Phương pháp giải
a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin(x) và cos(x).là phương trình dạng
a[sin(x) + cos(x)] + bsin(x)cos(x) + c = 0 trong đó a, b, c ∈ R (1)
b) Cách giải:
Cách 1: Do $a{(\sin x + cosx)^2} = 1 + \sin x\cos x$ nên ta đặt
$t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)$. Điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $
Suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ và phương trình (1) được viết lại: $b{t^2} + 2at - (b + 2c) = 0$
Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải
Cách 2: Đặt t = π/4 - x thì $\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x) = \sqrt 2 \cos t$
$\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}\cos (\frac{\pi }{2} - 2x) = \frac{1}{2}\cos 2t = {\cos ^2}t - \frac{1}{2}$ nên phương trình (1) trở thành
$b{\cos ^2}x + \sqrt 2 \cos x - \frac{b}{2} + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải
*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình a[sin(x) – cos(x)] + bsin(x).cos(x) + c = 0 bằng cách đặt t = sin(x) – cos(x) và lúc đó $\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}$
Ví Dụ Minh Hoạ
Ví Dụ 1: Giải phương trình sin(x) + cos(x) – 2sin(x).cos(x) + 1 = 0 (1)
Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng $t - 2(\frac{{{t^2} - 1}}{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Với t = 2 không thoả mãn điều kiện nên
(*) ↔ t = -1 ↔ sin(x) + cos(x) = - 1$ \leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - 1 \leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \,\,\,\,\end{array} \right.\,\,\,k \in Z$
Cách 2: Đặt z = π/4 - x. Khi đó phương trình có dạng
$\sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x) - \sin 2x + 1 = 0$
$ \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - \sin 2(\frac{\pi }{4} - z) + 1 = 0 \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - \sin (\frac{\pi }{2} - z) + 1 = 0$
$ \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - \cos 2z + 2 = 0 \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - (2{\cos ^2}z - 1) + 1 = 0$ $ - 2{\cos ^2}z + \sqrt 2 \cos z + 1 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos z = \sqrt 2 \\\cos z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$ (*’)
Ta thấy $\cos z = \sqrt 2 $không thoả mãn
Do đó (*’) $ \leftrightarrow \cos z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\z = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} - x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{4} - x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{2} - k2\pi \\x = \pi - k2\pi \end{array} \right.\,\,\,k \in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên
Bài toán 1: Giải phương trình ${a^2}\tan x + {b^2}\cot x = c(a\sin x \pm b\cos x)\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,a\,b \ne 0$
$ \leftrightarrow (a\sin x - b\cos x)(a\sin x + b\cos x) = c(a\sin x \pm b\cos x)$
$ \leftrightarrow (a\sin x\left[ \pm \right]b\cos x)\left[ {(a\sin x\left[ \mp \right]b\cos x) - c\sin x.\cos x} \right] = 0$
$ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a\sin x\left[ \pm \right]b\cos x = 0\\a\sin x\left[ \mp \right]b\cos x - c\sin x.\cos x = 0\end{array} \right.$
*Quy ước: Khi có nhiều dấu [± ] trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới
Ví Dụ 2: Giải phương trình $\tan x - 3\cot x = 4(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\,\,\,\,\,(2)$
Ta có (2) $ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin x.\cos x}}({\sin ^2}x - 3{\cos ^2}x)\, = 4(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\,$
$ \Leftrightarrow (\sin x - \sqrt 3 \cos x)(\sin x + \sqrt 3 \cos x) = 4(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\sin x.\cos x$
$ \Leftrightarrow (\sin x + \sqrt 3 \cos x).\left[ {(\sin x - \sqrt 3 \cos x)\sin 2x} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\\sin x - \sqrt 3 \cos x - \sin 2x = 0\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.$
Ta có (3) $ \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,(5)$
(4) $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x - \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \sin 2x$
