Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Lớp 10 Giải toán bằng sơ đồ Ven

Thảo luận trong 'Mệnh đề và tập hợp' bắt đầu bởi moon, 5/12/18 lúc 08:35.

  1. moon

    moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    2/10/14
    Bài viết:
    160
    Đã được thích:
    45
    Điểm thành tích:
    28
    Phương pháp giải toán bằng sơ đồ Ven: Gồm 3 bước:
    • Bước 1: Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp.
    • Bước 2: Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa các tập hợp.
    • Bước 3: Dựa vào sơ đồ Ven ta thiết lập được đẳng thức hoặc phương trình, hệ phương trình, từ đó tìm được kết quả bài toán.


    Ví dụ minh họa
    Ví dụ 1
    : Mỗi học sinh của lớp 10A đều biết chơi cờ tướng hoặc cờ vua, biết rằng có $25$ em biết chơi cờ tướng, $30$ em biết chơi cờ vua, $15$ em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu em chỉ biết chơi cờ tướng? Bao nhiêu em chỉ biết chơi cờ vua? Sĩ số lớp là bao nhiêu?

    giai-toan-bang-so-do-ven-1.png

    Dựa vào sơ đồ Ven ta suy ra số học sinh chỉ biết chơi cờ tướng là $25-15=10$.
    Số học sinh chỉ biết chơi cờ vua là $30-15=15$.
    Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A là $10+15+15=40$.

    Ví dụ 2: Lớp 10B có $45$ học sinh, trong đó có $25$ em thích môn Văn, $20$ em thích môn Toán, $18$ em thích môn Sử, $6$ em không thích môn nào, $5$ em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?

    giai-toan-bang-so-do-ven-2.png

    Gọi:
    $a,b,c$ theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán.
    $x$ là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Toán.
    $y$ là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và Toán.
    $z$ là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Sử.
    Ta có số em thích ít nhất một môn là $45-6=39$.
    Dựa vào sơ đồ Ven ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
    a + x + z + 5 = 25(1)\\
    b + y + z + 5 = 18(2)\\
    c + x + y + 5 = 20(3)\\
    x + y + z + a + b + c + 5 = 39(4)
    \end{array} \right.$
    Cộng vế với vế $(1)$, $(2)$, $(3)$ ta có: $a+b+c+2\left( x+y+z \right)+15=63$ $(5).$
    Từ $(4)$ và $(5)$ ta có: $a+b+c$ $+2\left( 39-5-a-b-c \right)+15=63$ $\Leftrightarrow a+b+c=20.$
    Vậy chỉ có $20$ em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

    Ví dụ 3: Trong lớp 10C có $16$ học sinh giỏi môn Toán, $15$ học sinh giỏi môn Lý và $11$ học sinh giỏi môn Hóa. Biết rằng có $9$ học sinh vừa giỏi Toán và Lý, $6$ học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, $8$ học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó chỉ có $11$ học sinh giỏi đúng hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp:
    a. Giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa.
    b. Giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc Hóa.

    giai-toan-bang-so-do-ven-3.png

    Gọi:
    $T,L,H$ lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa.
    $B$ là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn.
    Theo giả thiết ta có: $n\left( T \right) = 16$, $n\left( L \right) = 15$, $n\left( H \right) = 11$, $n\left( B \right) = 11$, $n\left( {T \cap L} \right) = 9$, $n\left( {L \cap H} \right) = 6$, $n\left( {H \cap T} \right) = 8.$

    a. Xét tổng $n(T \cap L)$ $ + n(L \cap H)$ $ + n(H \cap T)$ thì mỗi phần tử của tập hợp $T \cap L \cap H$ được tính ba lần do đó ta có: $n(T \cap L)$ $ + n(L \cap H)$ $ + n(H \cap T)$ $ – 3n\left( {T \cap L \cap H} \right)$ $ = n\left( B \right).$
    Hay $n\left( {T \cap L \cap H} \right)$ $ = \frac{1}{3}\left[ {n(T \cap L) + n(L \cap H)} \right.$ $\left. { + n(H \cap T) – n\left( B \right)} \right] = 4.$
    Suy ra có $4$ học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa.

    b. Xét $n\left( {T \cap L} \right) + n\left( {L \cap T} \right)$ thì mỗi phần tử của tập hợp $T \cap L \cap H$ được tính hai lần do đó số học sinh chỉ giỏi đúng môn Toán là: $n\left( T \right)$ $ – \left[ {n\left( {T \cap L} \right) + n\left( {H \cap T} \right) – n\left( {T \cap L \cap H} \right)} \right]$ $ = 16 – \left( {9 + 8 – 4} \right) = 3.$
    Tương tự, ta có:
    Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý: $n\left( L \right)$ $ – \left[ {n\left( {T \cap L} \right) + n\left( {L \cap H} \right) – n\left( {T \cap L \cap H} \right)} \right]$ $ = 15 – \left( {9 + 6 – 4} \right) = 4.$
    Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Hóa: $n\left( H \right)$ $ – \left[ {n\left( {H \cap T} \right) + n\left( {L \cap H} \right) – n\left( {T \cap L \cap H} \right)} \right]$ $ = 11 – \left( {8 + 6 – 4} \right) = 1.$
    Suy ra số học sinh giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc Hóa là: $3 + 4 + 1 = 8.$
     

    Bình Luận Bằng Facebook

Chia sẻ trang này