Phương pháp quy nạp toán học
Cho bài toán: Chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n\ge {{n}_{0}},$ ${{n}_{0}}\in N$.
Ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học như sau:
• Bước 1: Kiểm tra $P({{n}_{0}})$ có đúng hay không, nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước 2.
• Bước 2: Với $k \in N, k\ge {{n}_{0}}$, giả sử $P(k)$ đúng ta cần chứng minh $P(k+1)$ cũng đúng.
Kết luận: $P(n)$ đúng với $\forall n\ge {{n}_{0}}$.
Các dạng toán và ví dụ minh họa
Dạng toán : Dùng phương pháp quy nạp toán học chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ ta luôn có: $1 + 2 + 3 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.$
Đặt $P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n$ và $Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}$.
Ta cần chứng minh $P(n) = Q(n)$, $\forall n \in N, n \ge 1$.
+ Bước 1: Với $n = 1$ ta có $P(1) = 1$, $Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1$ $ \Rightarrow P(1) = Q(1)$ $⇒ P(n) = Q(n)$ đúng với $n = 1.$
+ Bước 2: Giả sử $P(k) = Q(k)$ với $k \in N, k \ge 1$ tức là: $1 + 2 + 3 + … + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}$.
Ta cần chứng minh $P(k + 1) = Q(k + 1)$, tức là: $1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)$ $ = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}$ $(*).$
Thật vậy: $VT(*)$ $= (1 + 2 + 3 + … + k) + (k + 1)$ $ = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)$ $ = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1)$ $ = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}$ $ = VP(*)$
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi $n \ge 1.$
Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ ta luôn có: $1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = {n^2}.$
+ Với $n = 1$ ta có $VT = 1$, $VP = {1^2} = 1$, suy ra $VT = VP$ $ \Rightarrow $ đẳng thức cho đúng với $n = 1.$
+ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với $n = k$ với $k \in N, k \ge 1$, tức là: $1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = {k^2}.$
Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với $n = k + 1$, tức là: $1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1)$ $ = {\left( {k + 1} \right)^2}$ $(*).$
Thật vậy: $VT(*)$ $ = (1 + 3 + 5 + … + 2k – 1) + (2k + 1)$ $ = {k^2} + (2k + 1)$ $ = {(k + 1)^2}$ $ = VP(*)$
Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi $n \ge 1.$
Cho bài toán: Chứng minh mệnh đề $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n\ge {{n}_{0}},$ ${{n}_{0}}\in N$.
Ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học như sau:
• Bước 1: Kiểm tra $P({{n}_{0}})$ có đúng hay không, nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước 2.
• Bước 2: Với $k \in N, k\ge {{n}_{0}}$, giả sử $P(k)$ đúng ta cần chứng minh $P(k+1)$ cũng đúng.
Kết luận: $P(n)$ đúng với $\forall n\ge {{n}_{0}}$.
Các dạng toán và ví dụ minh họa
Dạng toán : Dùng phương pháp quy nạp toán học chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1. Chứng mình với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ ta luôn có: $1 + 2 + 3 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.$
Đặt $P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n$ và $Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}$.
Ta cần chứng minh $P(n) = Q(n)$, $\forall n \in N, n \ge 1$.
+ Bước 1: Với $n = 1$ ta có $P(1) = 1$, $Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1$ $ \Rightarrow P(1) = Q(1)$ $⇒ P(n) = Q(n)$ đúng với $n = 1.$
+ Bước 2: Giả sử $P(k) = Q(k)$ với $k \in N, k \ge 1$ tức là: $1 + 2 + 3 + … + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}$.
Ta cần chứng minh $P(k + 1) = Q(k + 1)$, tức là: $1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)$ $ = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}$ $(*).$
Thật vậy: $VT(*)$ $= (1 + 2 + 3 + … + k) + (k + 1)$ $ = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)$ $ = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1)$ $ = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}$ $ = VP(*)$
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi $n \ge 1.$
Ví dụ 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ ta luôn có: $1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = {n^2}.$
+ Với $n = 1$ ta có $VT = 1$, $VP = {1^2} = 1$, suy ra $VT = VP$ $ \Rightarrow $ đẳng thức cho đúng với $n = 1.$
+ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với $n = k$ với $k \in N, k \ge 1$, tức là: $1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = {k^2}.$
Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với $n = k + 1$, tức là: $1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1)$ $ = {\left( {k + 1} \right)^2}$ $(*).$
Thật vậy: $VT(*)$ $ = (1 + 3 + 5 + … + 2k – 1) + (2k + 1)$ $ = {k^2} + (2k + 1)$ $ = {(k + 1)^2}$ $ = VP(*)$
Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi $n \ge 1.$
