Giải và biện luận phương trình lượng giác $\cos x = m$
Ta biện luận phương trình $\cos x = m$ theo $m$:
• Bước 1: Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Bước 2: Nếu $\left| m \right| \le 1$, ta xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cos$ của góc đặc biệt, giả sử góc $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\cos x = \cos \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cos$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cos \alpha $, ta có: $\cos x = \cos \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le – \alpha \le \pi \\
\cos \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arccos m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi .$
2. $\cos x = – 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .$
3. $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Ví dụ 3: Giải phương trình: $\cos x = – \frac{1}{2}.$
Do $ – \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ nên $\cos x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$
Ví dụ 4: Giải phương trình: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1.$
Ta có: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1$ $ \Leftrightarrow \cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \frac{1}{3}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{6} = \arccos \frac{1}{3} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{6} = – \arccos \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Ta biện luận phương trình $\cos x = m$ theo $m$:
• Bước 1: Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Bước 2: Nếu $\left| m \right| \le 1$, ta xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cos$ của góc đặc biệt, giả sử góc $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\cos x = \cos \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cos$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cos \alpha $, ta có: $\cos x = \cos \alpha $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = – \alpha + k2\pi
\end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le – \alpha \le \pi \\
\cos \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arccos m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi .$
2. $\cos x = – 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .$
3. $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Ví dụ 3: Giải phương trình: $\cos x = – \frac{1}{2}.$
Do $ – \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ nên $\cos x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$
Ví dụ 4: Giải phương trình: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1.$
Ta có: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1$ $ \Leftrightarrow \cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \frac{1}{3}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{6} = \arccos \frac{1}{3} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{6} = – \arccos \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\
x = \frac{{ – \pi }}{{12}} – \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
