Phương pháp giải
Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải.
Chú ý: Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác. Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình.
Ví dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình $3\sin 3x - \sqrt {3\,} \cos 9(\pi + x) = 1 + 4{\sin ^3}3x\,\,\,\,\,\,(1)$
Ta có $(1) \Leftrightarrow 3\sin 3x - 4{\sin ^3}3x\, - \sqrt {3\,} \cos 9x\, = 1\,\,\,\,$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin 9x - \sqrt 3 \cos 9x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 9x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}\sin 9x - \cos \frac{\pi }{6}\cos 9x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{\pi }{6}) = \cos \frac{\pi }{3}\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phươngtrình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình ${\sin ^3}x.\cos 3x + \sin 3x.{\cos ^3}x = {\sin ^3}4x$
$ = \sin x.\cos x(4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x) = \frac{1}{2}\sin 2x({\sin ^2}2x - 3{\sin ^2}x)\,\,\,\,\,(1)$
Tương tự ta cũng có ${\cos ^3}x\sin 3x = \frac{1}{2}\sin 2x(3{\cos ^2}x - {\sin ^2}2x)\,\,\,\,\,(2)$
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
$\begin{array}{l}{\sin ^3}x\cos 3x + {\cos ^3}x\sin 3x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\sin 2x({\sin ^2}2x - 3{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x - {\sin ^2}2x)\,\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{3}{2}\sin 2x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = \frac{3}{2}\sin 2x\cos 2x = \frac{3}{4}\sin 4x\end{array}$
Từ đó ta có : $\frac{3}{4}\sin 4x = {\sin ^3}4x\,\,\, \Leftrightarrow \,3\sin 4x - {\sin ^3}4x = 0\,$
$ \Leftrightarrow \sin 12x = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\,12x = k\pi \,\, \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{{12}}\,\,\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2|cos(x)| + sin(x) = 1 (1)
$ \Leftrightarrow 5{\sin ^2}x - 2\sin x - 3 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x = - \frac{3}{5} = \sin \alpha\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \alpha + k2\pi \\x = (\pi - \alpha ) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
$\log {}_{\frac{{6x - {x^2}}}{{10}}}(\sin 3x + \sin x) = \log {}_{\frac{{6x - {x^2}}}{{10}}}\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,(1)$
$\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \frac{{6x - {x^2}}}{{10}} \ne 1\\\sin 2x > 0\\\sin 3x + \sin x = \sin 2x\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 6\\\sin 2x > 0\\2\sin 2x\cos x = \sin 2x\end{array} \right.\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 6\\\sin 2x > 0\\\cos x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\end{array} \right.$
Giải (*):
ta có $(*) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,$
*Với x = - π/3 + k2π loại do sin(2x) < 0
*Với x = π/3 + k2π xét với điều kiện 0 < x < π/6
Ta xét 0 < π/3 + k2π < 6 ta thấy có 1 giá trị k = 0 là thoả mãn
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = π/3
Nhận xét: Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức lượng giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức cần thiết.
Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải.
Chú ý: Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác. Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình.
Ví dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình $3\sin 3x - \sqrt {3\,} \cos 9(\pi + x) = 1 + 4{\sin ^3}3x\,\,\,\,\,\,(1)$
Giải
Nhận xét: Ta nhận thấy trong bài toán có 2 số hạng 3sin(x), 4sin$^3$(3x) ta có thể sử dụng được công thức góc nhân baTa có $(1) \Leftrightarrow 3\sin 3x - 4{\sin ^3}3x\, - \sqrt {3\,} \cos 9x\, = 1\,\,\,\,$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin 9x - \sqrt 3 \cos 9x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 9x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}\sin 9x - \cos \frac{\pi }{6}\cos 9x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos (x + \frac{\pi }{6}) = \cos \frac{\pi }{3}\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phươngtrình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình ${\sin ^3}x.\cos 3x + \sin 3x.{\cos ^3}x = {\sin ^3}4x$
Giải
Ta có: $\cos 3x = \cos x(4{\cos ^2}x - 3)\,\, \Rightarrow \,{\sin ^3}x.\cos 3x = {\sin ^3}x.\cos x(4{\cos ^2}x - 3)$$ = \sin x.\cos x(4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x) = \frac{1}{2}\sin 2x({\sin ^2}2x - 3{\sin ^2}x)\,\,\,\,\,(1)$
Tương tự ta cũng có ${\cos ^3}x\sin 3x = \frac{1}{2}\sin 2x(3{\cos ^2}x - {\sin ^2}2x)\,\,\,\,\,(2)$
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
$\begin{array}{l}{\sin ^3}x\cos 3x + {\cos ^3}x\sin 3x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\sin 2x({\sin ^2}2x - 3{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x - {\sin ^2}2x)\,\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{3}{2}\sin 2x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = \frac{3}{2}\sin 2x\cos 2x = \frac{3}{4}\sin 4x\end{array}$
Từ đó ta có : $\frac{3}{4}\sin 4x = {\sin ^3}4x\,\,\, \Leftrightarrow \,3\sin 4x - {\sin ^3}4x = 0\,$
$ \Leftrightarrow \sin 12x = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\,12x = k\pi \,\, \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{{12}}\,\,\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2|cos(x)| + sin(x) = 1 (1)
Giải
Ta có : $(1)\,\, \Leftrightarrow \,\,2\left| {\cos x} \right| = 1 - \sin x\,\, \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x = {(1 - \sin x)^2}$$ \Leftrightarrow 5{\sin ^2}x - 2\sin x - 3 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x = - \frac{3}{5} = \sin \alpha\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \alpha + k2\pi \\x = (\pi - \alpha ) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,(k \in Z)$
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
$\log {}_{\frac{{6x - {x^2}}}{{10}}}(\sin 3x + \sin x) = \log {}_{\frac{{6x - {x^2}}}{{10}}}\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Giải
Ta có:$\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \frac{{6x - {x^2}}}{{10}} \ne 1\\\sin 2x > 0\\\sin 3x + \sin x = \sin 2x\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
0 < x < 6\\\sin 2x > 0\\2\sin 2x\cos x = \sin 2x\end{array} \right.\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 6\\\sin 2x > 0\\\cos x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\end{array} \right.$
Giải (*):
ta có $(*) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,$
*Với x = - π/3 + k2π loại do sin(2x) < 0
*Với x = π/3 + k2π xét với điều kiện 0 < x < π/6
Ta xét 0 < π/3 + k2π < 6 ta thấy có 1 giá trị k = 0 là thoả mãn
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = π/3
Nhận xét: Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức lượng giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức cần thiết.
