II. Trắc nghiệm về Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Logarit Bằng Phương Pháp đưa Về Cùng Cơ Số.
Câu 1:
Giải phương trình \({\log _5}\left( {2x - 3} \right) = 5\)
A. x = 3128
B. x = 1564
C. x = 4
D. x = 2
Hướng dẫn
Phương trình \(\Leftrightarrow 2x - 3 = {5^5} \Leftrightarrow x = 1564\).
Đáp án B.
Câu 2:
Giải bất phương trình \(\log \left( {2{x^2} - 4x} \right) > 1\)
A. \(x > 1 + \sqrt 6\) hoặc \(x < 1 - \sqrt 6\)
B. \(x \in \left( {1 - \sqrt 6 ;1 + \sqrt 6 } \right)\)
C. \(x < 1 + \sqrt 6\)
D. \(x > 1 - \sqrt 6\)
Hướng dẫn
Phân tích: Điều kiện \(\left[ \begin{array}{l} x < 0\\ x > 2 \end{array} \right.\)
Khi đó bất phương trình
\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x > 10 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1 + \sqrt 6 \\ x < 1 - \sqrt 6 \end{array} \right.\)
Chọn đáp án A.
Câu 3:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình: \(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2\).
A. \(S = \left( {1;2} \right)\)
B. \(S = \left( { - \frac{1}{2};2} \right)\)
C. \(S = \left( {1;2} \right]\)
D. \(S = \left[ {1;2} \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện: x > 1
\(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)} \right] \le 1\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le x \le 2\)
Kết hợp điều kiện \(\Rightarrow S = \left( {1;2} \right]\)
Câu 4:
Tìm tập nghiệm bất phương trình: \({\log _3}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < 1\)
A. \(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\backslash \left( { - \frac{3}{{2\sqrt 2 }};\frac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right)\)
B. \(\left( { - \sqrt 2 ; - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{2\sqrt 2 }};\sqrt 2 } \right)\)
C. \(\left| x \right| > \sqrt 2 ;\left| x \right| < \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\)
D. \(\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\frac{3}{{2\sqrt 2 }}; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
\({\log _3}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < 1 \Leftrightarrow {\log _3}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _3}3\)
\(\Leftrightarrow 0 < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < 3 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow 1 > {x^2} - 1 > \frac{1}{8} \Leftrightarrow 2 > {x^2} > \frac{9}{8} \Leftrightarrow \sqrt 2 > \left| x \right| > \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\)
Với biểu thức cuối thì ta suy ra đáp án đúng là B.
Câu 5:
Giải phương trình \({\log _x}\left( {{x^2} + 3x + 5} \right) = 2{\rm{ }}\).
A. \(x = \frac{5}{3}\)
B. Phương trình VN
C. \(x = \frac{{ - 3}}{5}\)
D. \(x = \frac{{ - 5}}{3}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3x + 5 > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1\)
Phương trình \(\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 5 = {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{ - 5}}{3}\).
Thay vào điều kiện ban đầu thì thỏa mãn, nên ta chọn đáp án D.
Ở đây ta cũng có thể thay vào để thử nghiệm .
Câu 6:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge - 1\).
A. \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(x \in \left[ {0;2} \right)\)
C. \(x \in \left[ {0;2} \right) \cup \left( {3;7} \right]\)
D. \(\left[ {0;1} \right) \cup \left( {2;3} \right]\)
Hướng dẫn
Điều kiện \(\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 2\\ x < 1 \end{array} \right.\)
Chú ý hệ số a logarit \(0 < a < 1\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \le 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\)
Kết hợp điều kiện chọn C
Câu 7:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{0.8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0.8}}\left( { - 2x + 4} \right)\).
A. \(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(S = ( - 4;1)\)
C. \(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\)
D. Một kết quả khác.
Hướng dẫn
Điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x > 0\\ - 2x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \vee x < - 1\\ x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ 0 < x < 2 \end{array} \right.\)
\({\log _{0.8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0.8}}\left( { - 2x + 4} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x > - 2x + 4\\ - 2x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ x > 1 \end{array} \right.\\ x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ 1 < x < 2 \end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\).
Câu 8:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({7^{\log x}} + {x^{\log 7}} > 98\).
A. \(S = \left( { - \infty ;100} \right)\)
B. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {100; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Ta có:
\({x^{\log 7}} = {7^{\log x}}\)
\({7^{\log x}} + {x^{\log 7}} > 98 \Leftrightarrow {7^{\log x}} > 49 \Leftrightarrow \log x > 2 \Leftrightarrow {x^2} > {10^2} = 100.\)
Câu 9:
Tính tích các nghiệm của phương trình \({\log _x}\left( {125x} \right){\log _{25}}^2x = 1\).
A. \(\frac{7}{{125}}\)
B. \(\frac{1}{{125}}\)
C. \(\frac{630}{{625}}\)
D. 630
Hướng dẫn
Điều kiện: \(0 < x \ne 1\)
\(\begin{array}{l} {\log _x}\left( {125x} \right)\log _{25}^2x = 1\\ \Leftrightarrow \left( {3{{\log }_x}5 + 1} \right){\left( {\frac{1}{2}{{\log }_5}x} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \log _5^2x + 3{\log _5}x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _5}x = 1\\ {\log _5}x = - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 5\\ x = \frac{1}{{625}} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy tích hai nghiệm là \(\frac{1}{125}\).
Câu 10:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5\)
A. \(S= \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
B. \(S= \left[ { - 2;1} \right]\)
C. \(S= \left[ { - 1;2} \right]\)
D. \(S= \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)
\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy: \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Câu 11:
Phương trình \({\log _2}\left( {4x} \right) - {\log _{\frac{x}{2}}}2 = 3\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 nghiệm
B. Vô nghiệm
C. 2 nghiệm
D. 3 nghiệm
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 4x > 0\\ x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right.\)
Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với :
\({\log _2}4 + {\log _2}x - 2{\log _x}2 = 3\)
\(\Rightarrow {\log _2}x - \frac{2}{{{{\log }_2}x}} - 1 = 0 \Rightarrow \log _2^2x - {\log _2}x - 2 = 0\). .
\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 2\\ {\log _2}x = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Câu 12:
Giải bất phương trình \({\log _{0,5}}\left( {4x + 11} \right) < {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)\).
A. \(x \in \left( { - 3;1} \right)\)
B. \(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( { - 2;1} \right)\)
D. \(x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 6x + 8 > 0\\ 4x + 11 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ x > 2 \end{array} \right.\\ x > \frac{{ - 11}}{4} \end{array} \right. \Rightarrow x > - 2\)
Với điều kiện trên, ta biến đổi tương đương bất phương trình như sau>
\({\log _{0,5}}\left( {4x + 11} \right) < {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)\)
\(\Leftrightarrow 4x + 11 > {x^2} + 6x + 8 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 < 0\)
\(\Leftrightarrow - 3 < x < 1\)
Kết hợp điều kiện ta có: tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 2;1} \right)\).
Câu 13:
Giải bất phương trình: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) > 0\).
A. \(x \in \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( {2;3} \right)\)
D. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\)
Hướng dẫn
Ta có: \({x^2} - 5x + 7 > 0,\forall x \in R\), do đó:
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 7 < 1\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3.\)
Câu 14:
Bất phương trình \({\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\) tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?
A. \(2{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\)
B. \({\log _{\frac{4}{{25}}}}x + {\log _{\frac{4}{{25}}}}1 \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\)
C. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\)
D. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{4}{{25}}}}x\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\\ \Leftrightarrow lo{g_{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x \end{array}\)
Câu 15:
Giải phương trình \({\log _3}\left( {{x^3} + 3x + 4} \right) = {\log _3}8\).
A. x=-4
B. x=1
C. x=1 hoặc x=-4
D. Phương trình vô nghiệm
Hướng dẫn
Điều kiện \({x^3} + 3x + 4 > 0\).
Phương trình \(\Leftrightarrow {x^3} + 3x + 4 = 8\)\(\Leftrightarrow {x^3} + 3x - 4 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = - 4} \end{array}} \right.\) .
Thử lại thì chỉ thấy x=1 thỏa mãn.
Câu 16:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log \left( {4x} \right)\).
A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {0;1} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{3};1} \right)\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} \log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log \left( {4x} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x > 0\\ 3{x^2} + 1 > 4x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 3{x^2} - 4x + 1 > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \left[ \begin{array}{l} x < \frac{1}{3}\\ x > 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \end{array}\)
Câu 17:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + {\log _{\left( {1 + {3^x}} \right)}}2 - 2 > 0\).
A. \(\left( {0, + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ,0} \right)\)
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
D. \(\mathbb{R}\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + {\log _{\left( {1 + {3^x}} \right)}}2 - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {1 + {3^x}} \right)}} - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}^2\left( {1 + {3^x}} \right) - 2{\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\log }_2}\left( {1 + {3^x}} \right) - 1} \right]^2} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) - 1 \ne 0\\ \Leftrightarrow 1 + {3^x} \ne 2 \Leftrightarrow x \ne 0 \end{array}\)
Câu 18:
Tìm tập nghiệm S của phương trình {\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x).
