I. Phương pháp
Bước 1:Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức
1.\,\,\,{\sin ^2}x\, = \,\frac{1}{2}\left( {1\, - \,\cos 2x} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5.\,\,{\sin ^3}x\, = \frac{1}{4}\left( {3\sin x\, - \sin 3x} \right)\\
2.\,\,{\cos ^2}x\, = \,\frac{1}{2}\left( {1\, + \,\cos 2x} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6.\,\,{\cos ^3}x\, = \,\frac{1}{4}\left( {3\cos x\, + \,\cos 3x} \right)\\
3.\,\,{\tan ^2}x\, = \,\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\, = \,\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{{1\, + \,\cos 2x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7.\,\,{\tan ^3}x\, = \,\frac{{3\sin x\, - \sin 3x}}{{3\cos x\, + \,\cos 3x}}\\
4.\,\,{\cot ^2}x\, = \,\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\, = \,\frac{{1\, + \,\cos 2x}}{{1\, - \,\cos 2x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8.\,\,{\cot ^2}x\, = \,\frac{{3\sin x\, + \sin 3x}}{{3\cos x\, - \,\cos 3x}}
\end{array}$
Ta có thể lựa chọn theo hai cách sau:
Cách 1: Ta có:
$\begin{array}{l}A\, = \,{\sin ^3}x.\,\cos 3x\, + \,\sin 3x.\,{\cos ^3}x\\\,\,\,\,\, = \,\left( {1\, - \,{{\cos }^2}x} \right)\sin x.\cos 3x\, + \,\left( {1\, - \,{{\sin }^2}x} \right)\sin 3x.\cos x\\\,\,\,\,\, = \,\sin x.\cos 3x\,\, + \,\sin 3x.\cos x\, - \,(\cos x.\cos 3x\, + \,\sin x.\sin 3x)\sin x.\cos x\\\,\,\,\, = \,\,\sin 4x\, - \,\frac{1}{2}\cos 2x.\,\sin 2x\, = \,\,\sin 4x\, - \,\frac{1}{4}\sin 4x\, = \,\frac{3}{4}\sin 4x\end{array}$
Cách 2: Ta có :
$\begin{array}{l}A = \,\,\frac{1}{4}(3\sin x\, - \,\,\sin 3x)\cos 3x\, + \,\frac{1}{4}\,\,(3\cos x\, + \,\cos 3x)\sin 3x\,\\\,\,\,\,\,\, = \,\,\frac{3}{4}(\sin x.\cos 3x\, + \,consx.\sin 3x\, = \,\frac{3}{4}\sin 4x
\end{array}$
Chú ý:
Ví dụ 1: Giải phương trình: ${\sin ^2}x\, = \,{\cos ^2}x\, + \,{\cos ^2}3x$
$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{2}\, = \,\frac{{1\, + \,\cos 2x}}{2} + \,{\cos ^2}3x\,\, \Leftrightarrow \,\,2{\cos ^2}3x\, + \,(\cos 4x\, + \,cos2x)\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}3x\, + \,2\cos 3x.\cos x\, = \,0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(\cos 3x + \,cos5x)\cos 3x\, = \,0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x.\cos 3x\, = \,0\end{array}$
$\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos x = 0\\\cos 3x = 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \\3x\, = \,\,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,\frac{\pi }{4}\, + \,k\frac{\pi }{2}\,\\x\, = \,\frac{\pi }{6}\, + \,k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình ${\sin ^4}x\, + \,{\sin ^4}(x\, + \,\frac{\pi }{4})\, + \,{\sin ^4}(x\, - \,\frac{\pi }{4})\,\, = \,\frac{9}{8}$ (1)
(1) $ \Leftrightarrow \,\,\,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{2}} \right)^{2\,}} + \,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos (2x\, + \,\frac{\pi }{4})}}{2}} \right)^2}\, + \,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos (2x\, - \,\frac{\pi }{4})}}{2}} \right)^{2\,}}\, = \,\frac{9}{8}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1\, - \,\cos 2x)^2}\, + \,{(1\, + \,\sin 2x)^2} + \,{(1\, - \,\sin 2x)^2}\, = \,\frac{9}{2} \Leftrightarrow 1\, - \,2\cos 2x\, + \,{\cos ^2}2x\, + \,2(1\, + \,{\sin ^2}2x)\, = \,\frac{9}{2}\\ \Leftrightarrow \,2{\cos ^2}2x\, + \,4\cos 2x - \,1\, = \,0\end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\\
