Phương pháp:
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), bằng cách:
• Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối (GTTĐ).
• Bình phương hai vế của phương trình.
• Đặt ẩn phụ.
Các dạng phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) tổng quát và cách giải:
• $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f(x) = – g(x)
\end{array} \right.$ hoặc $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$ $ \Leftrightarrow {f^2}(x) = {g^2}(x).$
• $\left| {f(x)} \right| = g(x)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0\\
{f^2}(x) = {g^2}(x)
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f(x) = – g(x)
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ hoặc $\left| {f(x)} \right| = g(x)$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x)}\\
{f(x) \ge 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x) = g(x)}\\
{f(x) < 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a. $\left| {2x + 1} \right| = \left| {{x^2} – 3x – 4} \right|.$
b. $\left| {3x – 2} \right| = 3 – 2x.$
c. $\left| {{x^2} – 4x – 5} \right| = 4x – 17.$
d. $\left| {2x – 5} \right| + \left| {2{x^2} – 7x + 5} \right| = 0.$
a. Phương trình $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + 1 = {x^2} – 3x – 4}\\
{2x + 1 = – \left( {{x^2} – 3x – 4} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 5x – 5 = 0}\\
{{x^2} – x – 3 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}}\\
{x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}$ và $\frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}.$
b. Ta giải phương trình theo $2$ cách:
• Cách 1:
+ Với $3 – 2x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}$, ta có: $VT \ge 0$, $VP < 0$, suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với $3 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}$ khi đó hai vế của phương trình không âm, suy ra:
Phương trình $ \Leftrightarrow {\left| {3x – 2} \right|^2} = {\left( {3 – 2x} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow 9{x^2} – 12x + 4 = 4{x^2} – 12x + 9$ $ \Leftrightarrow 5{x^2} = 5$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \pm 1.$
• Cách 2:
+ Với $3x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}$, phương trình tương đương với: $3{\rm{x}} – 2 = 3 – 2{\rm{x}}$ $ \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = 5$ $ \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn).
+ Với $3x – 2 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}$, phương trình tương đương với: $ – \left( {3{\rm{x}} – 2} \right) = 3 – 2{\rm{x}}$ $ \Leftrightarrow {\rm{x}} = – 1$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm: $x = \pm 1.$
c.
+ Với $4x – 17 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{{17}}{4}$, ta có: $VT \ge 0$, $VP < 0$ suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với $4x – 17 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{{17}}{4}$ khi đó hai vế của phương trình không âm, suy ra:
Phương trình $ \Leftrightarrow {\left| {{x^2} – 4x – 5} \right|^2} = {\left( {4x – 17} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 4x – 5} \right)^2} = {\left( {4x – 17} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 8x + 12} \right)\left( {{x^2} – 22} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 8x + 12 = 0}\\
{{x^2} – 22 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2}\\
{x = 6}
\end{array}} \right.}\\
{x = \pm \sqrt {22} }
\end{array}} \right.$
Đối chiếu với điều kiện $x \ge \frac{{17}}{4}$, ta thấy chỉ có $x = 6$ và $x = \sqrt {22} $ thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm: $x = 6$ và $x = \sqrt {22} .$
d. Ta có: $\left| {2x – 5} \right| \ge 0$, $\left| {2{x^2} – 7x + 5} \right| \ge 0$, suy ra: $\left| {2x – 5} \right| + \left| {2{x^2} – 7x + 5} \right| \ge 0.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 5 = 0}\\
{2{x^2} – 7x + 5 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{5}{2}}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{x = \frac{5}{2}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{5}{2}.$
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a. ${\left( {x + 1} \right)^2} – 3\left| {x + 1} \right| + 2 = 0.$
b. $4x\left( {x – 1} \right) = \left| {2x – 1} \right| + 1.$
c. ${x^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} + 1$ $ = 2x + 7\left| {\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} \right|.$
