Loại nghiệm không thích hợp của phương trình lượng giác

[Doremon]

Với nhiều phương trình lượng giác ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp.

Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:

1. Phương pháp loại nghiệm trực tiếp.
Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp.

Ví Dụ: Giải phương trình $\frac{{1 + \sin x}}{{\sin 4x}} = 0$ (1)

Giải​

Điều kiện sin(4x) ≠ 0 (*)
Khi đó (1) $ \Leftrightarrow 1 + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,,k \in Z$
Thay x = - π/2 + k2π vào (*) xem có thoả mãn hay không?
$\sin \left[ {4( - \frac{\pi }{2} + k2\pi )\,\,\,} \right] = \sin ( - 2\pi + k2\pi ) = sin( - 2\pi ) = 0$
Suy ra x = - π/2 + k2π không thoả mãn (*) .
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

2. Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác).

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình.

Ví Dụ: Giải phương trình: cos(x).cot(2x) = sin(x) (1)

Giải​

Điều kiện: sin(2x) ≠ 0 ↔ 2x ≠ nπ ↔ x = nπ/2 ( với n ∈ Z) (*)
Khi đó phương trình (1)
$ \Leftrightarrow \cos x\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \sin x$ ↔cos(x).cos(2x) = sin(x).sin(2x)
↔ cos(x).cos(2x) - sin(x).sin(2x) = 0
↔ cos(3x) = 0 ↔ 3x = π/2 + kπ
↔ x = π/6 + kπ/3 (với k∈Z) (**)
Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác.

Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là $\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\
x = - \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z$


3. Phương pháp đại số.
Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số.

* Ví Dụ: Giải phương trình: $\frac{{\cos 8x}}{{\sin 4x}} = 0\,\,\,\,\,(1)$

Giải​

Điều kiện sin(4x) ≠ 0 ↔ 4x ≠ nπ (với n ∈ Z)
Khi đó (1) $ \Leftrightarrow \cos 8x = 0 \Leftrightarrow 8x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{8}\,\,\,\,\,\,\,\,,k \in Z$
Gía trị này là nghiệm của (1) nếu $\frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{8}\,\, \ne n\frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 1 + 2k \ne 4n$
Điều này đúng vì 1 + 2k là số lẻ còn 4n là số chẵn
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{8}\,,k \in Z$

Bài tập rèn luyện

Bài tập 1: Tìm các nghiệm thuộc [π/2; 3π] của phương trình $\sin (2x + \frac{{5\pi }}{2}) - 3\cos (x - \frac{{7\pi }}{2}) = 1 + 2\sin x$
Bài tập 2: Giải phương trình: $\frac{{\sin x.\cot 5x}}{{\cot 9x}} = 1$
Bài tập 3: Giải phương trình: $\frac{{\cos x - 2\sin x.\cos x}}{{2{{\cos }^2}x - \sin x - 1}} = \sqrt 3 $
Bài tập 4: Giải phương trình: $\frac{{\sin 5x}}{{5\sin x}} = 1$
Bài tập 5: Giải phương trình: $1 + \cot 2x = \frac{{1 - \cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}}$
Bài tập 6: Giải phương trình: sin(3x) = cos(x).cos(2x).[tan$^2$(x) + tan(2x)]