$ \Leftrightarrow \sin (x - \frac{\pi }{3}) = \sin 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = x - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\2x = \pi - x + \frac{\pi }{3} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,l \in Z$ (6)
Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình:
$a(\tan x\left[ \pm \right]\sin x) + \,\,b(\cot x\left[ \pm \right]\cos x) \pm (a + b) = 0$ với a, b, c, d ∈ R (1)
$\begin{array}{l}a(\tan x\left[ \pm \right]\sin x \pm 1) + \,\,b(\cot x\left[ \pm \right]\cos x \pm 1) = 0\\
\Leftrightarrow \frac{a}{{\cos x}}(\sin x\left[ \pm \right]\sin x.\cos x + \cos x) + \frac{b}{{\sin x}}(\sin x\left[ \pm \right]\sin x.\cos x + \cos x) = 0\\ \Leftrightarrow (\frac{a}{{\cos x}} + \frac{b}{{\sin x}})(\sin x\left[ \pm \right]\sin x.\cos x + \cos x) = 0\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{{\cos x}} + \frac{b}{{\sin x}} = 0\\\sin x\left[ \pm \right]\sin x\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = - \frac{b}{a}\\\sin x\left[ \pm \right]\sin x\cos x + \cos x = 0\end{array} \right.$
Đến đây chúng ta đã biết cách giải
Tương tự cho phương trình $a(\tan x\left[ \pm \right]\sin x) + b(\cot x\left[ \pm \right]\cos x) - a + b = 0\,\,$
Ví Dụ 3: Giải phương trình $\tan x - \sqrt 3 \cot x - \sin x + \sqrt 3 \cos x + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,$ ¬(3)
(3) $ \Leftrightarrow \tan x - \sin x - \sqrt 3 (\cot x - \cos x) + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}}(\sin x - \sin x\cos x + \cos x) - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,$
$ \Leftrightarrow (\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}})(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\\sin x - \sin x.\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\,\,\end{array} \right.$
Giải (4) $ \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in Z$
Giải (5): Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)\,\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 $ (*)
Suy ra $\sin x.\,\,\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ .
Phương trình (5) trở thành $t - \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 - \sqrt 2 \\t = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.$
Kết hợp với điều kiện (*) thì $t = 1 + \sqrt 2 $ bị loại
Với $t = 1 - \sqrt 2 $ ta có $\sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)\, = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \cos \alpha \,\,\,\,\,$
$ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \pm \alpha \, + l2\pi \,\, \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} \pm \alpha \, + l2\pi \,\,$ (với $\alpha \in R,\,\,\,l \in Z$)
Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy phương trình có ba họ nghiệm
Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2.
Ví dụ 4: Giải phương trình: ${\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = \sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Phương trình (1) có dạng
$\begin{array}{l}\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow \cos x = 2\sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow \cos x(1 - 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = \frac{1}{2}\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Ví Dụ 5: Giải phương trình: $8\,\,\frac{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}{{\sin 2x}} = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x$ (2)
Phương trình (2) $ \Leftrightarrow 8(1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x) = 2\sin 2x(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}})$
$ \Leftrightarrow 8 - 6{\sin ^2}2x = 4\sin 2x.\frac{{1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}}$ $(8 - 6{\sin ^2}2x)\sin 2x = 4 - 2{\sin ^2}2x$
$ \leftrightarrow 3{\sin ^3}2x - {\sin ^2}2x - 4\sin 2x + 2 = 0$↔$(\sin 2x - 1)(3{\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 2) = 0$↔$\left[ \begin{array}{l}\sin 2x - 1 = 0\\3{\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 2 = 0\end{array} \right.$