\cos 2x = \,1\, + \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\,\,\,\,(loai)\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\, = \,\cos 2\alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2x\, = \, \pm 2\alpha \, + k2\pi \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \, \pm \alpha \, + \,k\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\\\cos 2x = \,1\, + \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\,\,\,\,(loai)\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\, = \,\cos 2\alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2x\, = \, \pm 2\alpha \, + k2\pi \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \, \pm \alpha \, + \,k\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: $\,{\sin ^3}x\, + \,{\cos ^3}x\, + \,{\sin ^3}x.\cot \,x + \,{\cos ^3}x.\tan x\, = \,\sqrt {2\sin 2x} $ (2)
$\begin{array}{l}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\sin ^2}x(\sin x\, + \,\cos x)\, + \,co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}x(\cos \,x + \,sinx)\, = \,\sqrt {2\sin 2x} \\\, \Leftrightarrow \,\,\,({\sin ^2}x + \,co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}x)(\sin x\, + \,\cos x)\,\, = \,\sqrt {2\sin 2x} \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin x\, + \,\cos x\, = \,\,\sqrt {2\sin 2x} \,\,\,(3)\end{array}$
Điều kiện$\left\{ \begin{array}{l}\sin x\, + \,\cos x\, \ge 0\\\sin 2x\, \ge 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\sin x\, + \,\cos x\, \ge 0\\\sin x.\cos x\,\, \ge 0\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\sin x\, \ge 0\\\,\cos x \ge 0\end{array} \right.\,\,\,(*)$
Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có: ${(\sin x + \cos x)^2} = 2\sin 2x$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow 2\sin 2x \Leftrightarrow \sin 2x = 1\\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$
Các giá trị x = π/4 + kπ thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi k = 2m
Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nhất.
Ví Dụ 4: Giải phương trình:
${\sin ^7}x + {\cos ^5}x + \frac{1}{2}({\sin ^5}x + {\cos ^3}x)\sin 2x = \sin x + \cos x$ (4)
$\, \Leftrightarrow {\sin ^7}x + {\cos ^5}x + {\sin ^6}x\cos x + \sin x{\cos ^4}x = \sin x + \cos x$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow ({\sin ^7}x + {\sin ^6}x\cos x) + ({\cos ^5}x + \sin x{\cos ^4}x) = \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow {\sin ^6}x(\sin x + \cos x) + {\cos ^4}x(\sin x + \cos x) = \sin x + \cos x\\
(\sin x + \cos x)({\sin ^6}x + {\cos ^4}x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\\{\sin ^6}x + {\cos ^4}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\end{array} \right.\end{array}$
Ta có (5)↔tan(x) = - 1 ↔ x = π/4 + kπ với k ∈ Z
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}
{\cos ^6}x \le {\cos ^2}x\\{\sin ^4}x \le {\sin ^2}x\end{array} \right. \Rightarrow {\cos ^6}x + {\sin ^4}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$
Dâú đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin(x) = 0 hoặc cos(x) = 0
Bởi thế (6) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,k \in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 5: Giải phương trình :
$\frac{{{{\sin }^4}\frac{x}{2} + {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}{{1 - \sin x}} - {\tan ^2}x\sin x = \frac{{1 + \sin x}}{2} + \tan x$ (7)
Ta có: ${\sin ^4}\frac{x}{2} + {\cos ^4}\frac{x}{2} = {({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2})^2} - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}{\cos ^2}\frac{x}{2} = $
$\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}x = \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{2}$
$ \Rightarrow \frac{{{{\sin }^4}\frac{x}{2} + {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}{{1 - \sin x}} = \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}}$.