A. \(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {0;2.3^{50}}} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {0} \right\}\)
D. \(S = \mathbb{R}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:
\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)
Câu 19:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2.\)
A. \(S = \left( {1;2} \right)\)
B. \(S = \left( { - \frac{1}{2};2} \right)\)
C. \(S = \left[ {1;2} \right]\)
D. \(S = \left( {1;2} \right]\)
Hướng dẫn
Điều kiện x>1.
Khi đó ta có:
\(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)} \right] \le 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le x \le 2 \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta được \(x \in \left( {1;2} \right]\)
Câu 20:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > - 1.\)
A. \(x < 4\)
B. \(x > \frac{3}{2}\)
C. \(4 > x > \frac{3}{2}\)
D. \(x>4\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > - 1 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}5\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x - 3 > 0}\\ {2x - 3 < 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > \frac{3}{2}}\\ {x < 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 4 > x > \frac{3}{2}. \end{array}\)
Câu 21:
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\)
A. \(2 < x < 3\)
B. \(1 < x < 2\)
C. \(2 < x < 5\)
D. \(-4 < x < 3\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(2 < x < 5\)(*)
Khi đó ta có:
\({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{5 - x}} < \frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x - 12}}{{\left( {5 - x} \right)\left( {x - 2} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ 2 < x < 3\\ x > 5 \end{array} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện (*) ta được: \(2 < x < 3.\)
Câu 22:
Cho phương trình \({\log _2}{x^2} = {\log _2}{(2x + 1)^2}\). Nhận xét nào sau đây là đúng?
A. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
B. Phương trình đã cho vô nghiệm.
C. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(x=-1\)
D. Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(x=-\frac{4}{3}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(x \ne 0;\,x \ne - \frac{1}{2}.\) Khi đó:
\({\log _2}{x^2} = {\log _2}{(2x + 1)^2} \Leftrightarrow {x^2} = {(2x + 1)^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 = x}\\ {2x + 1 = - x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = - \frac{1}{3}} \end{array}} \right.\)
Câu 23:
Phương trình \({\log _4}({\log _2}x) + {\log _2}({\log _4}x) = 2\) có bao nhiêu nghiệm.
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}x > 0\\ {\log _4}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.\)
\(\begin{array}{l} {\log _4}({\log _2}x) + {\log _2}({\log _4}x) = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}({\log _2}x) + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}({\log _2}x) + {\log _2}({\log _2}x) - 1 = 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}({\log _2}x) = 2 \Leftrightarrow {\log _2}x = 4 \Leftrightarrow x = 16 \end{array}\)
Câu 24:
Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _2}{x^2} = {\log _2}9x.\)
A. \(x = \sqrt 6\)
B. \(x =3\)
C. \(x = 6\)
D. \(x = \sqrt 3\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}x + {\log _2}{x^2} = {\log _2}9x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}{x^3} = {\log _2}9x \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {x^3} - 9x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3. \end{array}\)
Câu 25:
Phương trình \({\log _2}\left| {x - 2} \right| + {\log _2}\left| {x + 5} \right| + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0\) có bao nhiêu nghiệm dương?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
Hướng dẫn
\({\log _2}\left| {(x - 2)(x + 5)} \right| - {\log _2}8 = 0 \Leftrightarrow \left| {(x - 2)(x + 5)} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {(x - 2)(x + 5) = 8}\\ {(x - 2)(x + 5) = - 8} \end{array}} \right.\)
Với \((x - 2)(x + 5) = 8 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 6 \end{array} \right.\)
Với \((x - 2)(x + 5) = - 8 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {17} }}{2}\)
Câu 26:
Phương trình \(\log (x - 3) + \log (x - 2) = 1 - \log 5\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} \log (x - 3) + \log (x - 2) = 1 - \log 5\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \log (x - 3)(x - 2) = \log 10 - \log 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ \log (x - 3)(x - 2) = \log 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ (x - 3)(x - 2) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ {x^2} - 5x + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4 \end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=4.
Câu 27:
Phương trình \(\log (\log x) + \log (\log {x^3} - 2) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} \log (\log x) + \log (\log {x^3} - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \log {x^3} - 2 > 0\\ \log x > 0 \end{array}\\ {\log x.(\log {x^3} - 2) = 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \log {x^3} > 2\\ x > 1 \end{array}\\ {3{{(\log x)}^2} - 2\log x - 1 = 0} \end{array}} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \sqrt[3]{{100}}\\ (\log x - 1)(3\log x + 1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log x = 1\\ \log x = - \frac{1}{3} < 0\,\,(Loai) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \log x = 1 \Leftrightarrow x = 10. \end{array}\)
Câu 28:
Cho phương trình {\log _2}({x^2} + 3x + 2) + {\log _2}({x^2} + 7x + 12) = 3 + {\log _2}3. Đặt \(t=x^2+5x\) phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?
A. \(t^2+10t=0\)
B. \(t^2+10t-24=0\)
C. \(t^2+5t=0\)
D. \(t^2+5t-12=0\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3x + 2 > 0\\ {x^2} + 7x + 12 > 0 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} + 3x + 2) + {\log _2}({x^2} + 7x + 12) = 3 + {\log _2}3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {({x^2} + 3x + 2)({x^2} + 7x + 12)} \right] = {\log _2}24\\ \Leftrightarrow ({x^2} + 3x + 2)({x^2} + 7x + 12) = 24\\ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24\\ \Leftrightarrow \left[ {(x + 1)(x + 4)} \right].\left[ {(x + 2)(x + 3)} \right] = 24\\ \Leftrightarrow ({x^2} + 5x + 4)({x^2} + 5x + 6) - 24 = 0\\ \Leftrightarrow {({x^2} + 5x)^2} + 10({x^2} + 5x) = 0 \end{array}\)
Vậy đặt: \(t = {x^2} + 5x\) phương trình trở thành: \({t^2} + 10t = 0.\)
Câu 29:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}(2x - 1).\)
A. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\)
D. \(S = \left( { - 1;2} \right)\)
Hướng dẫn
ĐK: \(x>\frac{1}{2}\). Khi đó:
Do \(0<\frac{1}{2}<1\) nên: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1 \Leftrightarrow x < 2\)
Kết hợp điều kiện xác định suy ra \(\frac{1}{2} < x < 2.\)
Câu 30:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình {H_1},{H_2}, được xác định như sau:
\({H_1} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
\({H_2} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {2 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 2 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
Gọi {S_1},{S_2} lần lượt là diện tích của các hình {H_1},{H_2}. Tính tỉ số \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}.
A. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 99\)
B. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 101\)
C. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 102\)
D. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 100\)
Hướng dẫn
\({H_1} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|log\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
\(\log \left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)\)
\(\Rightarrow 1 + {x^2} + {y^2} \le 10\left( {x + y} \right)\)
\(\Rightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} \le {\left( 7 \right)^2}\)
=> H1 là hình tròn tâm (5;5) bán kính 7.
\({H_2} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {2 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 2 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
\(\Rightarrow {\left( {x - 50} \right)^2} + {\left( {y - 50} \right)^2} \le {\left( {7\sqrt {102} } \right)^2}\)
=> H2 là hình tròn tâm (50;50) bán kính \(7\sqrt {102}\)
Vậy: \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 102.\)
Câu 31:
Phương trình 2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x} có bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Hướng dẫn
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ 3 - 2x > 0 \end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset .\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 32:
Phương trình \({\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - {x^2}} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - {x^2} > 0\\ {x^3} + 3{x^2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1.\) Khi đó:
\({\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) - {\log _3}\left( {x - {x^2}} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)}}{{x - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)}}{{\left( {x - {x^2}} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} = \left( {x - {x^2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow {x^3} + 4{x^2} - x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\left( L \right)\\ x = - 2 + \sqrt 5 \\ x = - 2 - \sqrt 5 \left( L \right) \end{array} \right.\)
Câu 33:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,2}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{0,2}}\left( {3 - x} \right).\)
A. \(S = \left( { - \infty ;3} \right)\)
B. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {1;3} \right]\)
D. \(S = \left( { - 1;1} \right)\)
Hướng dẫn
ĐK: \(3 > x > - 1.\) Khi đó:
\({\log _{0,2}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{0,2}}\left( {3 - x} \right) \Leftrightarrow x + 1 < 3 - x \Leftrightarrow x < 1.\)
Câu 34:
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) > 1000.\)
A. \(x > 1 + {9^{500}}\)
B. \(x > {2^{1000}} - 1\)
C. \(x >3001\)
D. \(1<x<3001\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {x + 1 > 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ \begin{array}{l} (x - 1)(x + 1) > 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\) (*).
Khi đó \({\log _3}({x^2} - 1) + {\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1) > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} - 1) - {\log _3}(x + 1) > 1000\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}(x - 1) > 1000\\ \Leftrightarrow x - 1 > {3^{1000}} \Leftrightarrow x > 1 + {3^{1000}} \end{array}\)
Kết hợp với (*) ta được \(x > 1 + {3^{1000}}\) thỏa mãn, từ đó A là đáp án đúng vì:
\({9^{500}} = {\left( {{3^2}} \right)^{500}} = {3^{2.500}} = {3^{1000}}\)
Câu 35:
Giải bất phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) > {\log _3}\left( {4x + 1} \right).\)
A. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(x \in \left( { - \frac{1}{4};0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
D. \(x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
ĐK: \(x>\frac{1}{2}.\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) > {\log _3}\left( {4x + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{(2x - 1)^2} > {\log _3}(4x + 1)\\ \Leftrightarrow {(2x - 1)^2} > 4x + 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x > 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow 4x(x - 2) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < 0} \end{array}} \right..\)
Kết hợp với điều kiện suy ra x>2.
