Phương pháp đặt ẩn phụ

[Doremon]

Đối với một số phương trình có thể đặt ẩn phụ để quy về dạng đơn giản. Tùy theo dạng phương trình có thể đặt một ẩn, nhiều ẩn, quy về phương trình hoặc hệ phương trình.

1. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn

a. Một số dạng thường gặp
Nếu có $\sqrt {f(x)} $ và f(x) thì đặt t = $\sqrt {f(x)} $
Nếu có $\sqrt {f(x)} ,\sqrt {g(x)} \,$ mà $\sqrt {f(x)} .\sqrt {g(x)} = a$ (hằng số) đặt $t = \sqrt {f(x)} \Rightarrow g(x) = a/t$
Nếu có $\sqrt {f(x)} \pm \sqrt {g(x)} ,\sqrt {f(x)g(x)} ,f(x) \pm g(x) = a$ đặt $t = \sqrt {f(x)} \pm \sqrt {g(x)} $

b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Giải phương trình: ${x^2} - 2x + 4\sqrt {(4 - x)(x + 2)} = 11$

Giải​

Đặt $t = \sqrt {4( - x)(2 + x)} ,\,t \ge 0$. Phương trình đã cho trở thành t$^2$ + 4t – 3 = 0 → t = 1 hoặc t = 3
Ta thấy t = 1 hoặc t = 3 đều thỏa mãn t ≥ 0
Với t = 1 thì $\sqrt {(4 - x)(2 + x)} = 1 \Leftrightarrow (4 - x)(2 + x) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm 2\sqrt 2 $
Với t = 3 thì $\sqrt {(4 - x)(2 + x)} = 9 \leftrightarrow \Leftrightarrow (4 - x)(2 + x) = 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có nghiệm là $x = 1 \pm 2\sqrt 2 ,\,\,x = 1$

Ví dụ 2. Giải phương trình $\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {(3 + x)(6 - x)} = 3$ (*).

Giải​

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + x \ge 0}\\{6 - x \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow - 3 \le x \le 6} \right.$
Cách 1: Đặt $t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} \Rightarrow \sqrt {(3 + x)(6 - x)} = \frac{{{t^2} - 9}}{2}$.
Pt đã cho có dạng: $t - \frac{{{t^2} - 9}}{2} = 3 \Rightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1(loai) \vee t = 3$
Với t=3 thay vào biểu thức đặt được x = 6 và x = 3

Ví dụ 3. Giải phương trình: $2\sqrt {{{(1 + x)}^2}} - 3\sqrt {1 - {x^2}} + \sqrt {{{(1 - x)}^2}} = 0\,$

Giải​

$x = \pm 1$ không là nghiệm của pt đã cho. Chia cả 2 vế PT cho $\sqrt {1 - {x^2}} $
$ \Leftrightarrow 2\sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} + \sqrt {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} - 3 = 0$ đặt $\,t = \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \Rightarrow 2t + 1/t - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0$
giải ra có t = 1 và t = 1/ 2 suy ra nghiệm phương trình

Bài tập đề nghị
a. $(x - 1)(x + 2) + 2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 0$

b. $\sqrt {\frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}} + \sqrt {\frac{{4x + 4}}{{1 - 2x}}} = 3$

c. $\sqrt {7 - x} + \sqrt {x + 1} = {x^2} - 6x + 13$

d. $\sqrt {1 - x} + \sqrt {x + 7} + 2\sqrt { - {x^2} - 6x + 7} = 8$

e. $\sqrt {x + 4} + \sqrt {3x + 1} + 2\sqrt {3{x^2} + 13x + 4} = 51 - 4x$

f. $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } = 2$

g. ${x^2} + 2x\sqrt {x - \frac{1}{x}} = 3x + 1$

h. $(x + 3\sqrt x + 2)(x + 9\sqrt x + 18) = 168x$

m. $15x - 2{x^2} - 5 = \sqrt {2{x^2} - 15x + 11} $

p. ${x^2} + \sqrt {{x^2} + 11} = 31$

q. $(x + 5)(2 - x) = 3\sqrt {{x^2} + 3x} $

r. $\sqrt {(1 + x)(2 - x)} = 1 + 2x - 2{x^2}$

s. $x + \sqrt {17 - {x^2}} + x\sqrt {17 - {x^2}} = 9$


2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ví dụ 1. Giải phương trình : ${x^2} + \left( {3 - \sqrt {{x^2} + 2} } \right)x = 1 + 2\sqrt {{x^2} + 2} $

Giải​

$t = \sqrt {{x^2} + 2} $, ta có: ${t^2} - \left( {2 + x} \right)t - 3 + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3\\
t = x - 1
\end{array} \right.$

Ví dụ 2. Giải phương trình : $\left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = {x^2} + 1$

Giải​

Đặt : $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} t \ge \sqrt 2 $ Khi đó phương trình trở thành : $\left( {x + 1} \right)t = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} + 1 - \left( {x + 1} \right)t = 0$
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có Δ chẵn : ${x^2} - 2x + 3 - \left( {x + 1} \right)t + 2\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - \left( {x + 1} \right)t + 2\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = x - 1\end{array} \right.$

Bài tập đề nghị
1. ${x^2} - 1 = 2x\sqrt {{x^2} - 2x} \,$

2. (4x-1)$\sqrt {4{x^2} + 1} $8x$^2$+2x+1

3. ${x^2} + 2x + 2 - (x + 2)\sqrt {{x^2} + 2} = 0$

3. Đặt ẩn phụ đưa về dạng tích
Sử dụng đẳng thức
$\begin{array}{l}
u + v = 1 + uv \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {v - 1} \right) = 0\\
au + bv = ab + vu \Leftrightarrow \left( {u - b} \right)\left( {v - a} \right) = 0\\
{A^2} = {B^2}
\end{array}$

Ví dụ 1. Giải phương trình : $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} = 1 + \sqrt[3]{{{x^2} + 3x + 2}}$

Giải​

$pt \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} - 1} \right) = 0
→\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.$

Ví dụ 2. Giải phương trình : $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2} + x}}$

Giải​

+ x = 0, không phải là nghiệm
+ x ≠ 0, ta chia hai vế cho: $\sqrt[3]{x}: \to \sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{x}}} + \sqrt[3]{x} = 1 + \sqrt[3]{{x + 1}} \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{x}}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ví dụ 3. Giải phương trình: $\sqrt {x + 3} + 2x\sqrt {x + 1} = 2x + \sqrt {{x^2} + 4x + 3} $

Giải​

Điều kiện: x ≥ - 1
pt$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x + 3} - 2x} \right)\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 0
\end{array} \right.$

Ví dụ 4. Giải phương trình : $\sqrt {x + 3} + \frac{{4x}}{{\sqrt {x + 3} }} = 4\sqrt x $

Giải​

Đk: $x \ge 0$
Chia cả hai vế cho : $\sqrt {x + 3} :\,\, \to 1 + \frac{{4x}}{{x + 3}} = 2\sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} \Leftrightarrow {\left( {1 - \sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$