Thay vào (7) ta thu được
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} - {\tan ^2}x\sin x = \frac{{1 + \sin x}}{2} + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{1 + \sin x}}{2} + (1 + \sin x){\tan ^2}x\end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{(1 + \sin x)(1 + 2{{\tan }^2}x)}}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{(1 + \sin x)(1 - \sin x)(1 + 2{{\tan }^2}x)}}{{2(1 - \sin x)}}\\ \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = (1 + \sin x)(1 - \sin x)(1 + 2{\tan ^2}x) \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = (1 - {\sin ^2}x)(1 + 2{\tan ^2}x)\\
\Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = \,\,{\cos ^2}x(1 + 2{\tan ^2}x) \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = \,\,{\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x)\\ \Leftrightarrow 1 = 2{\sin ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z
\end{array}$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm
Ví Dụ 6: Giải phương trình: ${\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = \frac{8}{{{{\sin }^3}4x}}$ (8)
$\frac{8}{{{{\sin }^3}4x}} = \frac{8}{{{{(2\sin 2x\cos 2x)}^3}}} = \frac{1}{{{{(\sin 2x\cos 2x)}^3}}} = {(\tan 2x + \cot 2x)^3}$
$\begin{array}{l} = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + 3\tan 2x\cot 2x(\tan 2x + \cot 2x)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}\end{array}$
Do vậy (8) ↔$\,{\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}$
$ \leftrightarrow \frac{3}{{\sin 2x}} = 0$ (vô nghiệm ).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Nhận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu đối với có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải .Vì vậy để có thể sử dụng tốt phương pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu ở trên, đồng thời phải sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt.
Bước 1:Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức
- Hạ bậc đơn:
1.\,\,\,{\sin ^2}x\, = \,\frac{1}{2}\left( {1\, - \,\cos 2x} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5.\,\,{\sin ^3}x\, = \frac{1}{4}\left( {3\sin x\, - \sin 3x} \right)\\
2.\,\,{\cos ^2}x\, = \,\frac{1}{2}\left( {1\, + \,\cos 2x} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6.\,\,{\cos ^3}x\, = \,\frac{1}{4}\left( {3\cos x\, + \,\cos 3x} \right)\\
3.\,\,{\tan ^2}x\, = \,\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\, = \,\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{{1\, + \,\cos 2x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7.\,\,{\tan ^3}x\, = \,\frac{{3\sin x\, - \sin 3x}}{{3\cos x\, + \,\cos 3x}}\\
4.\,\,{\cot ^2}x\, = \,\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\, = \,\frac{{1\, + \,\cos 2x}}{{1\, - \,\cos 2x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8.\,\,{\cot ^2}x\, = \,\frac{{3\sin x\, + \sin 3x}}{{3\cos x\, - \,\cos 3x}}
\end{array}$
- Hạ bậc toàn cục
- Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :
Ta có thể lựa chọn theo hai cách sau:
Cách 1: Ta có:
$\begin{array}{l}A\, = \,{\sin ^3}x.\,\cos 3x\, + \,\sin 3x.\,{\cos ^3}x\\\,\,\,\,\, = \,\left( {1\, - \,{{\cos }^2}x} \right)\sin x.\cos 3x\, + \,\left( {1\, - \,{{\sin }^2}x} \right)\sin 3x.\cos x\\\,\,\,\,\, = \,\sin x.\cos 3x\,\, + \,\sin 3x.\cos x\, - \,(\cos x.\cos 3x\, + \,\sin x.\sin 3x)\sin x.\cos x\\\,\,\,\, = \,\,\sin 4x\, - \,\frac{1}{2}\cos 2x.\,\sin 2x\, = \,\,\sin 4x\, - \,\frac{1}{4}\sin 4x\, = \,\frac{3}{4}\sin 4x\end{array}$
Cách 2: Ta có :
$\begin{array}{l}A = \,\,\frac{1}{4}(3\sin x\, - \,\,\sin 3x)\cos 3x\, + \,\frac{1}{4}\,\,(3\cos x\, + \,\cos 3x)\sin 3x\,\\\,\,\,\,\,\, = \,\,\frac{3}{4}(\sin x.\cos 3x\, + \,consx.\sin 3x\, = \,\frac{3}{4}\sin 4x
\end{array}$
Chú ý:
- Tuỳ thuộc bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp . Chẳng hạn đối với phương trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông thường ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc.