a. Đặt $t = \left| {x + 1} \right|$, $t \ge 0.$
Phương trình trở thành: ${t^2} – 3t + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$
+ Với $t = 1$, ta có: $\left| {x + 1} \right| = 1$ $ \Leftrightarrow x + 1 = \pm 1$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{x = – 2}
\end{array}} \right.$
+ Với $t = 2$, ta có: $\left| {x + 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow x + 1 = \pm 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{x = – 3}
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 3$, $x = – 2$, $x = 0$ và $x = 1.$
b. Phương trình tương đương với: $4{x^2} – 4x – \left| {2x – 1} \right| – 1 = 0.$
Đặt $t = \left| {2x – 1} \right|$, $t \ge 0$ $ \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} – 4x + 1$ $ \Rightarrow 4{x^2} – 4x = {t^2} – 1.$
Phương trình trở thành: ${t^2} – 1 – t – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$
Vì $t \ge 0 \Rightarrow t = 2$ nên $\left| {2x – 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 1 = 2}\\
{2x – 1 = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{3}{2}}\\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \frac{3}{2}$ và $x = – \frac{1}{2}.$
c. Điều kiện xác định: $x \ne 1.$
Phương trình tương đương: ${\left( {x – 1} \right)^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$ $ = 7\left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right|.$
Đặt $t = \left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right|.$
Suy ra: ${t^2} = {\left( {x – 1} \right)^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} – 6$ $ \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$ $ = {t^2} + 6.$
Phương trình trở thành: ${t^2} + 6 = 7t$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 7t + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = 6}
\end{array}} \right.$
+ Với $t = 1$, ta có: $\left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right| = 1$ $ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} \right| = 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}} = \pm 1$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 3x – 1 = 0}\\
{{x^2} – x – 3 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}}\\
{x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}
\end{array}} \right.$ (thỏa mãn).
+ Với $t = 6$, ta có: $\left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right| = 6$ $ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} \right| = 6$ $ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}} = \pm 6$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 8x + 4 = 0}\\
{{x^2} + 4x – 8 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4 \pm 2\sqrt 3 }\\
{x = – 2 \pm 2\sqrt 3 }
\end{array}} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}$, $x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}$, $x = 4 \pm 2\sqrt 3 $ và $x = – 2 \pm 2\sqrt 3 .$
Ví dụ 3. Giải và biện luận các phương trình sau:
a. $\left| {mx + 2m} \right| = \left| {mx + x + 1} \right|$ $(*).$
b. $\left| {mx + 2x – 1} \right| = \left| {x – 1} \right|$ $(**).$
a. Ta có: $\left| {mx + 2m} \right| = \left| {mx + x + 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2m = mx + x + 1}\\
{mx + 2m = – \left( {mx + x + 1} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2m – 1}\\
{\left( {2m + 1} \right)x = – 2m – 1\: ( 1 )}
\end{array}} \right.$
Giải $( 1 ):$
+ Với $2m + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = – \frac{1}{2}$, phương trình trở thành $0x = 0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $2m + 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow m \ne – \frac{1}{2}$, phương trình tương đương với: $x = – 1.$
Kết luận:
+ Với $m = – \frac{1}{2}$, phương trình $(*)$ nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m \ne – \frac{1}{2}$, phương trình $(*)$ có hai nghiệm là: $x = – 1$ và $x = 2m – 1.$
b. Ta có: $\left| {mx + 2x – 1} \right| = \left| {x – 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2x – 1 = x – 1}\\
{mx + 2x – 1 = – \left( {x – 1} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(m + 1)x = 0\: (2)}\\
{(m + 3)x = 2\: (3)}
\end{array}} \right.$
• Với phương trình $(2)$, ta có:
$m = – 1$ thì phương trình $(2)$ nghiệm đúng với mọi $x.$
$m \ne – 1$ thì phương trình $(2)$ có nghiệm $x = 0.$
• Với phương trình $(3)$, ta có:
$m = – 3$, thì phương trình $(3)$ vô nghiệm.
