Vào lúc 6h sáng có hai xe cùng khởi hành. Xe 1 chạy từ A với vận tốc không đổi 7m/s và chạy liên tục nhiều vòng trên chu vi hình chữ nhật ABCD. Xe 2 chạy từ D vận tốc không đổi 8m/s và chạy liên tục nhiều vòng trên chu vi tam giác DAC Biết AD = 3km, AB = 4km, khi gặp nhau các xe có thể vượt qua nhau và các xe chạy đến 9h30 thì nghỉ.
a. Ở thời điểm nào xe 2 chạy được số vòng nhiều hơn xe 1 là một vòng?
b. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe trong 6 phút đầu tiên.
c. Tìm thời điểm mà xe 1 đến A và xe 2 đến D cùng một lúc sau khi xuất phát.
Thời gian chạy một vòng của xe I: T1 = (ABCDA)/v1=2000s
Thời gian chạy một vòng của xe II: T2 = (ACDA)/v2=1500s
Lập phương trình : $\frac{t}{{{T_2}}} - \frac{t}{{{T_1}}} \to t = 1h40ph$
b. Trong 6 phút đầu, xe 1 đi được 7.360=2520 m<AB và xe 2 đi được 8.360=2880 m<DA. Trrong thời gian xe 1 chạy trên AB và xe 2 chạy trên DA.
Giả sử tại thời điểm t xe 1 ở N và xe 2 ở M.
Kí hiệu AD=a và MN=L thì:
$\begin{array}{l}
{L^2} = A{M^2} + A{N^2}\\
{L^2} = {\left( {a - {v_2}t} \right)^2} + {\left( {{v_1}t} \right)^2}\\
{L^2} = \left( {v_1^2 - v_2^2} \right){t^2} - 2a{v_2}t + {a^2}
\end{array}$
Nhận xét: L2 đạt cực tiểu khi $t = \frac{{a{v_2}}}{{v_1^2 + v_2^2}}$ khi đó ${L_{\min }} = \frac{{a{v_1}}}{{\sqrt {v_1^2 + v_2^2} }} = 1975,5m$
c. Thời gian xe 1 tới A lần thứ n là t = nT1 = 2000n
Thời gian xe 2 tới D lần thứ m là t = mT2 =1500m
Để xe 1 tới A và xe 2 tới D cùng lúc thì 2000n = 1500m suy ra : m = 4n/3. Vì xe chỉ chạy đến 9h30p nên có điều kiện
1500m <3h30p = 12600s, suy ra m < 8,4 với n,m là số nguyên dương
a. Ở thời điểm nào xe 2 chạy được số vòng nhiều hơn xe 1 là một vòng?
b. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai xe trong 6 phút đầu tiên.
c. Tìm thời điểm mà xe 1 đến A và xe 2 đến D cùng một lúc sau khi xuất phát.
GIẢI
a. Chiều dài AC $ = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5000m$Thời gian chạy một vòng của xe I: T1 = (ABCDA)/v1=2000s
Thời gian chạy một vòng của xe II: T2 = (ACDA)/v2=1500s
Lập phương trình : $\frac{t}{{{T_2}}} - \frac{t}{{{T_1}}} \to t = 1h40ph$
b. Trong 6 phút đầu, xe 1 đi được 7.360=2520 m<AB và xe 2 đi được 8.360=2880 m<DA. Trrong thời gian xe 1 chạy trên AB và xe 2 chạy trên DA.
Giả sử tại thời điểm t xe 1 ở N và xe 2 ở M.
Kí hiệu AD=a và MN=L thì:
$\begin{array}{l}
{L^2} = A{M^2} + A{N^2}\\
{L^2} = {\left( {a - {v_2}t} \right)^2} + {\left( {{v_1}t} \right)^2}\\
{L^2} = \left( {v_1^2 - v_2^2} \right){t^2} - 2a{v_2}t + {a^2}
\end{array}$
Nhận xét: L2 đạt cực tiểu khi $t = \frac{{a{v_2}}}{{v_1^2 + v_2^2}}$ khi đó ${L_{\min }} = \frac{{a{v_1}}}{{\sqrt {v_1^2 + v_2^2} }} = 1975,5m$
c. Thời gian xe 1 tới A lần thứ n là t = nT1 = 2000n
Thời gian xe 2 tới D lần thứ m là t = mT2 =1500m
Để xe 1 tới A và xe 2 tới D cùng lúc thì 2000n = 1500m suy ra : m = 4n/3. Vì xe chỉ chạy đến 9h30p nên có điều kiện
1500m <3h30p = 12600s, suy ra m < 8,4 với n,m là số nguyên dương