Câu 36:
Giải bất phương trình \({\log _2}\frac{{{2^x} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} + 2} \right).\)
A. \(x\in\mathbb{R}\)
B. x>0
C. x>1
D. \(x\geq 1\)
Hướng dẫn
ĐK: \(x\in\mathbb{R}\). Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\frac{{{2^x} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} + 2} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{2{x^2} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _2}\frac{1}{{{2^x} + 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 1}}{{{4^x} + 5}} > \frac{1}{{{2^x} + 2}} \Leftrightarrow ({2^x} + 1)({2^x} + 2) > {4^x} + 5 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {4^x} + {3.2^x} + 2 > {4^x} + 5 \Leftrightarrow {2^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\)
Câu 37:
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\)
A. 2<x<5
B. 1<x<2
C. 2<x<3
D. Đáp số khác
Hướng dẫn
Điều kiện: \(5 > x > 2.\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) - 2{\log _{{2^2}}}(5 - x) < {\log _2}2 - {\log _2}(x - 2) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{x + 1}}{{5 - x}} < {\log _2}\frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{5 - x}} < \frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < 10 - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 3}\\ {x > 4} \end{array}} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện nghiệm của BPT là: \(2<x<3\)
Câu 38:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1.\)
A. \(S = \left[ {\frac{5}{2};3} \right]\)
B. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right]\)
D. \(S = (2;3]\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 > 0\\ x - 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\) (*). Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}(2x - 1) + {\log _2}(x - 2) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {(2x - 1)(x - 2)} \right] \le 1 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow (2x - 1)(x - 2) \le {2^1} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{5}{2}\)
Kết hợp với (*) ta được \(2 < x < \frac{5}{2}\) là nghiệm của bất phương trình.
Câu 39:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1.\)
A. x>1
B. \(x\leq 5\)
C. \(1<x<5\)
D. \(2<x<5\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(1 < x < 5.\)
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{(5 - x)^2} - {\log _3}(x - 1) - {\log _3}(x + 1) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 1 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 3 \Leftrightarrow {(5 - x)^2} < 3({x^2} - 1)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 10x - 28 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < - 7} \end{array}} \right. \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện suy ra 2<x<5 là nghiệm bất phương trình.
Câu 40:
Giải bất phương trình \({\log _3}\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + {\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt {x - 2} > \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 3} \right).\)
A. \(S = \left( {3;\sqrt {10} } \right)\)
B. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {3;9)\)
D. \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0\\ {x^2} - 5x + 6 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0\\ (x - 2)(x - 3) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3.\) Khi đó:
\({\log _3}\sqrt {(x - 3)(x - 2)} - {\log _3}\sqrt {x - 2} > - {\log _3}\sqrt {x + 3}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\sqrt {(x - 3)(x - 2)} }}{{\sqrt {x - 2} }} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {x - 3} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {{x^2} - 9} > 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 9} > 1 \Leftrightarrow {x^2} > 10 \Leftrightarrow x > \sqrt {10}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right).\)
Câu 41:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right).\)
A. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\)
B. \(S = \mathbb{R}\)
C. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(x>0\). Khi đó:
\(\begin{array}{l} \log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 25 > 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x\ne 5\end{array}\)
Kết hợp điều kiện thì ta được \(x \in \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right).\)
Câu 42:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2{\rm{x}}{\rm{.}}\)
A. \(S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {2;4} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right\}\)
D. \(S = \left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: x>1. Khi đó:
\({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2{\rm{x}} \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 2 \left( {TM} \right)\\ x = 1 - \sqrt 2 \left( L \right) \end{array} \right.\)
Câu 43:
Bất phương trình {\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}(x - 1) tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. \({\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}x - {\log _{\frac{9}{4}}}1\)
B. \(2{\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
C. \({\log _{\frac{9}{4}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
D. \({\log _{\frac{3}{2}}}x \le 2{\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}(x - 1) \Leftrightarrow {\log _{\frac{3}{2}}}x \le 2{\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{9}{4}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1) \end{array}\)
Câu 44:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > 1 + {\log _2}({x^2} + 2) có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
A. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\left( {0; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( { - 1;0} \right)\)
C. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > 1 + {\log _2}({x^2} + 2),\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > {\log _2}2 + {\log _2}({x^2} + 2) ,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4 > {x^2} + 4,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - {m^2} - 2m > 0,\forall x \in \mathbb{R}\,(*) \end{array}\)(*) xảy ra khi: \(\Delta ' = 2{m^2} + 2m < 0 \Leftrightarrow m > - 1.\)
Câu 45:
Phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left| {x + 3} \right| + {\log _{\frac{5}{2}}}\left( {x + 4} \right) = 0\,\) và \(\left| {x + 3} \right| = x + 4\) là hai phương trình tương đương với điều kện nào sau đây?
A. \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
B. \(x \in \left( { - 3 + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\)
D. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {x + 3} \right| \ne 0\\ x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 3\\ x > - 4 \end{array} \right..\)
Câu 46:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt.
A. \(\frac{{ - 1}}{4} < 0 < m\)
B. \(5 \le m \le \frac{{21}}{4}\)
C. \(5 < m < \frac{{21}}{4}\)
D. \(\frac{{ - 1}}{4} \le m \le 2\)
Hướng dẫn
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2} > 0\\ x + m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\ m > 5 \end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{1 - {x^2}}}{{x + m - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {x^2} = x + m - 4 \Leftrightarrow {x^2} + x + m - 5 = 0\left( * \right) \end{array}\)
(*) có hai nghiệm phân biệt khi: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow m - 5 < \frac{1}{4} \Leftrightarrow m < \frac{{21}}{4} \Rightarrow 5 < m < \frac{{21}}{4}.\)
Câu 47:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right).\)
A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right)\)
B. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right)\)
D. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 2\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 1 > 2x + 4\left( {do\frac{3}{4} < 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right.. \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right).\)
Câu 48:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(2{\log _2}(x - 1) \le {\log _2}(5 - x) + 1.\)
A. S=[3;5]
B. S=(1;5)
C. S=(1;3]
D. S=[-3;3]
Hướng dẫn
\(2{\log _2}(x - 1) \le {\log _2}(5 - x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {\log _2}{(x - 1)^2} \le {\log _2}2(5 - x) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {(x - 1)^2} \le 2(5 - x) \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} - 2x + 1 \le 10 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} \le 9 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ 3 \ge x \ge - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \ge x > 1 \Rightarrow S = (1;3].\)
Câu 49:
Tìm số nghiệm của phương trình \({\log _2}(x + 3) = {\log _{\sqrt 2 }}x.\)
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}(x + 3) = {\log _{\sqrt 2 }}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 3 > 0,x > 3\\ {\log _2}(x + 3) - {\log _2}{x^2} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}\frac{{x + 3}}{{{x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \frac{{x + 3}}{{{x^2}}} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{3}{2} \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Câu 50:
Phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{2^x} + 1} \right) + {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = 1\) có tập nghiệm là tập nào sau đây?
A. \(\left\{ {1;2} \right\}\).
B. \(\left\{ {3;\frac{1}{9}} \right\}\).
C. \(\left\{ {\frac{1}{3};9} \right\}\).
D. \(\left\{ {0;1} \right\}\).
Hướng dẫn
\({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{2^x} + 1} \right) + {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}\left( {{2^x} + 1} \right)\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = {\log _3}\left[ {3\left( {{2^x} + 1} \right)} \right]\)\(\Leftrightarrow {4^x} + 5 = 3\left( {{2^x} + 1} \right)\)
\(\Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {3.2^x} + 2 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^x} = 1\\ {2^x} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Câu 51:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right).\)
A. \(S = \left( {1;\frac{6}{5}} \right)\)
B. \(S = \left( {\frac{2}{3};1} \right)\)
C. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{2}{3};\frac{6}{5}} \right)\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x > 0\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8x > 8}\\ {6 > 5x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1}\\ {x < \frac{6}{5}} \end{array}} \right. \end{array}\)
Vậy tập nghiệm của BPT là: \(\left( {1;\frac{6}{5}} \right).\)
Câu 52:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _2}x \ge 2.\)
A. \(S = \left( {3;4} \right].\)
B. \(S = \left[ {4; + \infty } \right).\)
C. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)
D. \(S = \left( {3; + \infty } \right).\)
Hướng dẫn
Điều kiện: x>3.