$m \ne – 3$ thì phương trình $(3)$ có nghiệm $x = \frac{2}{{m + 3}}.$
Kết luận:
+ Với $m = – 1$, phương trình $(**)$ nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m = – 3$, phương trình $(**)$ có nghiệm $x = 0.$
+ Với $m \ne – 1$ và $m \ne – 3$, phương trình $(**)$ có nghiệm $x = 0$ và $x = \frac{2}{{m + 3}}.$
Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình: $\left| {{x^2} + x} \right|$ $ = \left| {m{x^2} – (m + 1)x – 2m – 1} \right|$ có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình tương đương với: $\left| {x\left( {x + 1} \right)} \right|$ $ = \left| {\left( {x + 1} \right)\left( {mx – 2m – 1} \right)} \right|$ $ \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right|\left[ {\left| x \right| – \left| {mx – 2m – 1} \right|} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1}\\
{\left| x \right| = \left| {mx – 2m – 1} \right|\: (*)}
\end{array}} \right.$
Ta có: $(*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx – 2m – 1 = x}\\
{mx – 2m – 1 = – x}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(m – 1)x = 1 + 2m\: ( 1 )}\\
{(m + 1)x = 1 + 2m\: (2)}
\end{array}} \right.$
+ Nếu $m = 1$, thì phương trình $( 1 )$ vô nghiệm, khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt.
+ Nếu $m = – 1$, thì phương trình $(2)$ vô nghiệm, khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt.
+ Nếu $m \ne \pm 1$, thì $(*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{1 + 2m}}{{m – 1}}}\\
{x = \frac{{1 + 2m}}{{m + 1}}}
\end{array}} \right.$
Suy ra để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{1 + 2m}}{{m – 1}} \ne – 1}\\
\begin{array}{l}
\frac{{1 + 2m}}{{m + 1}} \ne – 1\\
\frac{{1 + 2m}}{{m – 1}} \ne \frac{{1 + 2m}}{{m + 1}}
\end{array}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m \ne 0}\\
\begin{array}{l}
m \ne – \frac{2}{3}\\
m \ne – \frac{1}{2}
\end{array}
\end{array}} \right.$
Vậy với $m \notin \left\{ { – 1; – \frac{1}{2}; – \frac{2}{3};0;1} \right\}$ thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Bài tập rèn luyện:
Phần đề bài:
Bài toán 1. Giải các phương trình sau:
a. $|3x – 2| = {x^2} + 2x + 3.$
b. $\left| {{x^3} – 1} \right| = \left| {{x^2} – 3x + 2} \right|.$
Bài toán 2. Giải các phương trình sau:
a. ${\left( {2x – 1} \right)^2} – 3\left| {2x – 1} \right| – 4 = 0.$
b. $\frac{{{x^4} – 6{x^2} + 4}}{{{x^2}}} = \left| {\frac{{{x^2} – 2}}{x}} \right|.$
Bài toán 3. Cho phương trình: ${x^2} – 2x – 2\left| {x – 1} \right| + m + 3 = 0.$
a. Giải phương trình khi $m = – 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm.
Bài toán 4. Giải và biện luận các phương trình sau:
a. $\left| {mx + 2m} \right| = \left| {x + 1} \right|.$
b. $\left| {mx + 2x} \right| = \left| {mx – 1} \right|.$
Phần đáp số – hướng dẫn giải:
Bài toán 1.
a. Ta có: $|3x – 2| = $ $\left\{ \begin{array}{l}
3x – 2\:khi\:x \ge \frac{2}{3}\\
– 3x + 2\:khi\:x < \frac{2}{3}
\end{array} \right.$
• Nếu $x \ge \frac{2}{3}$, suy ra: $PT \Leftrightarrow 3x – 2 = {x^2} + 2x + 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x + 5 = 0$, phương trình vô nghiệm.