- Với các nhân tử bậc cao hơn 3 ta phải hạ bậc dần dần.
Ví dụ 1: Giải phương trình: ${\sin ^2}x\, = \,{\cos ^2}x\, + \,{\cos ^2}3x$
Giải
Phương trình được biến đổi dưới dạng$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{2}\, = \,\frac{{1\, + \,\cos 2x}}{2} + \,{\cos ^2}3x\,\, \Leftrightarrow \,\,2{\cos ^2}3x\, + \,(\cos 4x\, + \,cos2x)\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}3x\, + \,2\cos 3x.\cos x\, = \,0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(\cos 3x + \,cos5x)\cos 3x\, = \,0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x.\cos 3x\, = \,0\end{array}$
$\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos x = 0\\\cos 3x = 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \\3x\, = \,\,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,\frac{\pi }{4}\, + \,k\frac{\pi }{2}\,\\x\, = \,\frac{\pi }{6}\, + \,k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình ${\sin ^4}x\, + \,{\sin ^4}(x\, + \,\frac{\pi }{4})\, + \,{\sin ^4}(x\, - \,\frac{\pi }{4})\,\, = \,\frac{9}{8}$ (1)
Giải.
Ta có: (1) $ \Leftrightarrow \,\,\,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{2}} \right)^{2\,}} + \,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos (2x\, + \,\frac{\pi }{4})}}{2}} \right)^2}\, + \,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos (2x\, - \,\frac{\pi }{4})}}{2}} \right)^{2\,}}\, = \,\frac{9}{8}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1\, - \,\cos 2x)^2}\, + \,{(1\, + \,\sin 2x)^2} + \,{(1\, - \,\sin 2x)^2}\, = \,\frac{9}{2} \Leftrightarrow 1\, - \,2\cos 2x\, + \,{\cos ^2}2x\, + \,2(1\, + \,{\sin ^2}2x)\, = \,\frac{9}{2}\\ \Leftrightarrow \,2{\cos ^2}2x\, + \,4\cos 2x - \,1\, = \,0\end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\\
\cos 2x = \,1\, + \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\,\,\,\,(loai)\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\, = \,\cos 2\alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2x\, = \, \pm 2\alpha \, + k2\pi \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \, \pm \alpha \, + \,k\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\\\cos 2x = \,1\, + \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\,\,\,\,(loai)\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\, = \,\cos 2\alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2x\, = \, \pm 2\alpha \, + k2\pi \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \, \pm \alpha \, + \,k\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: $\,{\sin ^3}x\, + \,{\cos ^3}x\, + \,{\sin ^3}x.\cot \,x + \,{\cos ^3}x.\tan x\, = \,\sqrt {2\sin 2x} $ (2)
Giải
Ta có: (2) $ \Leftrightarrow \,\,\,{\sin ^3}x\, + \,{\cos ^3}x\, + \,{\sin ^2}x.\cos \,x + \,{\cos ^2}x.sinx\, = \,\sqrt {2\sin 2x} $$\begin{array}{l}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\sin ^2}x(\sin x\, + \,\cos x)\, + \,co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}x(\cos \,x + \,sinx)\, = \,\sqrt {2\sin 2x} \\\, \Leftrightarrow \,\,\,({\sin ^2}x + \,co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}x)(\sin x\, + \,\cos x)\,\, = \,\sqrt {2\sin 2x} \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin x\, + \,\cos x\, = \,\,\sqrt {2\sin 2x} \,\,\,(3)\end{array}$
Điều kiện$\left\{ \begin{array}{l}\sin x\, + \,\cos x\, \ge 0\\\sin 2x\, \ge 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\sin x\, + \,\cos x\, \ge 0\\\sin x.\cos x\,\, \ge 0\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\sin x\, \ge 0\\\,\cos x \ge 0\end{array} \right.\,\,\,(*)$
Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có: ${(\sin x + \cos x)^2} = 2\sin 2x$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow 2\sin 2x \Leftrightarrow \sin 2x = 1\\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$
Các giá trị x = π/4 + kπ thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi k = 2m
Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nhất.