Khi đó bất phương trình trở thành \({\log _2}\left[ {x\left( {x - 3} \right)} \right] \ge 2.\)
\(\Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 4\\ x \le - 1 \end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện, vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {4; + \infty } \right).\)
Câu 53:
Tìm m để bất phương trình \(1 + {\log _5}({x^2} + 1) \ge {\log _5}(m{x^2} + 4x + m)\)thỏa mãn với mọi \(x\in \mathbb{R}.\)
A. \(- 1 < m \le 0\)
B. \(- 1 < m < 0\)
C. \(2 < m \le 3\)
D. \(2 < m < 3\)
Hướng dẫn
Phương nghiệm đúng với \(\forall x \in\mathbb{R}\) nên
\(m{x^2} + 4x + m > 0\;(\forall x \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0}\\ {\Delta ' = 4 - {m^2} < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow m \in (2; + \infty )\)
Khi đó \(\log 5 + \log ({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})\)
\(\Leftrightarrow \log 5({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})\)
\(\Leftrightarrow 5({x^2} + 1) \ge m{x^2} + 4x + m\;(\forall x \in ) \Leftrightarrow (5 - m){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0\;(\forall x \in \mathbb{R})\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5 - m > 0}\\ {\Delta = 4 - {{(5 - m)}^2} \le 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le 3\)
Vậy \(2 < m \le 3\) thỏa yêu cầu của đề bài.
Câu 54:
Tìm số nghiệm của phương trình là \({\log _2}({x^2} - 3) - {\log _2}(6x - 10) + 1 = 0.\)
A. Vô nghiệm.
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 3) - {\log _2}(6x - 10) + 1 = 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 3 > 0}\\ {6x - 10 > 0}\\ {{{\log }_2}\frac{{{x^2} - 3}}{{6x - 10}} = - 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \sqrt 3 }\\ {\frac{{{x^2} - 3}}{{6x - 10}} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \sqrt 3 }\\ {2{x^2} - 6x + 4 = 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \sqrt 3 }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Rightarrow x = 2 \end{array}\)
Câu 55:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right).\)
A. \(S=(1;4)\)
B. \(S=(-1;2)\)
C. \(S=(5;+\infty )\)
D. \(S=(-\infty ;1)\)
Hướng dẫn
Điều kiện x>-1. Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _4}(x + 7) > {\log _2}(x + 1) \Leftrightarrow {\log _{{2^2}}}(x + 7) > {\log _2}(x + 1)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}(x + 7) > {\log _2}(x + 1) \Leftrightarrow x + 7 > {(x + 1)^2} \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 2) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2\)
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: \(S=(-1;2)\)
Câu 56:
Nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {x + 1} \le 0\) là:
A. \( - 1 \le x \le 0\)
B. \( - 1 < x \le 0\)
C. \( - 1 < x \le 1\)
D. \(x \le 0\)
Hướng dẫn
ĐK:\(x > - 1\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {x + 1} \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\sqrt {x + 1} \le 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 1} }} \le 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0\)
Do đó nghiệm của BPT là: \( - 1 < x \le 0.\)
Câu 57:
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _4}\left( {x - 2} \right) = 2\).
A. \(S = \left\{ {16} \right\}\).
B. \(S = \left\{ {18} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {10} \right\}\).
D. \(S = \left\{ {14} \right\}\).
Hướng dẫn
\({\log _4}\left( {x - 2} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\{\log _4}\left( {x - 2} \right) = {\log _4}{4^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x - 2 = {4^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 18\).
Câu 58:
Nghiệm của bất phương trình \({\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) < {\log _2}\left( {2x + 3} \right)\) là
A. \(x < - \frac{3}{2}\).
B. \(x > - \frac{3}{2}\).
C. \( - 1 < x < 0\) hoặc \(x > 0\).
D. \( - \frac{3}{2} < x \le - 1\) .
Hướng dẫn
Điều kiện xác định: \(x \in \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\({\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) < {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 3} \right) \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} - {\log _2}\left( {x + 2} \right) < {\log _2}\left( {2x + 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < {\log _2}\left( {2x + 3} \right) + {\log _2}\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < {\log _2}\left( {\left( {2x + 3} \right).\left( {x + 2} \right)} \right) \Leftrightarrow {x^2} < 2{x^2} + 7x + 6 \Leftrightarrow x > - 1\)
So với điều kiện \(x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
Câu 59:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 3} \right)\)
A. \(S = \left( { - \frac{3}{2}; - 1} \right]\).
B. \(S = \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right]\).
C. \(S = \left[ { - 1; + \infty } \right)\).
D. \(S = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} - {\log _2}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _2}{\left( {2x + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 2} \right)}} \ge {(2x + 3)^2} \Leftrightarrow - 2 < x \le - 1\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \frac{3}{2}; - 1} \right]\).
Câu 60:
Bất phương trình \({\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\) tương đương với bất phương trình nào dưới đây
A. \(2{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\).
B. \({\log _{\frac{4}{{25}}}}x + {\log _{\frac{4}{{25}}}}1 \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\).
C. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\).
D. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{4}{{25}}}}x\).
Hướng dẫn
\({\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\)
Câu 61:
Tập nghiệm của bất phương trình\({\log _{0,8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0,8}}\left( { - 2x + 4} \right).\)
A. \(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
B. \(\left( { - 4;1} \right)\).
C. \(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\).
D. \Một kết quả khác.
Hướng dẫn
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x > 0\\ - 2x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1;x > 0\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;2} \right)\)
\({\log _{0,8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0,8}}\left( { - 2x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} + x > - 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 > 0 \Leftrightarrow x < - 4,x > 1.\)
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là\(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\).
Câu 62:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,2}}\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right) \le {\log _{0,2}}\left( {2{{\rm{x}}^2} + x + 2} \right)\) chứa bao nhiêu số nguyên?
A. 3
B. 5
C. 2
D. 4
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l}{\log _{0,2}}\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right) \le {\log _{0,2}}\left( {2{{\rm{x}}^2} + x + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 3{\rm{x}} + 5 \ge 2{{\rm{x}}^2} + x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3.\end{array}\)
Câu 63:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 - 2x} \right).\)
A. \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\)
B. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {1;2} \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 > 0}\\{5 - 2x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 - 2x} \right) \Leftrightarrow x - 1 < 5 - 2x \Leftrightarrow x < 2\).
Kết hợp với điều kiện suy ra \(S = \left( {1;2} \right)\)
Câu 64:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\frac{{\log \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\log \left( {1 - x} \right)}} \le 1.\)
A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right)\)
B. \(S = \left[ { - 2; - 1} \right)\)
C. \(S = \left[ { - 2;1} \right)\)
D. \(S = \left[ { - 2; - 1} \right]\)
Hướng dẫn
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 > 0}\\{1 - x > 0}\\{\log \left( {1 - x} \right) \ne 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < - 1}\end{array}} \right.}\\{x < 1}\\{1 - x \ne 1}\end{array}} \right. \Rightarrow x < - 1\)
Ta có \(\frac{{\log \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\log \left( {1 - x} \right)}} \le 1 \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} - 1} \right) \le \log \left( {1 - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 1 \le 1 - x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 0.\)
Kết hợp với điều kiện ta suy ra \(S = \left[ { - 2; - 1} \right).\)
Câu 65:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {3{\rm{x}} - 3} \right).\)
A. \(S = \left( {1;2} \right).\)
B. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
D. \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {3{\rm{x}} - 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 > 0\\3{\rm{x}} - 3 > 0\\{x^2} - 1 > 3{\rm{x}} - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} - 3{\rm{x}} + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x > 2 \Leftrightarrow S = \left( {2; + \infty } \right).\end{array}\)
Câu 66:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3.\)
A. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\)
C. \(S = \left\{ 3 \right\}\)
D. \(S = \left\{ { - \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 > 0}\\{x + 1 > 0}\\{{{\log }_2}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = 3}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{{x^2} - 1 = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = - 3}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow x = 3 \Leftrightarrow S = \left\{ 3 \right\}} \right.} \right..\end{array}\)
Câu 67:
Tìm tập nghiệm T của bất phương trình \(\log {{\rm{x}}^2} > \log \left( {4{\rm{x}} - 4} \right).\)
A. \(T = \left( {2; + \infty } \right).\)
B. \(T = \left( {1; + \infty } \right).\)
C. \(T = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
D. \(T = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Hướng dẫn
\(\log {{\rm{x}}^2} > \log \left( {4{\rm{x}} - 4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\4{\rm{x}} - 4 > 0\\{x^2} > 4{\rm{x}} - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x > 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow T = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Câu 68:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}2\) là:
A. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
C. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
D. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1 > 0}\\{{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {{\log }_{\frac{1}{2}}}4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1 > 0}\\{2x - 1 < 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
Câu 1:
Giải phương trình \({\log _5}\left( {2x - 3} \right) = 5\)
A. x = 3128
B. x = 1564
C. x = 4
D. x = 2
Hướng dẫn
Phương trình \(\Leftrightarrow 2x - 3 = {5^5} \Leftrightarrow x = 1564\).
Đáp án B.
Câu 2:
Giải bất phương trình \(\log \left( {2{x^2} - 4x} \right) > 1\)
A. \(x > 1 + \sqrt 6\) hoặc \(x < 1 - \sqrt 6\)
B. \(x \in \left( {1 - \sqrt 6 ;1 + \sqrt 6 } \right)\)
C. \(x < 1 + \sqrt 6\)
D. \(x > 1 - \sqrt 6\)
Hướng dẫn
Phân tích: Điều kiện \(\left[ \begin{array}{l} x < 0\\ x > 2 \end{array} \right.\)
Khi đó bất phương trình
\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 4x > 10 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1 + \sqrt 6 \\ x < 1 - \sqrt 6 \end{array} \right.\)
Chọn đáp án A.