• Nếu $x < \frac{2}{3}$, suy ra: $PT \Leftrightarrow – 3x + 2 = {x^2} + 2x + 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {21} }}{2}$, hai nghiệm này đều thỏa mãn $x < \frac{2}{3}.$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {21} }}{2}.$
b. $x = 1$, $x = – 1 \pm \sqrt 2 .$
Bài toán 2.
a. Đặt $t = \left| {2x – 1} \right|$, $t \ge 0.$
Phương trình trở thành ${t^2} – 3t – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1\: (loại)}\\
{t = 4}
\end{array}} \right.$
Với $t = 4$, ta có: $\left| {2x – 1} \right| = 4$ $ \Leftrightarrow 2x – 1 = \pm 4$ $ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = – \frac{3}{2}.$
Vậy phương trình có nghiệm là $x = – \frac{3}{2}$ và $x = \frac{5}{2}.$
b. Điều kiện xác định: $x \ne 0.$
Đặt $t = \left| {\frac{{{x^2} – 2}}{x}} \right|$, $t \ge 0.$
Phương trình trở thành: ${t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$
Với $t = 2$, ta có: $\left| {\frac{{{x^2} – 2}}{x}} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1 \pm \sqrt 3 }\\
{x = 1 \pm \sqrt 3 }
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 1 \pm \sqrt 3 $ và $x = 1 \pm \sqrt 3 .$
Bài toán 3.
Phương trình $ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} – 2\left| {x – 1} \right| + m + 2 = 0.$
Đặt $t = \left| {x – 1} \right|$, $t \ge 0$, ta có phương trình: ${t^2} – 2t + m + 2 = 0$ $( 1 ).$
a. Khi $m = – 2$, ta có: ${t^2} – 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 0}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$
Suy ra nghiệm phương trình là $x = 1$, $x = 3$, $x = – 1.$
b. Phương trình đã cho có nghiệm $⇔$ phương trình $( 1 )$ có nghiệm $t \ge 0$ $ \Leftrightarrow m = – {t^2} + 2t – 2$ có nghiệm $t \ge 0$ $ \Leftrightarrow $ đồ thị hàm số $f\left( t \right) = – {t^2} + 2t – 2$ với $t \in \left[ {0; + \infty } \right)$ cắt trục hoành $ \Leftrightarrow m \le – 2.$
Bài toán 4.
a. Ta có $PT \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2m = x + 1}\\
{mx + 2m = – \left( {x + 1} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {m – 1} \right)x = 1 – 2m \: \left( 1 \right)}\\
{\left( {m + 1} \right)x = – 2m – 1 \: \left( 2 \right)}
\end{array}} \right.$
• Giải $( 1 )$:
+ Với $m = 1$ phương trình trở thành $0x = – 1$, phương trình vô nghiệm.
+ Với $m \ne 1$ phương trình tương đương với $x = \frac{{1 – 2m}}{{m – 1}}.$
• Giải $(2)$:
+ Với $m = – 1$ phương trình trở thành $0x = 1$, phương trình vô nghiệm.
+ Với $m \ne – 1$ phương trình tương đương với $x = \frac{{ – 2m – 1}}{{m + 1}}.$
Kết luận:
+ Với $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 1}\\
{m = – 1}
\end{array}} \right.$ phương trình có nghiệm là $x = \frac{{ – 3}}{2}.$
+ Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m \ne 1}\\
{m \ne – 1}
\end{array}} \right.$ phương trình có nghiệm là $x = \frac{{1 – 2m}}{{m – 1}}$ và $x = \frac{{ – 2m – 1}}{{m + 1}}.$
b. Ta có: $\left| {mx + 2x} \right| = \left| {mx – 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2x = mx – 1}\\
{mx + 2x = – \left( {mx – 1} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{1}{2}}\\
{(2m + 2)x = 1 \: (*)}
\end{array}} \right.$
Với phương trình $(*)$, ta có:
$m = – 1$ thì phương trình $(*)$ vô nghiệm.
$m \ne – 1$ thì phương trình $(*)$ có nghiệm $x = \frac{1}{{2m + 2}}.$
Kết luận:
$m = – 1$, phương trình có nghiệm $x = – \frac{1}{2}.$
$m \ne – 1$, phương trình có nghiệm $x = – \frac{1}{2}$ và $x = \frac{1}{{2m + 2}}.$
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), bằng cách:
• Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối (GTTĐ).
• Bình phương hai vế của phương trình.
• Đặt ẩn phụ.