↔$\left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\\\sin 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 7 }}{3}\\\sin 2x = \frac{{\sqrt 7 - 1}}{3} = \sin \alpha \end{array} \right.$ (loại) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z$
Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin(2x) ≠ 0
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình sau:
Bài tập 1. $\,\,\,\,\frac{{20}}{{\sin 2x - 2(\sin x - \cos x)}} = (\frac{1}{2}\tan x + \frac{1}{{\sin x + \cos x}})\cos 2x - 9$
Bài tập 2. $\,\,\,\,2(\tan x - \sin x) + 3(\cot x - \cos x) + 5 = 0$
Bài tập 3. $\,\,\,\,\,1 + {\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \sin 2x$
Bài tập 4. $\,\sin x + \cos x = (\sqrt 3 - 1)\cos 2x$
Bài tập 5. $\,\,\,\,2{\cos ^2}\frac{x}{2}(1 - \sin x) + {\cos ^2}x = 0$
Bài tập 6. $\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin 2x + \sin x + \cos x$
Bài tập 7. $4({\sin ^4}x + {\cos ^4}x) + \sqrt 3 \sin 4x = 2$
Bài tập 8. ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x = \frac{{17}}{{32}}$
Bài tập 9. ${\sin ^3}x.\cos x + \frac{1}{4}{\cos ^4}2x = \sin x.{\cos ^3}x + \frac{1}{4}{\sin ^4}2x + \frac{{\sqrt 2 }}{8}$
Bài tập 10. ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2({\sin ^5}x + {\cos ^5}x)$
Bài tập 11. ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x = ({\sin ^{10}}x + {\cos ^{10}}x) + \frac{5}{4}\cos 2x$
a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin(x) và cos(x).là phương trình dạng
a[sin(x) + cos(x)] + bsin(x)cos(x) + c = 0 trong đó a, b, c ∈ R (1)
b) Cách giải:
Cách 1: Do $a{(\sin x + cosx)^2} = 1 + \sin x\cos x$ nên ta đặt
$t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)$. Điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $
Suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ và phương trình (1) được viết lại: $b{t^2} + 2at - (b + 2c) = 0$
Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải
Cách 2: Đặt t = π/4 - x thì $\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x) = \sqrt 2 \cos t$
$\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}\cos (\frac{\pi }{2} - 2x) = \frac{1}{2}\cos 2t = {\cos ^2}t - \frac{1}{2}$ nên phương trình (1) trở thành
$b{\cos ^2}x + \sqrt 2 \cos x - \frac{b}{2} + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải
*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình a[sin(x) – cos(x)] + bsin(x).cos(x) + c = 0 bằng cách đặt t = sin(x) – cos(x) và lúc đó $\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}$
Ví Dụ Minh Hoạ
Ví Dụ 1: Giải phương trình sin(x) + cos(x) – 2sin(x).cos(x) + 1 = 0 (1)
Giải
Cách 1: Đặt sin(x) + cos(x) = t điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $. Lúc đó $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng $t - 2(\frac{{{t^2} - 1}}{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Với t = 2 không thoả mãn điều kiện nên
(*) ↔ t = -1 ↔ sin(x) + cos(x) = - 1$ \leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - 1 \leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \,\,\,\,\end{array} \right.\,\,\,k \in Z$
Cách 2: Đặt z = π/4 - x. Khi đó phương trình có dạng
$\sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x) - \sin 2x + 1 = 0$
$ \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - \sin 2(\frac{\pi }{4} - z) + 1 = 0 \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - \sin (\frac{\pi }{2} - z) + 1 = 0$
$ \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - \cos 2z + 2 = 0 \leftrightarrow \sqrt 2 \cos z - (2{\cos ^2}z - 1) + 1 = 0$ $ - 2{\cos ^2}z + \sqrt 2 \cos z + 1 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos z = \sqrt 2 \\\cos z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$ (*’)
Ta thấy $\cos z = \sqrt 2 $không thoả mãn
Do đó (*’) $ \leftrightarrow \cos z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\z = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} - x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{4} - x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{2} - k2\pi \\x = \pi - k2\pi \end{array} \right.\,\,\,k \in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên
Bài toán 1: Giải phương trình ${a^2}\tan x + {b^2}\cot x = c(a\sin x \pm b\cos x)\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,a\,b \ne 0$
Cách giải:
Phương trình (1) có thể viết $\frac{{{a^2}{{\sin }^2}x - {b^2}{{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} = \,c(a\sin x \pm b\cos x)$$ \leftrightarrow (a\sin x - b\cos x)(a\sin x + b\cos x) = c(a\sin x \pm b\cos x)$
$ \leftrightarrow (a\sin x\left[ \pm \right]b\cos x)\left[ {(a\sin x\left[ \mp \right]b\cos x) - c\sin x.\cos x} \right] = 0$
$ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a\sin x\left[ \pm \right]b\cos x = 0\\a\sin x\left[ \mp \right]b\cos x - c\sin x.\cos x = 0\end{array} \right.$
*Quy ước: Khi có nhiều dấu [± ] trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới
Ví Dụ 2: Giải phương trình $\tan x - 3\cot x = 4(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\,\,\,\,\,(2)$
Giải:
Điều kiện: $\sin x.\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,k \in Z$Ta có (2) $ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin x.\cos x}}({\sin ^2}x - 3{\cos ^2}x)\, = 4(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\,$
$ \Leftrightarrow (\sin x - \sqrt 3 \cos x)(\sin x + \sqrt 3 \cos x) = 4(\sin x + \sqrt 3 \cos x)\sin x.\cos x$
$ \Leftrightarrow (\sin x + \sqrt 3 \cos x).\left[ {(\sin x - \sqrt 3 \cos x)\sin 2x} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\\sin x - \sqrt 3 \cos x - \sin 2x = 0\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.$
Ta có (3) $ \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,(5)$
(4) $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x - \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \sin 2x$
$ \Leftrightarrow \sin (x - \frac{\pi }{3}) = \sin 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = x - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\2x = \pi - x + \frac{\pi }{3} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + l2\pi \\x = \frac{{4\pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,l \in Z$ (6)
Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình:
$a(\tan x\left[ \pm \right]\sin x) + \,\,b(\cot x\left[ \pm \right]\cos x) \pm (a + b) = 0$ với a, b, c, d ∈ R (1)
Cách giải:
Ta có: $\begin{array}{l}a(\tan x\left[ \pm \right]\sin x \pm 1) + \,\,b(\cot x\left[ \pm \right]\cos x \pm 1) = 0\\
\Leftrightarrow \frac{a}{{\cos x}}(\sin x\left[ \pm \right]\sin x.\cos x + \cos x) + \frac{b}{{\sin x}}(\sin x\left[ \pm \right]\sin x.\cos x + \cos x) = 0\\ \Leftrightarrow (\frac{a}{{\cos x}} + \frac{b}{{\sin x}})(\sin x\left[ \pm \right]\sin x.\cos x + \cos x) = 0\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{{\cos x}} + \frac{b}{{\sin x}} = 0\\\sin x\left[ \pm \right]\sin x\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = - \frac{b}{a}\\\sin x\left[ \pm \right]\sin x\cos x + \cos x = 0\end{array} \right.$
Đến đây chúng ta đã biết cách giải
Tương tự cho phương trình $a(\tan x\left[ \pm \right]\sin x) + b(\cot x\left[ \pm \right]\cos x) - a + b = 0\,\,$
Ví Dụ 3: Giải phương trình $\tan x - \sqrt 3 \cot x - \sin x + \sqrt 3 \cos x + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,$ ¬(3)
Giải
Điều kiện $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,\,k \in Z$(3) $ \Leftrightarrow \tan x - \sin x - \sqrt 3 (\cot x - \cos x) + 1 - \sqrt 3 = 0\,\,$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos x}}(\sin x - \sin x\cos x + \cos x) - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}}(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,$
$ \Leftrightarrow (\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}})(\sin x - \sin x.\cos x + \cos x) = 0\,\,$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{\cos x}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin x}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\\sin x - \sin x.\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\,\,\end{array} \right.$
Giải (4) $ \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in Z$
Giải (5): Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)\,\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 $ (*)
Suy ra $\sin x.\,\,\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ .
Phương trình (5) trở thành $t - \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 - \sqrt 2 \\t = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.$
Kết hợp với điều kiện (*) thì $t = 1 + \sqrt 2 $ bị loại
Với $t = 1 - \sqrt 2 $ ta có $\sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - x)\, = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \cos \alpha \,\,\,\,\,$
$ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \pm \alpha \, + l2\pi \,\, \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} \pm \alpha \, + l2\pi \,\,$ (với $\alpha \in R,\,\,\,l \in Z$)
Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy phương trình có ba họ nghiệm
Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2.
Ví dụ 4: Giải phương trình: ${\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = \sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Giải
Ta có: ${\cos ^4}\frac{x}{2} - {\sin ^4}\frac{x}{2} = ({\cos ^2}\frac{x}{2} - {\sin ^2}\frac{x}{2})({\cos ^2}\frac{x}{2} + {\sin ^2}\frac{x}{2}) = \cos x$Phương trình (1) có dạng
$\begin{array}{l}\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow \cos x = 2\sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow \cos x(1 - 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = \frac{1}{2}\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Ví Dụ 5: Giải phương trình: $8\,\,\frac{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}{{\sin 2x}} = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x$ (2)
Giải
Điều kiện: sin(2x) ≠ 0Phương trình (2) $ \Leftrightarrow 8(1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x) = 2\sin 2x(\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}})$
$ \Leftrightarrow 8 - 6{\sin ^2}2x = 4\sin 2x.\frac{{1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}}$ $(8 - 6{\sin ^2}2x)\sin 2x = 4 - 2{\sin ^2}2x$
$ \leftrightarrow 3{\sin ^3}2x - {\sin ^2}2x - 4\sin 2x + 2 = 0$↔$(\sin 2x - 1)(3{\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 2) = 0$↔$\left[ \begin{array}{l}\sin 2x - 1 = 0\\3{\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 2 = 0\end{array} \right.$
↔$\left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\\\sin 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 7 }}{3}\\\sin 2x = \frac{{\sqrt 7 - 1}}{3} = \sin \alpha \end{array} \right.$ (loại) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z$
Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin(2x) ≠ 0
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình sau:
Bài tập 1. $\,\,\,\,\frac{{20}}{{\sin 2x - 2(\sin x - \cos x)}} = (\frac{1}{2}\tan x + \frac{1}{{\sin x + \cos x}})\cos 2x - 9$
Bài tập 2. $\,\,\,\,2(\tan x - \sin x) + 3(\cot x - \cos x) + 5 = 0$
Bài tập 3. $\,\,\,\,\,1 + {\cos ^3}x - {\sin ^3}x = \sin 2x$
Bài tập 4. $\,\sin x + \cos x = (\sqrt 3 - 1)\cos 2x$
Bài tập 5. $\,\,\,\,2{\cos ^2}\frac{x}{2}(1 - \sin x) + {\cos ^2}x = 0$
Bài tập 6. $\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin 2x + \sin x + \cos x$
Bài tập 7. $4({\sin ^4}x + {\cos ^4}x) + \sqrt 3 \sin 4x = 2$
Bài tập 8. ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x = \frac{{17}}{{32}}$
Bài tập 9. ${\sin ^3}x.\cos x + \frac{1}{4}{\cos ^4}2x = \sin x.{\cos ^3}x + \frac{1}{4}{\sin ^4}2x + \frac{{\sqrt 2 }}{8}$
Bài tập 10. ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2({\sin ^5}x + {\cos ^5}x)$
Bài tập 11. ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x = ({\sin ^{10}}x + {\cos ^{10}}x) + \frac{5}{4}\cos 2x$
