1. Dạng 1: $\left\{ \begin{array}{l}f(x,y) = 0\\f(y,x) = 0\end{array} \right.$ (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)
Phương pháp giải chung
Cách giải 1
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2x = y{\rm{ }}(1)\\{y^3} + 2y = x{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$.
Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: $\begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + 3x - 3y = 0 \Leftrightarrow (x - y)({x^2} + {y^2} + xy + 3) = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)\left[ {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 3} \right] = 0 \Leftrightarrow y = x\end{array}$
Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được: ${x^3} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4{\rm{ }}(1)\\\sqrt {2y + 3} + \sqrt {4 - x} = 4{\rm{ }}(2)\end{array} \right.$
Trừ (1) và (2) ta được:
$\begin{array}{l}\left( {\sqrt {2x + 3} - \sqrt {2y + 3} } \right) + \left( {\sqrt {4 - y} - \sqrt {4 - x} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{(2x + 3) - (2y + 3)}}{{\sqrt {2x + 3} + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{{(4 - y) - (4 - x)}}{{\sqrt {4 - y} + \sqrt {4 - x} }} = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2x + 3} + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - y} + \sqrt {4 - x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\end{array}$
Thay x = y vào (1), ta được:
$\begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - x} = 4 \Leftrightarrow x + 7 + 2\sqrt {(2x + 3)(4 - x)} = 16\\ \Leftrightarrow 2\sqrt { - 2{x^2} + 5x + 12} = 9 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - x \ge 0\\9{x^2} - 38x + 33 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3 \vee x = \frac{{11}}{9}\end{array}$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{9}\\y = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.$.
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 2x + y{\rm{ }}(1)\\{y^3} = 2y + x{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\\
{y^3} = 2y + x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(x - y)({x^2} + xy + {y^2} - 1) = 0\\
(x + y)({x^2} - xy + {y^2} - 3) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
x + y = 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
{x^2} - xy + {y^2} = 3
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 0\\
{x^2} + xy + {y^2} = 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} = 1\\
{x^2} - xy + {y^2} = 3
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
x + y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
{x^2} - xy + {y^2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = x\\
{x^2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
y = \sqrt 3
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = - \sqrt 3 \\
y = - \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 0\\
{x^2} + xy + {y^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - x\\
{x^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} = 1\\
{x^2} - xy + {y^2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = - 1\\
{x^2} + {y^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = - 1\\
x + y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
y = \sqrt 3
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = - \sqrt 3 \\
y = - \sqrt 3
\end{array} \right.$.
Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4{\rm{ }}(1)\\
\sqrt {2y + 3} + \sqrt {4 - x} = 4{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$
Trừ (1) và (2) ta được:
$\sqrt {2x + 3} - \sqrt {4 - x} = \sqrt {2y + 3} - \sqrt {4 - y} $ (3)
Xét hàm số $f(t) = \sqrt {2t + 3} - \sqrt {4 - t} ,{\rm{ }}t \in \left[ { - \frac{3}{2};{\rm{ }}4} \right]$, ta có:
${f^/}(x) = \frac{1}{{\sqrt {2t + 3} }} + \frac{1}{{2\sqrt {4 - t} }} > 0,{\rm{ }}\forall t \in \left( { - \frac{3}{2};{\rm{ }}4} \right) \Rightarrow (3) \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$.
Thay x = y vào (1), ta được:
$\begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - x} = 4 \Leftrightarrow x + 7 + 2\sqrt {(2x + 3)(4 - x)} = 16\\
\Leftrightarrow 2\sqrt { - 2{x^2} + 5x + 12} = 9 - x \Leftrightarrow x = 3 \vee x = \frac{{11}}{9}
\end{array}$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{9}\\y = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.$.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2x = y\\{y^3} + 2y = x\end{array} \right.$.
Hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{array}{l}f(x) = y{\rm{ }}(1)\\f(y) = x{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$.
+ Nếu $x > y \Rightarrow f(x) > f(y) \Rightarrow y > x$ (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn).
+ Nếu $x < y \Rightarrow f(x) < f(y) \Rightarrow y < x$ (mâu thuẩn).
Suy ra x = y, thế vào hệ ta được ${x^3} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0.$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$.
Chú ý:
Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!
Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x = \frac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}\\3y = \frac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}
3x = \frac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}\\
3y = \frac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x{y^2} = {x^2} + 2{\rm{ }}(1)\\
3y{x^2} = {y^2} + 2{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$
Trừ (1) và (2) ta được: $(x - y)(3xy + x + y) = 0 \Leftrightarrow x = y{\rm{ }}(3xy + x + y > 0).$
Với $x = y: (1) \Leftrightarrow 3{x^3} - {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(3{x^2} + 2x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy hệ có 1 nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.$.
