Dạng 1: $a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0;a,b,c \in R)$ (1)
Cách giải
Đặt t = sin x, điều kiện |t| ≤ 1
Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm.
Dạng 2: $a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0;a,b,c \in R)$ (2)
Cách giải
Đặt t = cos x điều kiện |t| ≤ 1 ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi tìm x.
Dạng 3: $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0;a,b,c \in R)$ (3)
Cách giải
Điều kiện cos x ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Đặt t = tan x (với t ∈ R) ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không
Dạng 4: $a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0;a,b,c \in R)$ (4)
Cách giải
Điều kiện sin x ≠ 0 ↔ x ≠ kπ, k ∈ Z
Đặt t = cot x (với t ∈ R). Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình $2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\,\,\,\,$ (1)
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: $\cot x - \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$ (2)
Ta có:
$\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}} \Leftrightarrow \cos 2x +2{\sin ^2}2x = 1\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = - \frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$
Ta thấy cos(2x) = 1 không thoả mãn điều kiện. Do đó (*)
↔ $\cos 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Giải phương trình: $5{\sin ^2}x - 4\sin x - 1 = 0\,\,\,\,$
Bài 2: Giải phương trình: cos(2x) – 3cos(x) – 4 = 0
Bài 3: Giải phương trình: 3tan(2x) – 3tan(x) – 2,5 = 0
Bài 4: Giải phương trình: cos(4x + 2) + 3sin(2x + 1 ) = 2
Bài 5: Giải phương trình: ${\tan ^4}3x - 3\tan 3x + 1 = 0\,\,\,$
Bài 6: Giải phương trình: ${\cos ^4}2x + 6{\cos ^2}2x = \frac{{25}}{{16}}$
Bài 7: Giải phương trình: $\frac{{\sin 2x}}{{2{{\cos }^2}x - 2{{\sin }^2}\frac{\pi }{4}}} = \tan 6x$
Bài 8: Giải phương trình $\frac{{1 + 2{{\sin }^2}x - 3\sqrt 2 \sin x + \sin 2x}}{{2\sin x.\cos x - 1}} = 1$
Bài 9: Giải phương trình ${\cot ^4}2x + \frac{1}{{{{\sin }^4}2x}} = 25$
Cách giải
Đặt t = sin x, điều kiện |t| ≤ 1
Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm.
Dạng 2: $a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0;a,b,c \in R)$ (2)
Cách giải
Đặt t = cos x điều kiện |t| ≤ 1 ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi tìm x.
Dạng 3: $a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0;a,b,c \in R)$ (3)
Cách giải
Điều kiện cos x ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Đặt t = tan x (với t ∈ R) ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không
Dạng 4: $a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0;a,b,c \in R)$ (4)
Cách giải
Điều kiện sin x ≠ 0 ↔ x ≠ kπ, k ∈ Z
Đặt t = cot x (với t ∈ R). Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t.
Ví Dụ Minh Hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình $2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\,\,\,\,$ (1)
Giải
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,,k \in Z$Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: $\cot x - \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}$ (2)
Giải
Điều kiện sin 2x ≠ 0 ↔ x ≠ kπ/2, k ∈ ZTa có:
$\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \frac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}} \Leftrightarrow \cos 2x +2{\sin ^2}2x = 1\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 1\\\cos 2x = - \frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$
Ta thấy cos(2x) = 1 không thoả mãn điều kiện. Do đó (*)
↔ $\cos 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Giải phương trình: $5{\sin ^2}x - 4\sin x - 1 = 0\,\,\,\,$
Bài 2: Giải phương trình: cos(2x) – 3cos(x) – 4 = 0
Bài 3: Giải phương trình: 3tan(2x) – 3tan(x) – 2,5 = 0
Bài 4: Giải phương trình: cos(4x + 2) + 3sin(2x + 1 ) = 2
Bài 5: Giải phương trình: ${\tan ^4}3x - 3\tan 3x + 1 = 0\,\,\,$
Bài 6: Giải phương trình: ${\cos ^4}2x + 6{\cos ^2}2x = \frac{{25}}{{16}}$
Bài 7: Giải phương trình: $\frac{{\sin 2x}}{{2{{\cos }^2}x - 2{{\sin }^2}\frac{\pi }{4}}} = \tan 6x$
Bài 8: Giải phương trình $\frac{{1 + 2{{\sin }^2}x - 3\sqrt 2 \sin x + \sin 2x}}{{2\sin x.\cos x - 1}} = 1$
Bài 9: Giải phương trình ${\cot ^4}2x + \frac{1}{{{{\sin }^4}2x}} = 25$