Các dạng phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) tổng quát và cách giải:
• $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f(x) = – g(x)
\end{array} \right.$ hoặc $\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$ $ \Leftrightarrow {f^2}(x) = {g^2}(x).$
• $\left| {f(x)} \right| = g(x)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0\\
{f^2}(x) = {g^2}(x)
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g(x) \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f(x) = – g(x)
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ hoặc $\left| {f(x)} \right| = g(x)$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x)}\\
{f(x) \ge 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x) = g(x)}\\
{f(x) < 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a. $\left| {2x + 1} \right| = \left| {{x^2} – 3x – 4} \right|.$
b. $\left| {3x – 2} \right| = 3 – 2x.$
c. $\left| {{x^2} – 4x – 5} \right| = 4x – 17.$
d. $\left| {2x – 5} \right| + \left| {2{x^2} – 7x + 5} \right| = 0.$
a. Phương trình $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x + 1 = {x^2} – 3x – 4}\\
{2x + 1 = – \left( {{x^2} – 3x – 4} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 5x – 5 = 0}\\
{{x^2} – x – 3 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}}\\
{x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}$ và $\frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}.$
b. Ta giải phương trình theo $2$ cách:
• Cách 1:
+ Với $3 – 2x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}$, ta có: $VT \ge 0$, $VP < 0$, suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với $3 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}$ khi đó hai vế của phương trình không âm, suy ra:
Phương trình $ \Leftrightarrow {\left| {3x – 2} \right|^2} = {\left( {3 – 2x} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow 9{x^2} – 12x + 4 = 4{x^2} – 12x + 9$ $ \Leftrightarrow 5{x^2} = 5$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \pm 1.$
• Cách 2:
+ Với $3x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}$, phương trình tương đương với: $3{\rm{x}} – 2 = 3 – 2{\rm{x}}$ $ \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = 5$ $ \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn).
+ Với $3x – 2 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}$, phương trình tương đương với: $ – \left( {3{\rm{x}} – 2} \right) = 3 – 2{\rm{x}}$ $ \Leftrightarrow {\rm{x}} = – 1$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm: $x = \pm 1.$
c.
+ Với $4x – 17 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{{17}}{4}$, ta có: $VT \ge 0$, $VP < 0$ suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với $4x – 17 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{{17}}{4}$ khi đó hai vế của phương trình không âm, suy ra:
Phương trình $ \Leftrightarrow {\left| {{x^2} – 4x – 5} \right|^2} = {\left( {4x – 17} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 4x – 5} \right)^2} = {\left( {4x – 17} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 8x + 12} \right)\left( {{x^2} – 22} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 8x + 12 = 0}\\
{{x^2} – 22 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2}\\
{x = 6}
\end{array}} \right.}\\
{x = \pm \sqrt {22} }
\end{array}} \right.$
Đối chiếu với điều kiện $x \ge \frac{{17}}{4}$, ta thấy chỉ có $x = 6$ và $x = \sqrt {22} $ thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm: $x = 6$ và $x = \sqrt {22} .$
d. Ta có: $\left| {2x – 5} \right| \ge 0$, $\left| {2{x^2} – 7x + 5} \right| \ge 0$, suy ra: $\left| {2x – 5} \right| + \left| {2{x^2} – 7x + 5} \right| \ge 0.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 5 = 0}\\
{2{x^2} – 7x + 5 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{5}{2}}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{x = \frac{5}{2}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{5}{2}.$
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a. ${\left( {x + 1} \right)^2} – 3\left| {x + 1} \right| + 2 = 0.$
b. $4x\left( {x – 1} \right) = \left| {2x – 1} \right| + 1.$
c. ${x^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} + 1$ $ = 2x + 7\left| {\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} \right|.$
a. Đặt $t = \left| {x + 1} \right|$, $t \ge 0.$