2. Dạng 2: $\left\{ \begin{array}{l}f(x,y) = 0\\g(x,y) = 0\end{array} \right.$, trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng
Phương pháp giải chung
Cách giải 1
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}{\rm{ }}(1)\\2{x^2} - xy - 1 = 0{\rm{ }}(2)\end{array} \right.$.
+ Với y = x: $(2) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
+ Với y = 1/x: (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.$.
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Đưa phương trình đối xứng về dạng $f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$ với hàm f đơn điệu.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = \cos x - \cos y{\rm{ }}(1)\\{x^2}y - 3y - 18 = 0{\rm{ }}(2)\end{array} \right.$.
Xét hàm số $f(t) = t - \cos t \Rightarrow {f^/}(t) = 1 + \sin t > 0,{\rm{ }}\forall t \in R$.
Suy ra $(3) \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$.
Thay x = y vào (2), ta được: ${x^3} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow (x - 3)({x^2} + 3x + 6) = 0 \Leftrightarrow x = 3.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 3
\end{array} \right.$.
Chú ý:
Cách giải sau đây sai: $\left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}{\rm{ }}(1)\\
2{x^2} - xy - 1 = 0{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$.
Xét hàm số $f(t) = t - \frac{1}{t},{\rm{ }}t \in R\backslash \{ 0\} \Rightarrow {f^/}(t) = 1 + \frac{1}{{{t^2}}} > 0,{\rm{ }}\forall t \in R\backslash \{ 0\} $.
Suy ra $(1) \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$!
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).
Phương pháp giải chung
Cách giải 1
Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2x = y{\rm{ }}(1)\\{y^3} + 2y = x{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$.
Giải
Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: $\begin{array}{l}{x^3} - {y^3} + 3x - 3y = 0 \Leftrightarrow (x - y)({x^2} + {y^2} + xy + 3) = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)\left[ {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 3} \right] = 0 \Leftrightarrow y = x\end{array}$
Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được: ${x^3} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4{\rm{ }}(1)\\\sqrt {2y + 3} + \sqrt {4 - x} = 4{\rm{ }}(2)\end{array} \right.$
Giải
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} \le x \le 4\\ - \frac{3}{2} \le x \le 4\end{array} \right.$.Trừ (1) và (2) ta được:
$\begin{array}{l}\left( {\sqrt {2x + 3} - \sqrt {2y + 3} } \right) + \left( {\sqrt {4 - y} - \sqrt {4 - x} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{(2x + 3) - (2y + 3)}}{{\sqrt {2x + 3} + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{{(4 - y) - (4 - x)}}{{\sqrt {4 - y} + \sqrt {4 - x} }} = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2x + 3} + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - y} + \sqrt {4 - x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\end{array}$
Thay x = y vào (1), ta được:
$\begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - x} = 4 \Leftrightarrow x + 7 + 2\sqrt {(2x + 3)(4 - x)} = 16\\ \Leftrightarrow 2\sqrt { - 2{x^2} + 5x + 12} = 9 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - x \ge 0\\9{x^2} - 38x + 33 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3 \vee x = \frac{{11}}{9}\end{array}$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{9}\\y = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.$.
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới).
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 2x + y{\rm{ }}(1)\\{y^3} = 2y + x{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$
Giải
Trừ và cộng (1) với (2), ta được:$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\\
{y^3} = 2y + x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(x - y)({x^2} + xy + {y^2} - 1) = 0\\
(x + y)({x^2} - xy + {y^2} - 3) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
x + y = 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
{x^2} - xy + {y^2} = 3
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 0\\
{x^2} + xy + {y^2} = 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} = 1\\
{x^2} - xy + {y^2} = 3
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
x + y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
{x^2} - xy + {y^2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = x\\
{x^2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
y = \sqrt 3
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = - \sqrt 3 \\
y = - \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 0\\
{x^2} + xy + {y^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - x\\
{x^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} = 1\\
{x^2} - xy + {y^2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = - 1\\
{x^2} + {y^2} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = - 1\\
x + y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
y = \sqrt 3
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = - \sqrt 3 \\
y = - \sqrt 3
\end{array} \right.$.
Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - y} = 4{\rm{ }}(1)\\
\sqrt {2y + 3} + \sqrt {4 - x} = 4{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$
Giải
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} \le x \le 4\\ - \frac{3}{2} \le x \le 4\end{array} \right.$.Trừ (1) và (2) ta được:
$\sqrt {2x + 3} - \sqrt {4 - x} = \sqrt {2y + 3} - \sqrt {4 - y} $ (3)
Xét hàm số $f(t) = \sqrt {2t + 3} - \sqrt {4 - t} ,{\rm{ }}t \in \left[ { - \frac{3}{2};{\rm{ }}4} \right]$, ta có:
${f^/}(x) = \frac{1}{{\sqrt {2t + 3} }} + \frac{1}{{2\sqrt {4 - t} }} > 0,{\rm{ }}\forall t \in \left( { - \frac{3}{2};{\rm{ }}4} \right) \Rightarrow (3) \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$.
Thay x = y vào (1), ta được:
$\begin{array}{l}\sqrt {2x + 3} + \sqrt {4 - x} = 4 \Leftrightarrow x + 7 + 2\sqrt {(2x + 3)(4 - x)} = 16\\
\Leftrightarrow 2\sqrt { - 2{x^2} + 5x + 12} = 9 - x \Leftrightarrow x = 3 \vee x = \frac{{11}}{9}
\end{array}$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{9}\\y = \frac{{11}}{9}\end{array} \right.$.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2x = y\\{y^3} + 2y = x\end{array} \right.$.
Giải
Xét hàm số $f(t) = {t^3} + 2t \Rightarrow {f^/}(t) = 3{t^2} + 2 > 0,{\rm{ }}\forall t \in R$.Hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{array}{l}f(x) = y{\rm{ }}(1)\\f(y) = x{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$.
+ Nếu $x > y \Rightarrow f(x) > f(y) \Rightarrow y > x$ (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn).
+ Nếu $x < y \Rightarrow f(x) < f(y) \Rightarrow y < x$ (mâu thuẩn).
Suy ra x = y, thế vào hệ ta được ${x^3} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0.$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$.
Chú ý:
Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!
Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x = \frac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}\\3y = \frac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}\end{array} \right.$
Giải
Nhận xét từ hệ phương trình ta có $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.$. Biến đổi:$\left\{ \begin{array}{l}
3x = \frac{{{x^2} + 2}}{{{y^2}}}\\
3y = \frac{{{y^2} + 2}}{{{x^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x{y^2} = {x^2} + 2{\rm{ }}(1)\\
3y{x^2} = {y^2} + 2{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$
Trừ (1) và (2) ta được: $(x - y)(3xy + x + y) = 0 \Leftrightarrow x = y{\rm{ }}(3xy + x + y > 0).$
Với $x = y: (1) \Leftrightarrow 3{x^3} - {x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(3{x^2} + 2x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy hệ có 1 nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.$.
2. Dạng 2: $\left\{ \begin{array}{l}f(x,y) = 0\\g(x,y) = 0\end{array} \right.$, trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng
Phương pháp giải chung
Cách giải 1
Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}{\rm{ }}(1)\\2{x^2} - xy - 1 = 0{\rm{ }}(2)\end{array} \right.$.
Giải
Điều kiện: $x \ne 0,{\rm{ }}y \ne 0$. Ta có: $(1) \Leftrightarrow (x - y)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) = 0 \Leftrightarrow y = x \vee y = - \frac{1}{x}.$+ Với y = x: $(2) \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
+ Với y = 1/x: (2) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.$.
Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)
Đưa phương trình đối xứng về dạng $f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$ với hàm f đơn điệu.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = \cos x - \cos y{\rm{ }}(1)\\{x^2}y - 3y - 18 = 0{\rm{ }}(2)\end{array} \right.$.
Giải
Tách biến phương trình (1), ta được: $(1) \Leftrightarrow x - \cos x = y - \cos y$ (3).Xét hàm số $f(t) = t - \cos t \Rightarrow {f^/}(t) = 1 + \sin t > 0,{\rm{ }}\forall t \in R$.
Suy ra $(3) \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$.
Thay x = y vào (2), ta được: ${x^3} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow (x - 3)({x^2} + 3x + 6) = 0 \Leftrightarrow x = 3.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 3
\end{array} \right.$.
Chú ý:
Cách giải sau đây sai: $\left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}{\rm{ }}(1)\\
2{x^2} - xy - 1 = 0{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$.
Giải
Điều kiện: $x \ne 0,{\rm{ }}y \ne 0$.Xét hàm số $f(t) = t - \frac{1}{t},{\rm{ }}t \in R\backslash \{ 0\} \Rightarrow {f^/}(t) = 1 + \frac{1}{{{t^2}}} > 0,{\rm{ }}\forall t \in R\backslash \{ 0\} $.
Suy ra $(1) \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$!
Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0).
