• Bước 1: Đặt điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cot$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\cot x = \cot \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cot$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cot \alpha $ ta được: $\cot x = \cot \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\
\cot \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = arccot m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\cot x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
2. $co{\mathop{\rm t}\nolimits} x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .$
3. $\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Ví dụ 7: Giải phương trình $\cot (\frac{\pi }{4} – x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$
Điều kiện $\cos (\frac{\pi }{4} – x) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} – x \ne k\pi $ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} – k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Ta có: $\cot (\frac{\pi }{4} – x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $⇔ \cot (\frac{\pi }{4} – x) = \cot \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} – x = \frac{\pi }{3} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{{12}} – k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $ x = – \frac{\pi }{{12}} – k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 8: Giải phương trình $\cot (4x + {35^o}) = – 1.$
Điều kiện $4x + {35^o} \ne k{180^o}$ $(k ∈ Z).$
Ta có: $\cot (4x + {35^o}) = – 1$ $ \Leftrightarrow \cot (4x + {35^o}) = \cot ( – {45^o})$ $ \Leftrightarrow 4x + {35^o} = – {45^o} + k{180^o}$ $ \Leftrightarrow 4x = – {80^o} + k{180^o}$ $ \Leftrightarrow x = – {20^o} + k{45^o}$ $(k \in Z).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $ x = – {20^o} + k{45^o}$ $(k \in Z).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cot$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha $, khi đó phương trình có dạng: $\cot x = \cot \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cot$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cot \alpha $ ta được: $\cot x = \cot \alpha $ $ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\
\cot \alpha = m
\end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = arccot m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\cot x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
2. $co{\mathop{\rm t}\nolimits} x = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi .$
3. $\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Ví dụ 7: Giải phương trình $\cot (\frac{\pi }{4} – x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$
Điều kiện $\cos (\frac{\pi }{4} – x) \ne 0$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} – x \ne k\pi $ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} – k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Ta có: $\cot (\frac{\pi }{4} – x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $⇔ \cot (\frac{\pi }{4} – x) = \cot \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} – x = \frac{\pi }{3} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{{12}} – k\pi $ $\left( {k \in Z} \right)$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $ x = – \frac{\pi }{{12}} – k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$
Ví dụ 8: Giải phương trình $\cot (4x + {35^o}) = – 1.$
Điều kiện $4x + {35^o} \ne k{180^o}$ $(k ∈ Z).$
Ta có: $\cot (4x + {35^o}) = – 1$ $ \Leftrightarrow \cot (4x + {35^o}) = \cot ( – {45^o})$ $ \Leftrightarrow 4x + {35^o} = – {45^o} + k{180^o}$ $ \Leftrightarrow 4x = – {80^o} + k{180^o}$ $ \Leftrightarrow x = – {20^o} + k{45^o}$ $(k \in Z).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $ x = – {20^o} + k{45^o}$ $(k \in Z).$