Phương trình trở thành: ${t^2} – 3t + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$
+ Với $t = 1$, ta có: $\left| {x + 1} \right| = 1$ $ \Leftrightarrow x + 1 = \pm 1$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{x = – 2}
\end{array}} \right.$
+ Với $t = 2$, ta có: $\left| {x + 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow x + 1 = \pm 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{x = – 3}
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 3$, $x = – 2$, $x = 0$ và $x = 1.$
b. Phương trình tương đương với: $4{x^2} – 4x – \left| {2x – 1} \right| – 1 = 0.$
Đặt $t = \left| {2x – 1} \right|$, $t \ge 0$ $ \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} – 4x + 1$ $ \Rightarrow 4{x^2} – 4x = {t^2} – 1.$
Phương trình trở thành: ${t^2} – 1 – t – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$
Vì $t \ge 0 \Rightarrow t = 2$ nên $\left| {2x – 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 1 = 2}\\
{2x – 1 = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{3}{2}}\\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \frac{3}{2}$ và $x = – \frac{1}{2}.$
c. Điều kiện xác định: $x \ne 1.$
Phương trình tương đương: ${\left( {x – 1} \right)^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$ $ = 7\left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right|.$
Đặt $t = \left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right|.$
Suy ra: ${t^2} = {\left( {x – 1} \right)^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} – 6$ $ \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + \frac{9}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$ $ = {t^2} + 6.$
Phương trình trở thành: ${t^2} + 6 = 7t$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 7t + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = 6}
\end{array}} \right.$
+ Với $t = 1$, ta có: $\left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right| = 1$ $ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} \right| = 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}} = \pm 1$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 3x – 1 = 0}\\
{{x^2} – x – 3 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}}\\
{x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}
\end{array}} \right.$ (thỏa mãn).
+ Với $t = 6$, ta có: $\left| {x – 1 – \frac{3}{{x – 1}}} \right| = 6$ $ \Leftrightarrow \left| {\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}}} \right| = 6$ $ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{x – 1}} = \pm 6$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 8x + 4 = 0}\\
{{x^2} + 4x – 8 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4 \pm 2\sqrt 3 }\\
{x = – 2 \pm 2\sqrt 3 }
\end{array}} \right.$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2}$, $x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}$, $x = 4 \pm 2\sqrt 3 $ và $x = – 2 \pm 2\sqrt 3 .$
Ví dụ 3. Giải và biện luận các phương trình sau:
a. $\left| {mx + 2m} \right| = \left| {mx + x + 1} \right|$ $(*).$
b. $\left| {mx + 2x – 1} \right| = \left| {x – 1} \right|$ $(**).$
a. Ta có: $\left| {mx + 2m} \right| = \left| {mx + x + 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2m = mx + x + 1}\\
{mx + 2m = – \left( {mx + x + 1} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2m – 1}\\
{\left( {2m + 1} \right)x = – 2m – 1\: ( 1 )}
\end{array}} \right.$
Giải $( 1 ):$
+ Với $2m + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = – \frac{1}{2}$, phương trình trở thành $0x = 0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $2m + 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow m \ne – \frac{1}{2}$, phương trình tương đương với: $x = – 1.$
Kết luận:
+ Với $m = – \frac{1}{2}$, phương trình $(*)$ nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m \ne – \frac{1}{2}$, phương trình $(*)$ có hai nghiệm là: $x = – 1$ và $x = 2m – 1.$
b. Ta có: $\left| {mx + 2x – 1} \right| = \left| {x – 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2x – 1 = x – 1}\\
{mx + 2x – 1 = – \left( {x – 1} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(m + 1)x = 0\: (2)}\\
{(m + 3)x = 2\: (3)}
\end{array}} \right.$
• Với phương trình $(2)$, ta có:
$m = – 1$ thì phương trình $(2)$ nghiệm đúng với mọi $x.$
$m \ne – 1$ thì phương trình $(2)$ có nghiệm $x = 0.$
• Với phương trình $(3)$, ta có:
$m = – 3$, thì phương trình $(3)$ vô nghiệm.