Câu 3:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình: \(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2\).
A. \(S = \left( {1;2} \right)\)
B. \(S = \left( { - \frac{1}{2};2} \right)\)
C. \(S = \left( {1;2} \right]\)
D. \(S = \left[ {1;2} \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện: x > 1
\(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)} \right] \le 1\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le x \le 2\)
Kết hợp điều kiện \(\Rightarrow S = \left( {1;2} \right]\)
Câu 4:
Tìm tập nghiệm bất phương trình: \({\log _3}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < 1\)
A. \(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\backslash \left( { - \frac{3}{{2\sqrt 2 }};\frac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right)\)
B. \(\left( { - \sqrt 2 ; - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{2\sqrt 2 }};\sqrt 2 } \right)\)
C. \(\left| x \right| > \sqrt 2 ;\left| x \right| < \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\)
D. \(\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\frac{3}{{2\sqrt 2 }}; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
\({\log _3}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < 1 \Leftrightarrow {\log _3}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _3}3\)
\(\Leftrightarrow 0 < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < 3 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow 1 > {x^2} - 1 > \frac{1}{8} \Leftrightarrow 2 > {x^2} > \frac{9}{8} \Leftrightarrow \sqrt 2 > \left| x \right| > \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\)
Với biểu thức cuối thì ta suy ra đáp án đúng là B.
Câu 5:
Giải phương trình \({\log _x}\left( {{x^2} + 3x + 5} \right) = 2{\rm{ }}\).
A. \(x = \frac{5}{3}\)
B. Phương trình VN
C. \(x = \frac{{ - 3}}{5}\)
D. \(x = \frac{{ - 5}}{3}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3x + 5 > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1\)
Phương trình \(\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 5 = {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{ - 5}}{3}\).
Thay vào điều kiện ban đầu thì thỏa mãn, nên ta chọn đáp án D.
Ở đây ta cũng có thể thay vào để thử nghiệm .
Câu 6:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge - 1\).
A. \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(x \in \left[ {0;2} \right)\)
C. \(x \in \left[ {0;2} \right) \cup \left( {3;7} \right]\)
D. \(\left[ {0;1} \right) \cup \left( {2;3} \right]\)
Hướng dẫn
Điều kiện \(\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 2\\ x < 1 \end{array} \right.\)
Chú ý hệ số a logarit \(0 < a < 1\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \le 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\)
Kết hợp điều kiện chọn C
Câu 7:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{0.8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0.8}}\left( { - 2x + 4} \right)\).
A. \(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(S = ( - 4;1)\)
C. \(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\)
D. Một kết quả khác.
Hướng dẫn
Điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x > 0\\ - 2x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0 \vee x < - 1\\ x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ 0 < x < 2 \end{array} \right.\)
\({\log _{0.8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0.8}}\left( { - 2x + 4} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x > - 2x + 4\\ - 2x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ x > 1 \end{array} \right.\\ x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ 1 < x < 2 \end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\).
Câu 8:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({7^{\log x}} + {x^{\log 7}} > 98\).
A. \(S = \left( { - \infty ;100} \right)\)
B. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {100; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Ta có:
\({x^{\log 7}} = {7^{\log x}}\)
\({7^{\log x}} + {x^{\log 7}} > 98 \Leftrightarrow {7^{\log x}} > 49 \Leftrightarrow \log x > 2 \Leftrightarrow {x^2} > {10^2} = 100.\)
Câu 9:
Tính tích các nghiệm của phương trình \({\log _x}\left( {125x} \right){\log _{25}}^2x = 1\).
A. \(\frac{7}{{125}}\)
B. \(\frac{1}{{125}}\)
C. \(\frac{630}{{625}}\)
D. 630
Hướng dẫn
Điều kiện: \(0 < x \ne 1\)
\(\begin{array}{l} {\log _x}\left( {125x} \right)\log _{25}^2x = 1\\ \Leftrightarrow \left( {3{{\log }_x}5 + 1} \right){\left( {\frac{1}{2}{{\log }_5}x} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \log _5^2x + 3{\log _5}x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _5}x = 1\\ {\log _5}x = - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 5\\ x = \frac{1}{{625}} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy tích hai nghiệm là \(\frac{1}{125}\).
Câu 10:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5\)
A. \(S= \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
B. \(S= \left[ { - 2;1} \right]\)
C. \(S= \left[ { - 1;2} \right]\)
D. \(S= \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)
\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy: \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Câu 11:
Phương trình \({\log _2}\left( {4x} \right) - {\log _{\frac{x}{2}}}2 = 3\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 nghiệm
B. Vô nghiệm
C. 2 nghiệm
D. 3 nghiệm
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 4x > 0\\ x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ x \ne 1 \end{array} \right.\)
Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với :
\({\log _2}4 + {\log _2}x - 2{\log _x}2 = 3\)
\(\Rightarrow {\log _2}x - \frac{2}{{{{\log }_2}x}} - 1 = 0 \Rightarrow \log _2^2x - {\log _2}x - 2 = 0\). .
\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 2\\ {\log _2}x = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Câu 12:
Giải bất phương trình \({\log _{0,5}}\left( {4x + 11} \right) < {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)\).
A. \(x \in \left( { - 3;1} \right)\)
B. \(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( { - 2;1} \right)\)
D. \(x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 6x + 8 > 0\\ 4x + 11 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ x > 2 \end{array} \right.\\ x > \frac{{ - 11}}{4} \end{array} \right. \Rightarrow x > - 2\)
Với điều kiện trên, ta biến đổi tương đương bất phương trình như sau>
\({\log _{0,5}}\left( {4x + 11} \right) < {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)\)
\(\Leftrightarrow 4x + 11 > {x^2} + 6x + 8 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 < 0\)
\(\Leftrightarrow - 3 < x < 1\)
Kết hợp điều kiện ta có: tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 2;1} \right)\).
Câu 13:
Giải bất phương trình: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) > 0\).
A. \(x \in \left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( {2;3} \right)\)
D. \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\)
Hướng dẫn
Ta có: \({x^2} - 5x + 7 > 0,\forall x \in R\), do đó:
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 7 < 1\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3.\)
Câu 14:
Bất phương trình \({\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\) tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?
A. \(2{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\)
B. \({\log _{\frac{4}{{25}}}}x + {\log _{\frac{4}{{25}}}}1 \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\)
C. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\)
D. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{4}{{25}}}}x\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\\ \Leftrightarrow lo{g_{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x \end{array}\)
Câu 15:
Giải phương trình \({\log _3}\left( {{x^3} + 3x + 4} \right) = {\log _3}8\).
A. x=-4
B. x=1
C. x=1 hoặc x=-4
D. Phương trình vô nghiệm
Hướng dẫn
Điều kiện \({x^3} + 3x + 4 > 0\).
Phương trình \(\Leftrightarrow {x^3} + 3x + 4 = 8\)\(\Leftrightarrow {x^3} + 3x - 4 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = - 4} \end{array}} \right.\) .
Thử lại thì chỉ thấy x=1 thỏa mãn.
Câu 16:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log \left( {4x} \right)\).
A. \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {0;1} \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{1}{3};1} \right)\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} \log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log \left( {4x} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x > 0\\ 3{x^2} + 1 > 4x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 3{x^2} - 4x + 1 > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \left[ \begin{array}{l} x < \frac{1}{3}\\ x > 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \end{array}\)
Câu 17:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + {\log _{\left( {1 + {3^x}} \right)}}2 - 2 > 0\).
A. \(\left( {0, + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ,0} \right)\)
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
D. \(\mathbb{R}\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + {\log _{\left( {1 + {3^x}} \right)}}2 - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {1 + {3^x}} \right)}} - 2 > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}^2\left( {1 + {3^x}} \right) - 2{\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\log }_2}\left( {1 + {3^x}} \right) - 1} \right]^2} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + {3^x}} \right) - 1 \ne 0\\ \Leftrightarrow 1 + {3^x} \ne 2 \Leftrightarrow x \ne 0 \end{array}\)
Câu 18:
Tìm tập nghiệm S của phương trình {\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x).
A. \(S = \left\{ {0;1} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {0;2.3^{50}}} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {0} \right\}\)
D. \(S = \mathbb{R}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:
\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)
Câu 19:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2.\)
A. \(S = \left( {1;2} \right)\)
B. \(S = \left( { - \frac{1}{2};2} \right)\)
C. \(S = \left[ {1;2} \right]\)
D. \(S = \left( {1;2} \right]\)
Hướng dẫn
Điều kiện x>1.
Khi đó ta có:
\(2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)} \right] \le 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le x \le 2 \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta được \(x \in \left( {1;2} \right]\)
Câu 20:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > - 1.\)
A. \(x < 4\)
B. \(x > \frac{3}{2}\)
C. \(4 > x > \frac{3}{2}\)
D. \(x>4\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > - 1 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}5\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x - 3 > 0}\\ {2x - 3 < 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > \frac{3}{2}}\\ {x < 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 4 > x > \frac{3}{2}. \end{array}\)
Câu 21:
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\)
A. \(2 < x < 3\)
B. \(1 < x < 2\)
C. \(2 < x < 5\)
D. \(-4 < x < 3\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(2 < x < 5\)(*)
Khi đó ta có:
\({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{5 - x}} < \frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x - 12}}{{\left( {5 - x} \right)\left( {x - 2} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ 2 < x < 3\\ x > 5 \end{array} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện (*) ta được: \(2 < x < 3.\)
Câu 22:
Cho phương trình \({\log _2}{x^2} = {\log _2}{(2x + 1)^2}\). Nhận xét nào sau đây là đúng?
A. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
B. Phương trình đã cho vô nghiệm.
C. Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là \(x=-1\)
D. Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(x=-\frac{4}{3}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(x \ne 0;\,x \ne - \frac{1}{2}.\) Khi đó:
\({\log _2}{x^2} = {\log _2}{(2x + 1)^2} \Leftrightarrow {x^2} = {(2x + 1)^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 = x}\\ {2x + 1 = - x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = - \frac{1}{3}} \end{array}} \right.\)
Câu 23:
Phương trình \({\log _4}({\log _2}x) + {\log _2}({\log _4}x) = 2\) có bao nhiêu nghiệm.
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}x > 0\\ {\log _4}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.\)
\(\begin{array}{l} {\log _4}({\log _2}x) + {\log _2}({\log _4}x) = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}({\log _2}x) + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}({\log _2}x) + {\log _2}({\log _2}x) - 1 = 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}({\log _2}x) = 2 \Leftrightarrow {\log _2}x = 4 \Leftrightarrow x = 16 \end{array}\)
Câu 24:
Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _2}{x^2} = {\log _2}9x.\)
A. \(x = \sqrt 6\)
B. \(x =3\)
C. \(x = 6\)
D. \(x = \sqrt 3\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}x + {\log _2}{x^2} = {\log _2}9x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}{x^3} = {\log _2}9x \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {x^3} - 9x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3. \end{array}\)
Câu 25:
Phương trình \({\log _2}\left| {x - 2} \right| + {\log _2}\left| {x + 5} \right| + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0\) có bao nhiêu nghiệm dương?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
Hướng dẫn
\({\log _2}\left| {(x - 2)(x + 5)} \right| - {\log _2}8 = 0 \Leftrightarrow \left| {(x - 2)(x + 5)} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {(x - 2)(x + 5) = 8}\\ {(x - 2)(x + 5) = - 8} \end{array}} \right.\)
Với \((x - 2)(x + 5) = 8 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 6 \end{array} \right.\)
Với \((x - 2)(x + 5) = - 8 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {17} }}{2}\)
Câu 26:
Phương trình \(\log (x - 3) + \log (x - 2) = 1 - \log 5\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} \log (x - 3) + \log (x - 2) = 1 - \log 5\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \log (x - 3)(x - 2) = \log 10 - \log 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ \log (x - 3)(x - 2) = \log 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ (x - 3)(x - 2) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ {x^2} - 5x + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4 \end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=4.
Câu 27:
Phương trình \(\log (\log x) + \log (\log {x^3} - 2) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} \log (\log x) + \log (\log {x^3} - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \log {x^3} - 2 > 0\\ \log x > 0 \end{array}\\ {\log x.(\log {x^3} - 2) = 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \log {x^3} > 2\\ x > 1 \end{array}\\ {3{{(\log x)}^2} - 2\log x - 1 = 0} \end{array}} \right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \sqrt[3]{{100}}\\ (\log x - 1)(3\log x + 1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log x = 1\\ \log x = - \frac{1}{3} < 0\,\,(Loai) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \log x = 1 \Leftrightarrow x = 10. \end{array}\)
Câu 28:
Cho phương trình {\log _2}({x^2} + 3x + 2) + {\log _2}({x^2} + 7x + 12) = 3 + {\log _2}3. Đặt \(t=x^2+5x\) phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?
A. \(t^2+10t=0\)
B. \(t^2+10t-24=0\)
C. \(t^2+5t=0\)
D. \(t^2+5t-12=0\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 3x + 2 > 0\\ {x^2} + 7x + 12 > 0 \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} + 3x + 2) + {\log _2}({x^2} + 7x + 12) = 3 + {\log _2}3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {({x^2} + 3x + 2)({x^2} + 7x + 12)} \right] = {\log _2}24\\ \Leftrightarrow ({x^2} + 3x + 2)({x^2} + 7x + 12) = 24\\ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24\\ \Leftrightarrow \left[ {(x + 1)(x + 4)} \right].\left[ {(x + 2)(x + 3)} \right] = 24\\ \Leftrightarrow ({x^2} + 5x + 4)({x^2} + 5x + 6) - 24 = 0\\ \Leftrightarrow {({x^2} + 5x)^2} + 10({x^2} + 5x) = 0 \end{array}\)
Vậy đặt: \(t = {x^2} + 5x\) phương trình trở thành: \({t^2} + 10t = 0.\)
Câu 29:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}(2x - 1).\)
A. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\)
D. \(S = \left( { - 1;2} \right)\)
Hướng dẫn
ĐK: \(x>\frac{1}{2}\). Khi đó:
Do \(0<\frac{1}{2}<1\) nên: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1 \Leftrightarrow x < 2\)
Kết hợp điều kiện xác định suy ra \(\frac{1}{2} < x < 2.\)
Câu 30:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình {H_1},{H_2}, được xác định như sau:
\({H_1} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
\({H_2} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {2 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 2 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
Gọi {S_1},{S_2} lần lượt là diện tích của các hình {H_1},{H_2}. Tính tỉ số \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}.
A. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 99\)
B. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 101\)
C. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 102\)
D. \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 100\)
Hướng dẫn
\({H_1} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|log\left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
\(\log \left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 1 + \log \left( {x + y} \right)\)
\(\Rightarrow 1 + {x^2} + {y^2} \le 10\left( {x + y} \right)\)
\(\Rightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} \le {\left( 7 \right)^2}\)
=> H1 là hình tròn tâm (5;5) bán kính 7.
\({H_2} = \left\{ {M\left( {x,y} \right)|\log \left( {2 + {x^2} + {y^2}} \right) \le 2 + \log \left( {x + y} \right)} \right\}\)
\(\Rightarrow {\left( {x - 50} \right)^2} + {\left( {y - 50} \right)^2} \le {\left( {7\sqrt {102} } \right)^2}\)
=> H2 là hình tròn tâm (50;50) bán kính \(7\sqrt {102}\)
Vậy: \(\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 102.\)
Câu 31:
Phương trình 2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x} có bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Hướng dẫn
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ 3 - 2x > 0 \end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset .\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu 32:
Phương trình \({\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - {x^2}} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - {x^2} > 0\\ {x^3} + 3{x^2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < 1.\) Khi đó:
\({\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) - {\log _3}\left( {x - {x^2}} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)}}{{x - {x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)}}{{\left( {x - {x^2}} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} = \left( {x - {x^2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow {x^3} + 4{x^2} - x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\left( L \right)\\ x = - 2 + \sqrt 5 \\ x = - 2 - \sqrt 5 \left( L \right) \end{array} \right.\)
Câu 33:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,2}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{0,2}}\left( {3 - x} \right).\)
A. \(S = \left( { - \infty ;3} \right)\)
B. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {1;3} \right]\)
D. \(S = \left( { - 1;1} \right)\)
Hướng dẫn
ĐK: \(3 > x > - 1.\) Khi đó:
\({\log _{0,2}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{0,2}}\left( {3 - x} \right) \Leftrightarrow x + 1 < 3 - x \Leftrightarrow x < 1.\)
Câu 34:
Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) > 1000.\)
A. \(x > 1 + {9^{500}}\)
B. \(x > {2^{1000}} - 1\)
C. \(x >3001\)
D. \(1<x<3001\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {x + 1 > 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ \begin{array}{l} (x - 1)(x + 1) > 0\\ x + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\) (*).
Khi đó \({\log _3}({x^2} - 1) + {\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1) > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} - 1) - {\log _3}(x + 1) > 1000\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} > 1000 \Leftrightarrow {\log _3}(x - 1) > 1000\\ \Leftrightarrow x - 1 > {3^{1000}} \Leftrightarrow x > 1 + {3^{1000}} \end{array}\)
Kết hợp với (*) ta được \(x > 1 + {3^{1000}}\) thỏa mãn, từ đó A là đáp án đúng vì:
\({9^{500}} = {\left( {{3^2}} \right)^{500}} = {3^{2.500}} = {3^{1000}}\)
Câu 35:
Giải bất phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) > {\log _3}\left( {4x + 1} \right).\)
A. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
B. \(x \in \left( { - \frac{1}{4};0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)
D. \(x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
ĐK: \(x>\frac{1}{2}.\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x - 1} \right) > {\log _3}\left( {4x + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{(2x - 1)^2} > {\log _3}(4x + 1)\\ \Leftrightarrow {(2x - 1)^2} > 4x + 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x > 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow 4x(x - 2) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < 0} \end{array}} \right..\)
Kết hợp với điều kiện suy ra x>2.