Ví Dụ 4: Giải phương trình:
${\sin ^7}x + {\cos ^5}x + \frac{1}{2}({\sin ^5}x + {\cos ^3}x)\sin 2x = \sin x + \cos x$ (4)
Giải
Ta có $(4) \Leftrightarrow {\sin ^7}x + {\cos ^5}x + ({\sin ^5}x + {\cos ^3}x)\sin x\cos x = \sin x + \cos x$$\, \Leftrightarrow {\sin ^7}x + {\cos ^5}x + {\sin ^6}x\cos x + \sin x{\cos ^4}x = \sin x + \cos x$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow ({\sin ^7}x + {\sin ^6}x\cos x) + ({\cos ^5}x + \sin x{\cos ^4}x) = \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow {\sin ^6}x(\sin x + \cos x) + {\cos ^4}x(\sin x + \cos x) = \sin x + \cos x\\
(\sin x + \cos x)({\sin ^6}x + {\cos ^4}x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\\{\sin ^6}x + {\cos ^4}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\end{array} \right.\end{array}$
Ta có (5)↔tan(x) = - 1 ↔ x = π/4 + kπ với k ∈ Z
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}
{\cos ^6}x \le {\cos ^2}x\\{\sin ^4}x \le {\sin ^2}x\end{array} \right. \Rightarrow {\cos ^6}x + {\sin ^4}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$
Dâú đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin(x) = 0 hoặc cos(x) = 0
Bởi thế (6) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,k \in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 5: Giải phương trình :
$\frac{{{{\sin }^4}\frac{x}{2} + {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}{{1 - \sin x}} - {\tan ^2}x\sin x = \frac{{1 + \sin x}}{2} + \tan x$ (7)
Giải
Điều kiện: cos(x) ≠ 0Ta có: ${\sin ^4}\frac{x}{2} + {\cos ^4}\frac{x}{2} = {({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2})^2} - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}{\cos ^2}\frac{x}{2} = $
$\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}x = \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{2}$
$ \Rightarrow \frac{{{{\sin }^4}\frac{x}{2} + {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}{{1 - \sin x}} = \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}}$.
Thay vào (7) ta thu được
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} - {\tan ^2}x\sin x = \frac{{1 + \sin x}}{2} + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{1 + \sin x}}{2} + (1 + \sin x){\tan ^2}x\end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{(1 + \sin x)(1 + 2{{\tan }^2}x)}}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{(1 + \sin x)(1 - \sin x)(1 + 2{{\tan }^2}x)}}{{2(1 - \sin x)}}\\ \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = (1 + \sin x)(1 - \sin x)(1 + 2{\tan ^2}x) \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = (1 - {\sin ^2}x)(1 + 2{\tan ^2}x)\\
\Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = \,\,{\cos ^2}x(1 + 2{\tan ^2}x) \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = \,\,{\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x)\\ \Leftrightarrow 1 = 2{\sin ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z
\end{array}$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm
Ví Dụ 6: Giải phương trình: ${\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = \frac{8}{{{{\sin }^3}4x}}$ (8)
Giải
Ta có:$\frac{8}{{{{\sin }^3}4x}} = \frac{8}{{{{(2\sin 2x\cos 2x)}^3}}} = \frac{1}{{{{(\sin 2x\cos 2x)}^3}}} = {(\tan 2x + \cot 2x)^3}$
$\begin{array}{l} = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + 3\tan 2x\cot 2x(\tan 2x + \cot 2x)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}\end{array}$
Do vậy (8) ↔$\,{\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}$
$ \leftrightarrow \frac{3}{{\sin 2x}} = 0$ (vô nghiệm ).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Nhận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu đối với có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải .Vì vậy để có thể sử dụng tốt phương pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu ở trên, đồng thời phải sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt.
