left( {\frac{{\sin x + 2\sin x\cos x}}{{\cos x}}} \right)$ $ + 6\cos x = 0$
$ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)$ $ + 6{\cos ^3}x = 0$
$ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)$ $ – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + 2\cos x} \right)\left( {3{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right) = 0.$
Đáp số: $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
b. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\cos 3x \ne 0\\
\cos x \ne 0\\
\sin 4x \ne 0\\
\sin 2x \ne 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}$, $x \ne k\frac{\pi }{4}.$
$PT \Leftrightarrow 2\left( {\tan 3x – \tan x} \right)$ $ + \left( {\tan 3x + \cot 2x} \right) = \frac{2}{{\sin 4x}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{2\sin 2x}}{{\cos 3x\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\cos 3x\sin 2x}}$ $ = \frac{2}{{\sin 4x}}$
$ \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + 2\cos 2x\cos x$ $ = 2\cos 3x$ $ \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + \cos 3x + \cos x$ $ = 2\cos 3x$
$ \Leftrightarrow \sin 2x\sin x\left( {4\cos x + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{4}.$
c. $PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + 6\sin x\cos x$ $ – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 6\sqrt 3 {\cos ^2}x$ $ + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)$ $ + 6\cos x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)$ $ + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)$$\left( {2{{\cos }^2}x + 6\cos x – 8} \right) = 0.$
d. $PT \Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\cos ^3}x\left( {4{{\cos }^3}x – 3\cos x} \right)$ $ + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x – 1 = 0$
$ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {2\cos x\cos 3x} \right)$ $ + 2{\sin ^2}x\left( {2\sin x\sin 3x} \right) = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x + \cos 4x} \right)$ $ + \left( {1 – \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x – \cos 4x} \right) = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x + \cos 2x\cos 4x} \right)$ $ = \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos 2x{\cos ^2}2x = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$
$ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{8} + k\pi $ $(k∈Z).$
e. Điều kiện: $\sin x \ne 0$, $\cos x \ne 0.$
$PT \Leftrightarrow 3\left( {\cot x – \cos x + 1} \right)$ $ – 5\left( {\tan x – \sin x + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 3\left( {\frac{{\cos x – \sin x\cos x + \sin x}}{{\sin x}}} \right)$ $ – 5\left( {\frac{{\sin x – \sin x\cos x + \cos x}}{{\cos x}}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x – \sin x\cos x + \sin x = 0\\
\frac{3}{{\sin x}} = \frac{5}{{\cos x}}
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{t^2} – 2t – 1 = 0\\
\tan x = \frac{5}{3}
\end{array} \right.$ với ${t = \sin x + \cos x}$ ${ = \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)}.$
Đối chiếu với điều kiện thu được: $x = \frac{\pi }{4} \pm \arccos \frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi $, $x = \arctan \frac{3}{5} + k\pi $ $(k∈Z).$