$m \ne – 3$ thì phương trình $(3)$ có nghiệm $x = \frac{2}{{m + 3}}.$
Kết luận:
+ Với $m = – 1$, phương trình $(**)$ nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m = – 3$, phương trình $(**)$ có nghiệm $x = 0.$
+ Với $m \ne – 1$ và $m \ne – 3$, phương trình $(**)$ có nghiệm $x = 0$ và $x = \frac{2}{{m + 3}}.$
Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình: $\left| {{x^2} + x} \right|$ $ = \left| {m{x^2} – (m + 1)x – 2m – 1} \right|$ có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình tương đương với: $\left| {x\left( {x + 1} \right)} \right|$ $ = \left| {\left( {x + 1} \right)\left( {mx – 2m – 1} \right)} \right|$ $ \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right|\left[ {\left| x \right| – \left| {mx – 2m – 1} \right|} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1}\\
{\left| x \right| = \left| {mx – 2m – 1} \right|\: (*)}
\end{array}} \right.$
Ta có: $(*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx – 2m – 1 = x}\\
{mx – 2m – 1 = – x}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(m – 1)x = 1 + 2m\: ( 1 )}\\
{(m + 1)x = 1 + 2m\: (2)}
\end{array}} \right.$
+ Nếu $m = 1$, thì phương trình $( 1 )$ vô nghiệm, khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt.
+ Nếu $m = – 1$, thì phương trình $(2)$ vô nghiệm, khi đó phương trình ban đầu không thể có ba nghiệm phân biệt.
+ Nếu $m \ne \pm 1$, thì $(*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{1 + 2m}}{{m – 1}}}\\
{x = \frac{{1 + 2m}}{{m + 1}}}
\end{array}} \right.$
Suy ra để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{1 + 2m}}{{m – 1}} \ne – 1}\\
\begin{array}{l}
\frac{{1 + 2m}}{{m + 1}} \ne – 1\\
\frac{{1 + 2m}}{{m – 1}} \ne \frac{{1 + 2m}}{{m + 1}}
\end{array}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m \ne 0}\\
\begin{array}{l}
m \ne – \frac{2}{3}\\
m \ne – \frac{1}{2}
\end{array}
\end{array}} \right.$
Vậy với $m \notin \left\{ { – 1; – \frac{1}{2}; – \frac{2}{3};0;1} \right\}$ thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Bài tập rèn luyện:
Phần đề bài:
Bài toán 1. Giải các phương trình sau:
a. $|3x – 2| = {x^2} + 2x + 3.$
b. $\left| {{x^3} – 1} \right| = \left| {{x^2} – 3x + 2} \right|.$
Bài toán 2. Giải các phương trình sau:
a. ${\left( {2x – 1} \right)^2} – 3\left| {2x – 1} \right| – 4 = 0.$
b. $\frac{{{x^4} – 6{x^2} + 4}}{{{x^2}}} = \left| {\frac{{{x^2} – 2}}{x}} \right|.$
Bài toán 3. Cho phương trình: ${x^2} – 2x – 2\left| {x – 1} \right| + m + 3 = 0.$
a. Giải phương trình khi $m = – 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm.
Bài toán 4. Giải và biện luận các phương trình sau:
a. $\left| {mx + 2m} \right| = \left| {x + 1} \right|.$
b. $\left| {mx + 2x} \right| = \left| {mx – 1} \right|.$
Phần đáp số – hướng dẫn giải:
Bài toán 1.
a. Ta có: $|3x – 2| = $ $\left\{ \begin{array}{l}
3x – 2\:khi\:x \ge \frac{2}{3}\\
– 3x + 2\:khi\:x < \frac{2}{3}
\end{array} \right.$
• Nếu $x \ge \frac{2}{3}$, suy ra: $PT \Leftrightarrow 3x – 2 = {x^2} + 2x + 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x + 5 = 0$, phương trình vô nghiệm.