Câu 36:
Giải bất phương trình \({\log _2}\frac{{{2^x} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} + 2} \right).\)
A. \(x\in\mathbb{R}\)
B. x>0
C. x>1
D. \(x\geq 1\)
Hướng dẫn
ĐK: \(x\in\mathbb{R}\). Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\frac{{{2^x} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} + 2} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{2{x^2} + 1}}{{{4^x} + 5}} > {\log _2}\frac{1}{{{2^x} + 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 1}}{{{4^x} + 5}} > \frac{1}{{{2^x} + 2}} \Leftrightarrow ({2^x} + 1)({2^x} + 2) > {4^x} + 5 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {4^x} + {3.2^x} + 2 > {4^x} + 5 \Leftrightarrow {2^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\)
Câu 37:
Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right).\)
A. 2<x<5
B. 1<x<2
C. 2<x<3
D. Đáp số khác
Hướng dẫn
Điều kiện: \(5 > x > 2.\) Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) - 2{\log _{{2^2}}}(5 - x) < {\log _2}2 - {\log _2}(x - 2) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{x + 1}}{{5 - x}} < {\log _2}\frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{5 - x}} < \frac{2}{{x - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < 10 - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 3}\\ {x > 4} \end{array}} \right. \end{array}\)
Kết hợp điều kiện nghiệm của BPT là: \(2<x<3\)
Câu 38:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1.\)
A. \(S = \left[ {\frac{5}{2};3} \right]\)
B. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right]\)
D. \(S = (2;3]\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 > 0\\ x - 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\) (*). Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}(2x - 1) + {\log _2}(x - 2) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {(2x - 1)(x - 2)} \right] \le 1 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow (2x - 1)(x - 2) \le {2^1} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{5}{2}\)
Kết hợp với (*) ta được \(2 < x < \frac{5}{2}\) là nghiệm của bất phương trình.
Câu 39:
Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1.\)
A. x>1
B. \(x\leq 5\)
C. \(1<x<5\)
D. \(2<x<5\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(1 < x < 5.\)
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {5 - x} \right) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{(5 - x)^2} - {\log _3}(x - 1) - {\log _3}(x + 1) < 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 1 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{{(5 - x)}^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 3 \Leftrightarrow {(5 - x)^2} < 3({x^2} - 1)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 10x - 28 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2}\\ {x < - 7} \end{array}} \right. \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện suy ra 2<x<5 là nghiệm bất phương trình.
Câu 40:
Giải bất phương trình \({\log _3}\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + {\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt {x - 2} > \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 3} \right).\)
A. \(S = \left( {3;\sqrt {10} } \right)\)
B. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {3;9)\)
D. \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0\\ {x^2} - 5x + 6 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 > 0\\ (x - 2)(x - 3) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3.\) Khi đó:
\({\log _3}\sqrt {(x - 3)(x - 2)} - {\log _3}\sqrt {x - 2} > - {\log _3}\sqrt {x + 3}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\sqrt {(x - 3)(x - 2)} }}{{\sqrt {x - 2} }} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {x - 3} + {\log _3}\sqrt {x + 3} > 0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}\sqrt {{x^2} - 9} > 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 9} > 1 \Leftrightarrow {x^2} > 10 \Leftrightarrow x > \sqrt {10}\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left( {\sqrt {10} ; + \infty } \right).\)
Câu 41:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right).\)
A. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\)
B. \(S = \mathbb{R}\)
C. \(S = \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(x>0\). Khi đó:
\(\begin{array}{l} \log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 25 > 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x\ne 5\end{array}\)
Kết hợp điều kiện thì ta được \(x \in \left( {0;5} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right).\)
Câu 42:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2{\rm{x}}{\rm{.}}\)
A. \(S = \left\{ {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {2;4} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right\}\)
D. \(S = \left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: x>1. Khi đó:
\({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2{\rm{x}} \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 2 \left( {TM} \right)\\ x = 1 - \sqrt 2 \left( L \right) \end{array} \right.\)
Câu 43:
Bất phương trình {\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}(x - 1) tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. \({\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}x - {\log _{\frac{9}{4}}}1\)
B. \(2{\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
C. \({\log _{\frac{9}{4}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
D. \({\log _{\frac{3}{2}}}x \le 2{\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{9}{4}}}(x - 1) \Leftrightarrow {\log _{\frac{3}{2}}}x \le 2{\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _{\frac{3}{2}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1)\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{9}{4}}}x \le {\log _{\frac{3}{2}}}(x - 1) \end{array}\)
Câu 44:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > 1 + {\log _2}({x^2} + 2) có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
A. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\left( {0; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( { - 1;0} \right)\)
C. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
D. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > 1 + {\log _2}({x^2} + 2),\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {\log _2}(3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4) > {\log _2}2 + {\log _2}({x^2} + 2) ,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx - {m^2} - 2m + 4 > {x^2} + 4,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - {m^2} - 2m > 0,\forall x \in \mathbb{R}\,(*) \end{array}\)(*) xảy ra khi: \(\Delta ' = 2{m^2} + 2m < 0 \Leftrightarrow m > - 1.\)
Câu 45:
Phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left| {x + 3} \right| + {\log _{\frac{5}{2}}}\left( {x + 4} \right) = 0\,\) và \(\left| {x + 3} \right| = x + 4\) là hai phương trình tương đương với điều kện nào sau đây?
A. \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
B. \(x \in \left( { - 3 + \infty } \right)\)
C. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\)
D. \(x \in \left( { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} \left| {x + 3} \right| \ne 0\\ x + 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 3\\ x > - 4 \end{array} \right..\)
Câu 46:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt.
A. \(\frac{{ - 1}}{4} < 0 < m\)
B. \(5 \le m \le \frac{{21}}{4}\)
C. \(5 < m < \frac{{21}}{4}\)
D. \(\frac{{ - 1}}{4} \le m \le 2\)
Hướng dẫn
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2} > 0\\ x + m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\ m > 5 \end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{1 - {x^2}}}{{x + m - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {x^2} = x + m - 4 \Leftrightarrow {x^2} + x + m - 5 = 0\left( * \right) \end{array}\)
(*) có hai nghiệm phân biệt khi: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow m - 5 < \frac{1}{4} \Leftrightarrow m < \frac{{21}}{4} \Rightarrow 5 < m < \frac{{21}}{4}.\)
Câu 47:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right).\)
A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right)\)
B. \(S = \left( { - 2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right)\)
D. \(S = \left( {3; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện: \(2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 2\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 1 > 2x + 4\left( {do\frac{3}{4} < 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right.. \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right).\)
Câu 48:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(2{\log _2}(x - 1) \le {\log _2}(5 - x) + 1.\)
A. S=[3;5]
B. S=(1;5)
C. S=(1;3]
D. S=[-3;3]
Hướng dẫn
\(2{\log _2}(x - 1) \le {\log _2}(5 - x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {\log _2}{(x - 1)^2} \le {\log _2}2(5 - x) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {(x - 1)^2} \le 2(5 - x) \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} - 2x + 1 \le 10 - 2x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ {x^2} \le 9 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 > x > 1\\ 3 \ge x \ge - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \ge x > 1 \Rightarrow S = (1;3].\)
Câu 49:
Tìm số nghiệm của phương trình \({\log _2}(x + 3) = {\log _{\sqrt 2 }}x.\)
A. 1
B. 3
C. 0
D. 2
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}(x + 3) = {\log _{\sqrt 2 }}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 3 > 0,x > 3\\ {\log _2}(x + 3) - {\log _2}{x^2} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\log _2}\frac{{x + 3}}{{{x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \frac{{x + 3}}{{{x^2}}} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = \frac{3}{2} \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{3}{2} \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Câu 50:
Phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{2^x} + 1} \right) + {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = 1\) có tập nghiệm là tập nào sau đây?
A. \(\left\{ {1;2} \right\}\).
B. \(\left\{ {3;\frac{1}{9}} \right\}\).
C. \(\left\{ {\frac{1}{3};9} \right\}\).
D. \(\left\{ {0;1} \right\}\).
Hướng dẫn
\({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{2^x} + 1} \right) + {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}\left( {{2^x} + 1} \right)\)
\(\Leftrightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 5} \right) = {\log _3}\left[ {3\left( {{2^x} + 1} \right)} \right]\)\(\Leftrightarrow {4^x} + 5 = 3\left( {{2^x} + 1} \right)\)
\(\Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {3.2^x} + 2 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^x} = 1\\ {2^x} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Câu 51:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right).\)
A. \(S = \left( {1;\frac{6}{5}} \right)\)
B. \(S = \left( {\frac{2}{3};1} \right)\)
C. \(S = \left( {1; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {\frac{2}{3};\frac{6}{5}} \right)\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x > 0\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {8x > 8}\\ {6 > 5x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 1}\\ {x < \frac{6}{5}} \end{array}} \right. \end{array}\)
Vậy tập nghiệm của BPT là: \(\left( {1;\frac{6}{5}} \right).\)
Câu 52:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _2}x \ge 2.\)
A. \(S = \left( {3;4} \right].\)
B. \(S = \left[ {4; + \infty } \right).\)
C. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)
D. \(S = \left( {3; + \infty } \right).\)
Hướng dẫn
Điều kiện: x>3.
Khi đó bất phương trình trở thành \({\log _2}\left[ {x\left( {x - 3} \right)} \right] \ge 2.\)
\(\Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 4\\ x \le - 1 \end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện, vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {4; + \infty } \right).\)
Câu 53:
Tìm m để bất phương trình \(1 + {\log _5}({x^2} + 1) \ge {\log _5}(m{x^2} + 4x + m)\)thỏa mãn với mọi \(x\in \mathbb{R}.\)
A. \(- 1 < m \le 0\)
B. \(- 1 < m < 0\)
C. \(2 < m \le 3\)
D. \(2 < m < 3\)
Hướng dẫn
Phương nghiệm đúng với \(\forall x \in\mathbb{R}\) nên
\(m{x^2} + 4x + m > 0\;(\forall x \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0}\\ {\Delta ' = 4 - {m^2} < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow m \in (2; + \infty )\)
Khi đó \(\log 5 + \log ({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})\)
\(\Leftrightarrow \log 5({x^2} + 1) \ge \log (m{x^2} + 4x + m)(\forall x \in \mathbb{R})\)
\(\Leftrightarrow 5({x^2} + 1) \ge m{x^2} + 4x + m\;(\forall x \in ) \Leftrightarrow (5 - m){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0\;(\forall x \in \mathbb{R})\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5 - m > 0}\\ {\Delta = 4 - {{(5 - m)}^2} \le 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le 3\)
Vậy \(2 < m \le 3\) thỏa yêu cầu của đề bài.
Câu 54:
Tìm số nghiệm của phương trình là \({\log _2}({x^2} - 3) - {\log _2}(6x - 10) + 1 = 0.\)
A. Vô nghiệm.
B. 1
C. 2
D. 3
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 3) - {\log _2}(6x - 10) + 1 = 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 3 > 0}\\ {6x - 10 > 0}\\ {{{\log }_2}\frac{{{x^2} - 3}}{{6x - 10}} = - 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \sqrt 3 }\\ {\frac{{{x^2} - 3}}{{6x - 10}} = \frac{1}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \sqrt 3 }\\ {2{x^2} - 6x + 4 = 0} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > \sqrt 3 }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Rightarrow x = 2 \end{array}\)
Câu 55:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _4}\left( {x + 7} \right) > {\log _2}\left( {x + 1} \right).\)
A. \(S=(1;4)\)
B. \(S=(-1;2)\)
C. \(S=(5;+\infty )\)
D. \(S=(-\infty ;1)\)
Hướng dẫn
Điều kiện x>-1. Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _4}(x + 7) > {\log _2}(x + 1) \Leftrightarrow {\log _{{2^2}}}(x + 7) > {\log _2}(x + 1)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}(x + 7) > {\log _2}(x + 1) \Leftrightarrow x + 7 > {(x + 1)^2} \end{array}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 2) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2\)
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: \(S=(-1;2)\)
Câu 56:
Nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {x + 1} \le 0\) là:
A. \( - 1 \le x \le 0\)
B. \( - 1 < x \le 0\)
C. \( - 1 < x \le 1\)
D. \(x \le 0\)
Hướng dẫn
ĐK:\(x > - 1\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {x + 1} \le 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\sqrt {x + 1} \le 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 1} }} \le 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0\)
Do đó nghiệm của BPT là: \( - 1 < x \le 0.\)
Câu 57:
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _4}\left( {x - 2} \right) = 2\).
A. \(S = \left\{ {16} \right\}\).
B. \(S = \left\{ {18} \right\}\)
C. \(S = \left\{ {10} \right\}\).
D. \(S = \left\{ {14} \right\}\).
Hướng dẫn
\({\log _4}\left( {x - 2} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\{\log _4}\left( {x - 2} \right) = {\log _4}{4^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x - 2 = {4^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 18\).
Câu 58:
Nghiệm của bất phương trình \({\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) < {\log _2}\left( {2x + 3} \right)\) là
A. \(x < - \frac{3}{2}\).
B. \(x > - \frac{3}{2}\).
C. \( - 1 < x < 0\) hoặc \(x > 0\).
D. \( - \frac{3}{2} < x \le - 1\) .
Hướng dẫn
Điều kiện xác định: \(x \in \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\({\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) < {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 3} \right) \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} - {\log _2}\left( {x + 2} \right) < {\log _2}\left( {2x + 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < {\log _2}\left( {2x + 3} \right) + {\log _2}\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < {\log _2}\left( {\left( {2x + 3} \right).\left( {x + 2} \right)} \right) \Leftrightarrow {x^2} < 2{x^2} + 7x + 6 \Leftrightarrow x > - 1\)
So với điều kiện \(x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
Câu 59:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 3} \right)\)
A. \(S = \left( { - \frac{3}{2}; - 1} \right]\).
B. \(S = \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right]\).
C. \(S = \left[ { - 1; + \infty } \right)\).
D. \(S = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn
TXĐ: \(D = \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} - {\log _2}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _2}{\left( {2x + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 2} \right)}} \ge {(2x + 3)^2} \Leftrightarrow - 2 < x \le - 1\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \frac{3}{2}; - 1} \right]\).
Câu 60:
Bất phương trình \({\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\) tương đương với bất phương trình nào dưới đây
A. \(2{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\).
B. \({\log _{\frac{4}{{25}}}}x + {\log _{\frac{4}{{25}}}}1 \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\).
C. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\).
D. \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{4}{{25}}}}x\).
Hướng dẫn
\({\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x\)
Câu 61:
Tập nghiệm của bất phương trình\({\log _{0,8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0,8}}\left( { - 2x + 4} \right).\)
A. \(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
B. \(\left( { - 4;1} \right)\).
C. \(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\).
D. \Một kết quả khác.
Hướng dẫn
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x > 0\\ - 2x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1;x > 0\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;2} \right)\)
\({\log _{0,8}}\left( {{x^2} + x} \right) < {\log _{0,8}}\left( { - 2x + 4} \right) \Leftrightarrow {x^2} + x > - 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 > 0 \Leftrightarrow x < - 4,x > 1.\)
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là\(S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1;2} \right)\).
Câu 62:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,2}}\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right) \le {\log _{0,2}}\left( {2{{\rm{x}}^2} + x + 2} \right)\) chứa bao nhiêu số nguyên?
A. 3
B. 5
C. 2
D. 4
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l}{\log _{0,2}}\left( {{x^2} + 3{\rm{x}} + 5} \right) \le {\log _{0,2}}\left( {2{{\rm{x}}^2} + x + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 3{\rm{x}} + 5 \ge 2{{\rm{x}}^2} + x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3.\end{array}\)
Câu 63:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 - 2x} \right).\)
A. \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\)
B. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right)\)
C. \(S = \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\)
D. \(S = \left( {1;2} \right)\)
Hướng dẫn
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 > 0}\\{5 - 2x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 - 2x} \right) \Leftrightarrow x - 1 < 5 - 2x \Leftrightarrow x < 2\).
Kết hợp với điều kiện suy ra \(S = \left( {1;2} \right)\)
Câu 64:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\frac{{\log \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\log \left( {1 - x} \right)}} \le 1.\)
A. \(S = \left( { - 2; - 1} \right)\)
B. \(S = \left[ { - 2; - 1} \right)\)
C. \(S = \left[ { - 2;1} \right)\)
D. \(S = \left[ { - 2; - 1} \right]\)
Hướng dẫn
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 > 0}\\{1 - x > 0}\\{\log \left( {1 - x} \right) \ne 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < - 1}\end{array}} \right.}\\{x < 1}\\{1 - x \ne 1}\end{array}} \right. \Rightarrow x < - 1\)
Ta có \(\frac{{\log \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\log \left( {1 - x} \right)}} \le 1 \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} - 1} \right) \le \log \left( {1 - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 1 \le 1 - x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 0.\)
Kết hợp với điều kiện ta suy ra \(S = \left[ { - 2; - 1} \right).\)
Câu 65:
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {3{\rm{x}} - 3} \right).\)
A. \(S = \left( {1;2} \right).\)
B. \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
C. \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)
D. \(S = \left( {2; + \infty } \right).\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {3{\rm{x}} - 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 > 0\\3{\rm{x}} - 3 > 0\\{x^2} - 1 > 3{\rm{x}} - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} - 3{\rm{x}} + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x > 2 \Leftrightarrow S = \left( {2; + \infty } \right).\end{array}\)
Câu 66:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3.\)
A. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\)
B. \(S = \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\)
C. \(S = \left\{ 3 \right\}\)
D. \(S = \left\{ { - \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 > 0}\\{x + 1 > 0}\\{{{\log }_2}\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = 3}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{{x^2} - 1 = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = - 3}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow x = 3 \Leftrightarrow S = \left\{ 3 \right\}} \right.} \right..\end{array}\)
Câu 67:
Tìm tập nghiệm T của bất phương trình \(\log {{\rm{x}}^2} > \log \left( {4{\rm{x}} - 4} \right).\)
A. \(T = \left( {2; + \infty } \right).\)
B. \(T = \left( {1; + \infty } \right).\)
C. \(T = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
D. \(T = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Hướng dẫn
\(\log {{\rm{x}}^2} > \log \left( {4{\rm{x}} - 4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\4{\rm{x}} - 4 > 0\\{x^2} > 4{\rm{x}} - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x > 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow T = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Câu 68:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}2\) là:
A. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
B. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
C. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
D. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1 > 0}\\{{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right) > {{\log }_{\frac{1}{2}}}4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1 > 0}\\{2x - 1 < 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
Chỉnh sửa cuối:
