Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (buổi 5)

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Doremon, 16/12/14.

  1. Doremon

    Doremon Moderator Thành viên BQT

    Tham gia ngày:
    29/9/14
    Bài viết:
    1,299
    Đã được thích:
    205
    Điểm thành tích:
    63
    Giới tính:
    Nam
    Khi tính nguyên hàm của hàm hữu tỉ thường gây cho học sinh nhiều khó khăn nhất là những câu nằm trong đề thi đại học của BGD&ĐT. Nhằm giúp các em ôn thi đại học có thêm những cách giải nhanh - hiệu quả, ở đây tôi xin đưa phương pháp giải Nguyên hàm của hàm hữu tỉ:

    1. Phương pháp

    Giả sử cần tính $I = \int {\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}dx} $ (trong đó P(x); Q(x) là những đa thức của x. Ta có hai trường hợp:

    a) Bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Xét các khả năng sau (ở đây ta xét Q(x) là đa thức bậc 3, các trường hợp khác làm tương tự):
    • Q(x) có các nghiệm đơn khác nhau, giả sử Q(x) = (x – a)(x - b)(x - c). Khi đó ta tìm , , sao cho $\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = \frac{A}{{x - a}} + \frac{B}{{x - b}} + \frac{C}{{x - c}}$.
    • Q(x) có nghiệm đơn và nghiệm kép, Q(x) = (x – a)(x - b)$^2$. Khi đó ta tìm , , sao cho $\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = \frac{A}{{x - a}} + \frac{B}{{x - b}} + \frac{C}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}$
    • Q(x) có một nghiệm đơn, Q(x) = (x – a)(x$^2$ + px + q), (p$^2$ - 4q < 0). Khi đó ta tìm , , sao cho $\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = \frac{A}{{x - a}} + \frac{{Bx + C}}{{{x^2} + px + q}}$

    b) Bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x). Khi đó ta lấy P(x) chia cho Q(x) và quay về trường hợp a).

    2. Bài tập áp dụng: Tìm các nguyên hàm.

    • $I = \int {\frac{{6{x^2} + 10x + 2}}{{{x^3} + 3{x^2} + 2x}}dx} = \int {\frac{{6{x^2} + 10x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)x}}dx} $
    Ta tìm sao cho:
    $\frac{{6{x^2} + 10x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 1}} + \frac{C}{{x + 2}}$
    $ \Rightarrow 6{x^2} + 10x + 2 = A\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + Bx\left( {x + 2} \right) + Cx\left( {x + 1} \right)$
    $ \Rightarrow 6{x^2} + 10x + 2 = \left( {A + B + C} \right){x^2} + \left( {3A + 2B + C} \right)x + 2A$
    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    6 = A + B + C\\
    10 = 3A + 2B + C\\
    2 = 2A
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    A = 1\\
    B = 2\\
    C = 3
    \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{6{x^2} + 10x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 2}}$
    Từ đó:
    $I = \int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 1}} + \frac{3}{{x + 2}}} \right)} dx = \ln \left| x \right| + 2\ln \left| {x + 1} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right| + C$
    • • $J = \int {\frac{{6{x^2} - 26x + 26}}{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}dx} = \int {\frac{{6{x^2} - 26x + 26}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} $
    Ta tìm sao cho:
    $\frac{{6{x^2} - 26x + 26}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x - 2}} + \frac{C}{{x - 3}}$
    $ \Rightarrow 6{x^2} - 26x + 26 = A\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + B\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + C\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)$
    Cho x giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được A = 3; B = 2; C = 1
    Từ đó:
    $J = \int {\left( {\frac{3}{{x - 1}} + \frac{2}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 3}}} \right)dx} = 3\ln \left| {x - 1} \right| + 2\ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {x - 3} \right| + C$
    • $K = \int {\frac{{x - 8}}{{{x^2} - x - 6}}dx} = \int {\frac{{x - 8}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} = \int {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{{x - 3}}} \right)dx} = 2\ln \left| {x + 2} \right| - \ln \left| {x - 3} \right| + C$
    • $L = \int {\frac{{3{x^2} + 13x + 11}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}}dx} = \int {\frac{{3{x^2} + 13x + 11}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} $
    Ta tìm sao cho:
    $\frac{{3{x^2} + 13x + 11}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
    $ \Rightarrow 3{x^2} + 13x + 11 = A{\left( {x + 2} \right)^2} + B\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + C\left( {x + 1} \right)$
    $ \Rightarrow 3{x^2} + 13x + 11 = \left( {A + B} \right){x^2} + \left( {4A + 3B + C} \right)x + \left( {4A + 2B + C} \right)$
    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    3 = A + B\\
    13 = 4A + 3B + C\\
    11 = 4A + 2B + C
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    A = 1\\
    B = 2\\
    C = 3
    \end{array} \right.$
    Từ đó:
    $L = \int {\left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{2}{{x + 2}} + \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)} dx = \ln \left| {x + 1} \right| + 2\ln \left| {x + 2} \right| - \frac{3}{{x + 2}} + C$
    • $M = \int {\frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}dx} = \int {\left( {2x - \frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}}} \right)dx = \int {\left( {2x - \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right)dx} } $
    $ = \int {\left( {2x - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right)} dx = {x^2} - \ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {x - 1} \right| + C$

    3. Nguyên hàm dạng $I = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + a} \right)}^2}{{\left( {x + b} \right)}^2}}}} $
    Ta xét một số ví dụ:

    • $I = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} $
    Ta phân tích:
    $\frac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}{\left[ {\frac{{\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} = \frac{1}{4}{\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)^2}$
    $ = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} - \frac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right] = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]$
    Từ đó:
    $I = \int {\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]} dx$
    $ = - \frac{1}{4}.\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{4}.\frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{4}\ln \left| {x + 3} \right| - \frac{1}{4}\ln \left| {x + 1} \right| + C$

    • $J = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} $
    Ta phân tích:
    $\frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{49}}.{\left[ {\frac{{\left( {x + 4} \right) - \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}} \right]^2} = \frac{1}{{49}}\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} - \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}} \right]$
    Từ đó:
    $J = \frac{1}{{49}}\int {\frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}dx - \frac{1}{{49}}\int {\frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}dx} + \frac{1}{{49}}\int {\frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}dx} } $
    $ = - \frac{1}{{49}}.\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{49}}.\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{343}}\int {\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x + 4}}} \right)} dx$
    $ = - \frac{1}{{49}}.\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{49}}.\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{343}}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x + 4}}} \right| + C$
     
    Loading...

    Bình Luận Bằng Facebook

  2. dapandethi.vn

    dapandethi.vn Mới đăng kí

    Tham gia ngày:
    28/8/18
    Bài viết:
    1
    Đã được thích:
    0
    Điểm thành tích:
    1
    Giới tính:
    Nam
    Hay quá. cảm ơn ad nhiều nhé! <2
     

Chia sẻ trang này