• Nếu $x < \frac{2}{3}$, suy ra: $PT \Leftrightarrow – 3x + 2 = {x^2} + 2x + 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {21} }}{2}$, hai nghiệm này đều thỏa mãn $x < \frac{2}{3}.$
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {21} }}{2}.$
b. $x = 1$, $x = – 1 \pm \sqrt 2 .$
Bài toán 2.
a. Đặt $t = \left| {2x – 1} \right|$, $t \ge 0.$
Phương trình trở thành ${t^2} – 3t – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1\: (loại)}\\
{t = 4}
\end{array}} \right.$
Với $t = 4$, ta có: $\left| {2x – 1} \right| = 4$ $ \Leftrightarrow 2x – 1 = \pm 4$ $ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = – \frac{3}{2}.$
Vậy phương trình có nghiệm là $x = – \frac{3}{2}$ và $x = \frac{5}{2}.$
b. Điều kiện xác định: $x \ne 0.$
Đặt $t = \left| {\frac{{{x^2} – 2}}{x}} \right|$, $t \ge 0.$
Phương trình trở thành: ${t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$
Với $t = 2$, ta có: $\left| {\frac{{{x^2} – 2}}{x}} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1 \pm \sqrt 3 }\\
{x = 1 \pm \sqrt 3 }
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 1 \pm \sqrt 3 $ và $x = 1 \pm \sqrt 3 .$
Bài toán 3.
Phương trình $ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} – 2\left| {x – 1} \right| + m + 2 = 0.$
Đặt $t = \left| {x – 1} \right|$, $t \ge 0$, ta có phương trình: ${t^2} – 2t + m + 2 = 0$ $( 1 ).$
a. Khi $m = – 2$, ta có: ${t^2} – 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 0}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.$
Suy ra nghiệm phương trình là $x = 1$, $x = 3$, $x = – 1.$
b. Phương trình đã cho có nghiệm $⇔$ phương trình $( 1 )$ có nghiệm $t \ge 0$ $ \Leftrightarrow m = – {t^2} + 2t – 2$ có nghiệm $t \ge 0$ $ \Leftrightarrow $ đồ thị hàm số $f\left( t \right) = – {t^2} + 2t – 2$ với $t \in \left[ {0; + \infty } \right)$ cắt trục hoành $ \Leftrightarrow m \le – 2.$
Bài toán 4.
a. Ta có $PT \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2m = x + 1}\\
{mx + 2m = – \left( {x + 1} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {m – 1} \right)x = 1 – 2m \: \left( 1 \right)}\\
{\left( {m + 1} \right)x = – 2m – 1 \: \left( 2 \right)}
\end{array}} \right.$
• Giải $( 1 )$:
+ Với $m = 1$ phương trình trở thành $0x = – 1$, phương trình vô nghiệm.
+ Với $m \ne 1$ phương trình tương đương với $x = \frac{{1 – 2m}}{{m – 1}}.$
• Giải $(2)$:
+ Với $m = – 1$ phương trình trở thành $0x = 1$, phương trình vô nghiệm.
+ Với $m \ne – 1$ phương trình tương đương với $x = \frac{{ – 2m – 1}}{{m + 1}}.$
Kết luận:
+ Với $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 1}\\
{m = – 1}
\end{array}} \right.$ phương trình có nghiệm là $x = \frac{{ – 3}}{2}.$
+ Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m \ne 1}\\
{m \ne – 1}
\end{array}} \right.$ phương trình có nghiệm là $x = \frac{{1 – 2m}}{{m – 1}}$ và $x = \frac{{ – 2m – 1}}{{m + 1}}.$
b. Ta có: $\left| {mx + 2x} \right| = \left| {mx – 1} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{mx + 2x = mx – 1}\\
{mx + 2x = – \left( {mx – 1} \right)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{1}{2}}\\
{(2m + 2)x = 1 \: (*)}
\end{array}} \right.$
Với phương trình $(*)$, ta có:
$m = – 1$ thì phương trình $(*)$ vô nghiệm.
$m \ne – 1$ thì phương trình $(*)$ có nghiệm $x = \frac{1}{{2m + 2}}.$
Kết luận:
$m = – 1$, phương trình có nghiệm $x = – \frac{1}{2}.$
$m \ne – 1$, phương trình có nghiệm $x = – \frac{1}{2}$ và $x = \frac{1}{{2m + 2}}.$
Chỉnh sửa cuối:
